КАФЕДРА СТАТИСТИКИ

О Т Ч Е Т

о результатах выполнения

компьютерной лабораторной работы №1

Автоматизированный априорный анализ статистической совокупности

 в среде MS Excel

Вариант № 32

Выполнила:

ФИО                

                                                                                                    Проверил: Пуляшкин Владимир Васильевич

ФИО                     

Москва, 2007 г.

1.    Постановка задачи

При проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий корпорации получены выборочные данные о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и выпуске продукции за год по 32-м предприятиям, выпускающим однородную продукцию  (выборка 10%-ная, механическая).

В статистическом исследовании эти предприятия выступают как единицы выборочной совокупности. Генеральную совокупность образуют все предприятия корпорации. Анализируемые признаки предприятий – Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Выпуск продукции – изучаемые признаки единиц совокупности.

Для автоматизации статистических расчетов используются средства электронных таблиц процессора Excel.

Выборочные данные представлены в диапазоне ячеек B4:C35 рабочего листа 1 (табл.1):

Исходные данные

В процессе исследования совокупности необходимо решить ряд задач.

I. Статистический анализ выборочной совокупности

1.    Выявить наличие среди исходных данных резко выделяющихся значений признаков (аномалий в данных) и исключить их из выборки.

2.    Рассчитать обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам: среднюю арифметическую (), моду (Мо), медиану (Ме), размах вариации (R), дисперсию (), средние отклонения – линейное () и квадратическое (σn), коэффициент вариации (Vσ), структурный коэффициент асимметрии  К.Пирсона (Asп).

3.    На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценить:

а) степень колеблемости значений признаков в совокупности;

б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам;

в) устойчивость индивидуальных значений признаков;

г) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны  (), (), ().

4.  Сравнить распределения единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) колеблемости признаков;

б) однородности единиц;

в) надежности (типичности) средних значений признаков;

г) симметричности распределений в центральной части ряда.

5.    Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения.

II. Статистический анализ  генеральной совокупности

1.    Рассчитать генеральную дисперсию , генеральное среднее квадратическое отклонение  и ожидаемый размах вариации признаков R_N. Сопоставить значения генеральной и выборочной дисперсий.

2.    Для изучаемых признаков рассчитать:

а) среднюю ошибку выборки;

б) предельные ошибки выборки для уровней надежности P=0,683, P=0,954, P=0,997 и границы, в которых будут находиться средние значения признака в генеральной совокупности при заданных уровнях надежности.

3.    Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок охарактеризовать особенности формы распределения единиц генеральной совокупности по каждому из изучаемых признаков.

2. Выводы по результатам выполнения лабораторной работы[1]

I. Статистический анализ выборочной совокупности

Задача 1. Количество аномальных единиц наблюдения (табл.2) равно двум, номера предприятий 11 и 30.

Задача 2. Рассчитанные выборочные показатели представлены в двух таблицах — табл.3 и табл.5. На основе этих таблиц формируется единая таблица (табл.8) значений выборочных показателей, перечисленных в условии Задачи 2.

Таблица 8

Описательные статистики выборочной совокупности

Задача 3.

3а). Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V_s в соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака:

0%<V_s40%      -    колеблемость незначительная;

40%< V_s60%   -    колеблемость средняя (умеренная);

V_s>60%              -    колеблемость значительная.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s =12,14. Так как значение показателя лежит в диапазоне 0%<V_s40%  оценочной шкалы, следовательно, колеблемость незначительная.

Для признака Выпуск продукции показатель V_s =16,30. Так как значение показателя лежит в диапазоне 0%<V_s40%  оценочной шкалы, следовательно, колеблемость незначительная.

3б). Степень однородности совокупности по изучаемому признаку для нормального и близких к нормальному распределений устанавливается по значению коэффициента вариации V_s. Если V_s33%, то по данному признаку расхождения между значениями признака невелико, единицы наблюдения количественно однородны.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s33%, следовательно, по данному признаку выборочная совокупность количественно однородна .

Для признака Выпуск продукции показатель V_s33%, следовательно, по данному признаку выборочная совокупность количественно однородна.

3в). Сопоставление средних отклонений – квадратического s и линейного  –позволяет сделать вывод об устойчивости индивидуальных значений признака, т.е. об отсутствии среди них «аномальных» вариантов значений.

В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями s и  имеют место равенства s1,25, 0,8s, поэтому отношение показателей  и s может служить индикатором устойчивости данных.

Если >0,8, то значения признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы. Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц наблюдения при выполнении Задания 1, некоторые аномалии в первичных данных продолжают сохраняться. В этом случае их следует выявить (например, путем поиска значений, выходящих за границы диапазона (), приведенного в табл. 9) и рассматривать в качестве возможных «кандидатов» на исключение из выборки.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель =0,800,8. Следовательно, значения признака устойчивы, среди них отсутствуют «аномальные» варианты значений.

«Кандидаты» на исключение из выборки: нет

Для признака Выпуск продукции показатель = 0,770,8. Следовательно, значения признака устойчивы, среди них отсутствуют «аномальные» варианты значений.

«Кандидаты» на исключение из выборки: нет

3г). Для оценки количества попаданий индивидуальных значений признаков x_i в тот или иной диапазон отклонения от средней , а также для выявления структуры рассеяния значений x_i по 3-м диапазонам формируется табл.9 (с конкретными числовыми значениями границ диапазонов).

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

На основе данных табл.9 структура рассеяния значений признака по трем диапазонам (графы 5 и 6) сопоставляется со структурой  рассеяния по правилу «трех сигм», справедливому для нормальных и близких к нему распределений:

68,3% значений располагаются в диапазоне (),

95,4% значений располагаются в диапазоне (),

99,7% значений располагаются в диапазоне ().

Если полученная в табл. 9 структура рассеяния х_­i  по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «3-х сигм», можно предположить, что распределение единиц совокупности по данному признаку близко к нормальному.

Расхождение с правилом «3-х сигм» может быть существенным. Например, менее 60% значений х_i попадают в центральный диапазон () или значительно более 5% значения х_i выходит за диапазон (). В этих случаях распределение нельзя считать близким к нормальному.

Вывод:

Сравнение данных графы 5 табл.9 с правилом «3-х сигм» показывает на их незначительное расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов можно считать близким к нормальному.

Сравнение данных графы 6 табл.9 с правилом «3-х сигм» показывает на незначительное расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Выпуск продукции можно считать близким к нормальному.

Задача 4. Для ответа на вопросы 4а) – 4г) необходимо воспользоваться табл.8 и сравнить величины показателей для двух признаков.

4а)-в). Для сравнения степени колеблемости значений изучаемых признаков, степени однородности совокупности по этим признакам, надежности их средних значений используются коэффициенты вариации V_s признаков.

Вывод:

Так как V_s для первого признака меньше, чем V_s для второго признака, то колеблемость значений первого признака меньше колеблемости значений второго признака, совокупность более однородна по первому признаку, среднее значение первого признака является более надежным, чем у второго признака.

4г). Сравнение симметричности распределений в центральной части ряда.

В нормальных и близких к нему распределениях основная масса единиц

(68,3  %) располагается в центральной части ряда, в диапазоне (). Для оценки асимметрии распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона Asп.

При правосторонней асимметрии Asп>0, при левосторонней – Asп<0. Если Asп=0, вариационный ряд симметричен.

Вывод:

Асимметрия распределения признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в центральной части ряда является левосторонней, так как Asп= -0,21.  Асимметрия признака Выпуск продукции является правосторонней, так как Asп= 0,02. Сравнение абсолютных величин |Аsп| для обоих рядов показывает, что ряд распределения по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов менее асимметричен, чем ряд распределения по признаку Выпуск продукции.

Задача 5. Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлен в табл.7, а его гистограмма и кумулята – на рис.2.

Возможность отнесения распределения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» к семейству нормальных распределений устанавливается путем анализа формы гистограммы распределения. Анализируются количество вершин в гистограмме, ее асимметричность и выраженность «хвостов», т.е. частоты появления в распределении значений, выходящих за диапазон ().

1. При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов признака по интервалам (группам). Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, что не соответствует нормальному закону распределения.

Если гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.

2. Для дальнейшего анализа  формы распределения используются описательные параметры выборки - показатели центра распределения (, Mo, Me), вариации (), асимметрии в центральной части  распределения (AsП). Совокупность этих показателей позволяет дать качественную оценку близости эмпирических данных к нормальной форме распределения.

Нормальное распределение является симметричным, и для него выполняются соотношения:

=Mo=Me,     As_п=0.

Нарушение этих соотношений свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Распределения с небольшой или умеренной асимметрией в большинстве случаев относятся к нормальному типу.

3. Согласно правилу «3-х сигм» в нормальном и близким к нему распределениях крайние значения признака (близкие к хmin и хmax) встречаются много реже (5-7 % всех случаев), чем лежащие в диапазоне (). Следовательно, по проценту выхода значений признака за пределы диапазона () можно судить о соответствии длины «хвостов» распределения нормальному закону.

Вывод:

1. Гистограмма является одновершинной .

2. Распределение приблизительно симметрично, так как As_п= -0,12 параметры , Mo, Me  отличаются незначительно:

= 3330,            Mo=3415,          Me=3355,5.

3. “Хвосты” распределения не очень длинны, т.к. согласно графе 5 табл.9. 9,4% вариантов лежат за пределами интервала ()=[2521,44 ; 4138,56 ]

Следовательно, на основании п.п. 1,2,3, можно сделать заключение о близости изучаемого распределения к нормальному.

II. Статистический анализ  генеральной совокупности

Задача 1. Рассчитанные в табл.3 генеральные показатели представлены в табл.10.

Таблица 10

Описательные статистики генеральной совокупности

Для нормального распределения справедливо равенство R_N=6s_N.

В условиях близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному это соотношение используется для прогнозной оценки размаха вариации признака в генеральной совокупности.

Ожидаемый размах вариации признаков R_N:

- для первого признака R_N =2467,14,

- для второго признака R_N =5713,02.

Соотношение между генеральной и выборочной дисперсиями:

- для первого признака =1,03, т.е. расхождение между дисперсиями незначительное;

-для второго признака =1,03, т.е. расхождение между дисперсиями незначительное.

Задача 2. Применение выборочного метода наблюдения связано с измерением степени достоверности статистических характеристик генеральной совокупности, полученных по результатам выборочного наблюдения. Достоверность генеральных параметров зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности.

Как правило, статистические характеристики выборочной и генеральной совокупностей не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности). Ошибка выборки – это разность между значением показателя, который был получен по выборке, и генеральным значением этого показателя. Например, разность

= |-|

определяет ошибку репрезентативности для средней величины признака.

Для среднего значения признака средняя ошибка выборки  (ее называют также стандартной ошибкой)  выражает среднее квадратическое отклонение s выборочной средней  от математического ожидания M[] генеральной средней .

Для изучаемых признаков средние ошибки выборки  даны в табл. 3:

- для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов

=75,07,

- для признака Выпуск продукции

=173,84.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых  лежит генеральная средняя . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней  – случайную область значений, которая с вероятностью P, близкой к 1,  гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности.

Для уровней надежности P=0,954; P=0,683, P=0,997 оценки предельных ошибок выборки  даны в табл. 3, табл. 4а и табл. 4б.

Для генеральной средней предельные значения и доверительные интервалы определяются выражениями:

,

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних представлены в табл. 11.

Таблица 11

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних

Вывод:

Увеличение уровня надежности ведет к расширению ожидаемых границ для генеральных средних.

Задача 3. Рассчитанные в табл.3 значения коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ek даны в табл.10.

1.Показатель асимметрии As оценивает смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.

Если асимметрия правосторонняя (As>0) то правая часть эмпирической кривой оказывается длиннее левой, т.е. имеет место неравенство >Me>Mo, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака. (среднее значение  больше серединного Me и модального Mo).

Если асимметрия левосторонняя (As<0), то левая часть эмпирической кривой оказывается длиннее правой и выполняется неравенство <Me<Mo, означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака (среднее значение  меньше серединного Me и модального Mo).

Чем больше величина |As|, тем более асимметрично распределение. Оценочная шкала асимметрии:

|As| 0,25            - асимметрия незначительная;

0,25<|As|0.5      - асимметрия заметная (умеренная);

|As|>0,5                - асимметрия существенная.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов наблюдается незначительная левосторонняя асимметрия. Следовательно, в распределении преобладают более низкие значения признака (среднее значение  меньше серединного Me и модального Mo).

Для признака Выпуск продукции наблюдается незначительная правосторонняя асимметрия. Следовательно, в распределении преобладают более высоких значений признака. (среднее значение  больше серединного Me и модального Mo).

2.Показатель эксцесса Ek характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой.

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений.

Если Ek>0, то вершина кривой распределения располагается выше  вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине.

Если Ek<0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin.

Для нормального распределения Ek=0. При незначительном отклонении Ek от нуля форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения. Чем больше абсолютная величина |Ek|, тем существеннее распределение отличается от нормального.

Вывод:

1. Так как для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов Ek<0, то кривая распределения является более пологовершинной по сравнению с нормальной кривой. При этом Ek незначительно  отличается от нуля (Ek=|-0,34|) .Следовательно, по данному признаку форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения.

2.Так как для признака Выпуск продукции Ek<0, то кривая распределения является более пологовершинной по сравнению с нормальной кривой. При этом Ek незначительно отличается от нуля (Ek=|-0,21|) .Следовательно, по данному признаку форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения.

III. Экономическая интерпретация результатов статистического исследования предприятий[2]

В этой части исследования необходимо ответить на ряд вопросов.

1.     Типичны ли образующие выборку предприятия по значениям изучаемых экономических показателей?

2.     Каковы наиболее характерные для предприятий значения показателей среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции?

3.     Насколько сильны различия в экономических характеристиках предприятий выборочной совокупности? Можно ли утверждать, что выборка сформирована из предприятий с достаточно близкими значениями по каждому из показателей?

4.     Какова структура предприятий выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных фондов? Каков удельный вес предприятий с наибольшими, наименьшими и типичными значениями данного показатели? Какие именно это предприятия?

5.     Носит ли распределение предприятий по группам закономерный характер и какие предприятия (с более высокой или более низкой стоимостью основных фондов) преобладают в совокупности?

6.     Каковы ожидаемые средние величины среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции на предприятиях корпорации в целом? Какое максимальное расхождение в значениях каждого показателя можно ожидать?

Задача 1.

Вывод: Образующие выборку предприятия типичны, исключения составляют два предприятия с резко выделяющимися характеристиками (предприятие №11 и №30), которые выявились на основе графика – диаграммы рассеяния значений показателей, поэтому они были исключены из проводимого статистического исследования вследствие нетипичности этих предприятий для изучаемой совокупности.

Задача 2.

Вывод: Диапазон (  +  σ), включающий предприятия с наиболее характерными значениями показателей, для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представляет собой  2925,72Xi3734,28; для признака Выпуск продукции: 4808,14Xi6680,46. В этот диапазон по первому признаку входят 20 предприятий, по второму 20 предприятий.

Задача 3.

Вывод: На основании коэффициентов вариации (для первого признака V_s  = 12,14, для второго V_s = 16,30) можно сделать вывод о том, что предприятия однородны по изучаемым экономическим характеристикам. Максимальное расхождение в значениях показателей составляет: по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов 1700 млн. руб, а по признаку Выпуск продукции 3960 млн. руб.

Задача 4.

Вывод: Определим структуру предприятий выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных фондов на основании таблицы 7. модальных интервал равен 3160-3500, в него входит одиннадцать предприятий, которые и являются наиболее типичными – это предприятие № 3, 4, 6, 7, 9, 13, 14, 17, 25, 26, 28.

         В группу с наименьшей стоимость основных фондов (2480-2820) входят предприятия № 1,5, 23, 27.

          В группу с наибольшей стоимостью основных фондов (3840-4180) – предприятия № 12, 16, 21.

            Удельный вес предприятий с наибольшими значениями показателя составляет Р = 3/30 = 0,100  или  10,0%; удельный вес предприятий с типичными значениями показателя равен Р = 11/30 = 0,367 или 36,7%; удельный вес предприятий с наименьшими значениями показателя Р = 4/30 = 0,133  или  13,3%.

Задача 5.

Вывод: На основании гистограммы ряда распределения можно установить, что распределение по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов близко к нормальному.

       AS = -0,21 (для данного признака), присутствует левосторонняя асимметрия, это означает, что в совокупности доминируют предприятия с более низкой стоимостью основных фондов.

Задача 6.

Вывод: С вероятностью 0,683 можно утверждать, что средняя величина среднегодовой стоимости основных фондов будет находиться в пределах 3253,563406,44; с вероятностью 0,954 в пределах 3173,493486,51;

с вероятностью 0,997 в пределах 3086,813573,19.

С вероятностью 0,683 средняя величина выпуска продукции на предприятиях в целом будет в пределах 5567,295921,31; с вероятностью 0,954 в пределах 5381,876106,73; с вероятностью 0,997 в пределах 5181,166307,44.

Максимальное расхождение в значении признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов будет RN = 2467,14 млн. руб., а в значении признака Выпуск продукции: RN = 5713,02 млн. руб.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Рабочий файл Лист 1 с результативными таблицами и графиками

Распечатка рабочего файла