3.12.2004

СТАТИСТИКА (Лекции № 13-14)

Парная регрессия

   Аналитическое выражение связей между признаками может быть представлена виде уравнений регрессии :

                                  _

yx = a0+a1x

где

х – значение факторного признака

у – значение результативного признака (эмпирические)

_

ух – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии.

а0 и а1 – это коэффициенты регрессии, которые определяются путем решения следующей системы уравнений :

na0+a1∑x = ∑y

                            2                                }

a0∑x+a1∑x = ∑xy

   В основе решения данной системы уравнений лежит метод наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических значений признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии:

        _   2

∑(yi-yx) → min

а0 - показывает влияние неучтенных в модели факторов и четкой интерпретации не имеет

а1 – показывает на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу собственного измерения

5a0+a110 = 20

                                      }

a010+a124 = 43

      20-a110

a0=      5

                 2

20-a110

      5      10 + a124 = 43

40-20a1+24a1-43 = 0

a1=0,75

a0=2,5

_

yx = 2,5 + 0,75x

а1 = 0,75 означает, что при увеличении численности работающих на 1000 человек прибыль предприятий возрастает в среднем на 0,75 млрд. рублей. Знаки коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии совпадают. Между коэффициентом корреляции и регрессии существует определенная зависимость, которая выражается следующей формулой :

                                               σx

rxy = a1 σy

Статистическое изучение связей качественных признаков

   При изучении взаимосвязей между двумя качественными признаками каждый из которых представлен только двумя градациями используются коэффициенты ассоциаций и контингенции. Для определения данных коэффициентов строится следующая вспомогательная таблица :

A   B

C   D

Коэффициент ассоциации определяется по формуле :

                                         ad - bc

Ka = ad + bc

Коэффициент контингенции определяется по формуле :

                                        ad - bc

Kk= √(a+b)(b+d)(d+c)(a+c)

Ка и Кк изменяются в пределах от -1 до +1, включая границы, связь считается существенной и подтвержденной, если коэффициент Ка равен или больше 0,5, а Кк равен или больше 0,3 (Пример № 1 см. приложение).

Ранговый коэффициент корреляции

   Ранжирование – это процедура упорядочения значений признака в порядке возрастания  или убывания.

   Ранг – это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания.

Ранговые коэффициенты Спирмана и Кенделла

используются для оценки степени тесноты и направления связи между двумя признаками.     Изменяются от -1 до +1, включая границы, если значение коэффициента   0 – связь прямая, если  0 – связь обратная.

Коэффициент корреляции рангов Спирмана определяется по формуле :

                                                                                                    2

                                            6∑di___

                                                                                            2

ρxy = 1 – n (n – 1)

где

n - число единиц наблюдения

di - разность рангов двух признаков

(Пример № 2 см. приложение)

Коэффициент корреляции рангов Кенделла используется для оценки связи двух признаков и определяется по формуле :

                                          2S___

τxy = n (n-1)

Этапы расчета коэффициента :

1). Значение «х» и «у» ранжируются в порядке возрастания или убывания

2). Значение «х» устанавливается в порядке соответствующем пункту 1

3). Значения рангов «у» располагаются в порядке соответствующего значения рангов «х»

4). Определяются для каждого значения ранга «у» число следующих за ним рангов, больших его. Суммарное значение этих превышений обозначается P

5). Для каждого значения ранга «у» определяется число следующих за ним рангов меньших значений данного ранга. Суммируя эти значения получаются величины Q

6). Величина S определяется по формуле :

S = P + (-Q)

(Пример № 3 см. приложение)