1

1. Достаточные признаки сходимости числового ряда

Числовой ряд а ₁ + а₂ + … = называется сходящимся, если существует конечный предел S_n= S, где S_n = а₁ + а₂ + … + а_n. В противном случае ряд называется расходящимся.

Для определения сходимости числовых рядов используется ряд признаков, позволяющих определить, расходится данный ряд или сходится.

1.1. Признак сравнения рядов.

Пусть имеем два ряда с положительными членами:

а₁ + а₂ + а₃ + …

в₁ + в₂ + в₃ + …

Если для всех n Є [1, ∞) а_n ≤ в_n и ряд сходится, то сходится ряд .

Этот признак сравнения применяется только для рядов с положительными членами, этот признак перестаёт быть верным, если среди членов ряда имеются отрицательные числа.

1.2. Признак Даламбера.

Если в ряде с положительными членами а₁ + а₂ + а₃ + … отношение (n+1) – го члена к положительному при n → ∞ имеет конечный предел l, т.е. , то:

а) ряд сходится, если l ≤ 1;

б) ряд расходится, если l ≥ 1; если l = 1, то ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда, признак не даёт.

Пример: Рассмотрим ряд

1 +

а_n = а_n₊₁ =

0 ≤ 1 ряд сходится.

1.3. Признак Коши.

Если для ряда с положительными членами а₁ + а₂ + а₃ … величина имеет конечный предел, т.е. , то:

а) ряд сходится, если l ≤ 1;

б) ряд расходится, если l ≥ 1.

Случай l = 1 требует дополнительного исследования, т.к. могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды.

Пример: Рассмотрим ряд

Ряд сходится.

1.4. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда а₁ + а₂ + … + а_n + … положительны и не возрастают, т.е. а₁ ≥ а₂ ≥ а₃ ≥ … ≥ а_n ≥ … и пусть f(х) такая непрерывная и невозрастающая функция, что f(1) = a₁; f(2) = a₂; … f(n) = a_n; … то:

а) если несобственный интеграл сходится, то ряд сходится;

б) если расходится, то ряд расходится.

Пример: Рассмотрим ряд

Тогда

х при р ≠ 1; при р = 1.

Устремляя N → ∞ получим:

При р ≥ 1 - ряд сходится;

При р≤ 1 = ∞ - ряд расходится;

При р = 1 - ряд расходится.

Кроме того, в ряде случаев применяют признаки Рабе и Гаусса.

1.5. Признак Рабе: если для ряда с положительными членами а₁+ а₂ + а₃ + … существует конечный предел: , то:

а) ряд сходится, если р ≥ 1;

б) ряд расходится, если р ≤ 1.

1.6. Признак Гаусса: если все члены ряда а₁ + а₂ + а₃ + … а_n + …положительны и , где ≤ С; Е ≥ 0, то при ряд сходится; при ряд сходится, если и расходится, если .

2. Нормальное распределение и его характеристики.

Нормальный закон распределения играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся закон распределения, главной особенностью которого то, что он является предельным законом, к которому, при определённых условиях, приближаются другие законы распределения.

Дифференциальная функция нормального закона имеет вид:

f (x) =

Числовые характеристики нормального закона.

2.1. Математическое ожидание характеризует центр распределения:

М (х) =

2.2. Дисперсия характеризует форму распределения:

D (х) = .

Свойства дифференциальной функции нормального распределения.

а) область определения – вся числовая ось;

б) ось ОХ – горизонтальная асимптота;

в) х = а ± σ – точки перегиба;

г) max функции в точке с координатами ;

д) график симметричен относительно прямой х = а;

е) вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал определяется по свойству интегральной функции: Р ( ≤ х ≤ β) = Ф^* , где Ф^* (х) = - интегральная функция нормального закона.