Задание 2

Магазин торгует телевизорами двух марок А и В, пользующихся одинаковым спросом населения. За день торговли из имеющихся 4 телевизоров марки А и 6 телевизоров марки В было продано два телевизора. На следующий день магазин получил 6 телевизоров А и 4 телевизора марки В. За второй день торговли продали три телевизора.

1.     Определить вероятность того, что по крайней мере один из проданных во второй день телевизоров – марки А.

2.     Проданные во второй день – телевизоры марки А. Телевизоры каких марок вероятнее всего были проданы в первый день торговли?

Решение:

Вероятность продажи телевизора марки А в первый день:

Р₁^А=4/10

Тогда, вероятность после продажи двух телевизоров в первый день станет равной:

Р₂^А=4/10-4/10*4/10=6/25

Во второй день поступило 6 телевизоров А и 4 телевизора марки В, т.е. всего телевизоров стало 10-2+6+4=18. Значит, вероятность увеличилась на 6/18:

Р₃^А=6/25+6/18=43/75

Это вероятность продажи телевизора А во второй день.

1. Вероятность того, что по крайней мере один из проданных во второй день телевизоров – марки А:

P(k>=1)=1-P(k=0)=1-C₃⁰*(43/75)⁰*(32/75)³=0,922

2. Т.к. во второй день все проданные телевизоры марки А, то вероятность продажи телевизора А во второй день была высока, значит в первый день вероятнее всего телевизоры А не были проданы, т.е. проданы телевизоры марки В.

Задание 3

В среднем 20% пакетов акций на аукционе продаются по первоначально заявленной цене.

1.      Какова вероятность того, что из 5 наугад взятых пакетов акций будет продано по другой (не первоначально заявленной) цене:

а) ровно 3;

b) не менее 3;

с) не более 3;

d)хотя бы один пакет акций?

2.      Вычислить вероятность того, что из ста выставленных на аукционе пакетов акций по первоначально заявленной цене будет продано:

а) 18;

b) не менее 18;

с) не более 23;

d) не менее 15, но не более 25 пакетов акций.

Решение:

р=1-0,2=0,8 – вероятность того, что пакет акций будет продан по другой цене

1.  n=5 – число выбранных пакетов акций

k – число пакетов акций, проданных по другой цене

Используя формулу Бернулли P_n(k)=C^k_n*p^k*q^n-k рассчитаем вероятности:

а) Р(k=3)= C₅³*0,8³*0,2²=0,2048

b) Р(k>=3)= Р(k=3)+ Р(k=4)+ Р(k=5)=0,2048+C₅⁴*0,8⁴*0,2¹+ C₅⁵*0,8⁵*0,2⁰=

0,94208

с) Р(k<=3)=1- Р(k>=3)+ Р(k=3)=1-0,94208+0,2048=0,26272

d) P(k>=1)=1- P(k=0)=1- C₅⁰*0,8⁰*0,2⁵=0,99968

2. .  n=100– число выбранных пакетов акций

p=0,2 вероятность того, что пакет акций будет продан по первоначально заявленной цене

k – число пакетов акций, проданных по первоначально заявленной цене

a) Р(k=18)= C₁₀₀¹⁸*0,2¹⁸*0,8⁸²=0,7468

b) Р(k≥18)=Р(18,100)

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

P(k₁, k₂)=Ф(x₂)-Ф(x₁)

где Ф(x) - функция Лапласа[1]

x₁=(k₁-n*p)/√npq=(18-100*0,2)/√100*0,2*0,8= -0,5

x₂=(k₂-n*p)/√npq=(100-100*0,2)/√ 100*0,2*0,8=20

Ф(-0,5)= -0,1915

Ф(20)= 0,5

Значит, искомая вероятность равна:

P(18,100)=0,5+0,1915=0,6915

c) Р(k≤23)=Р(0,23)

P(k₁, k₂)=Ф(x₂)-Ф(x₁)

x₁=(k₁-n*p)/√npq=(0-100*0,2)/√100*0,2*0,8= -5

x₂=(k₂-n*p)/√npq=(23-100*0,2)/√ 100*0,2*0,8=0,75

Ф(-5)= -0,5

Ф(0,75)=0,2734

Значит, искомая вероятность равна:

P(0,23)=0,2734+0,5=0,7734

d) Р(15≤k≤25)=P(15, 25)

P(k₁, k₂)=Ф(x₂)-Ф(x₁)

x₁=(k₁-n*p)/√npq=(15-100*0,2)/√100*0,2*0,8= -1,25

x₂=(k₂-n*p)/√npq=(25-100*0,2)/√ 100*0,2*0,8=1,25

Ф(-1,25)= -0,3944

Ф(1,25)=0,3944

Значит, искомая вероятность равна:

P(15, 25)=0,3944+0,3944=0,7888

Задание 4

В партии из 10 изделий содержится 3 бракованных. Для проверки качества изделий контролер из всей партии наугад выбирает одновременно три изделия. Рассматривается случайная величина (с.в.) ξ – число бракованных изделий, содержащихся в выборке.

1. Составить ряд распределения с.в. ξ и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в. ξ и построить его график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М ξ, дисперсию D ξ и среднее квадратическое (стандартное) отклонение σ (ξ).

4. Определите вероятности:

а) Р {ξ < М ξ };

b) Р {ξ < М ξ +1};

c) Р {|ξ - М ξ| < σ (ξ)}.

Решение:

1. n=3 – число выбранных изделий

 k – число бракованных изделий среди выбранных

p=3/10=0,3 – вероятность попадания бракованного изделия

q=7/10=0,7 – вероятность попадания исправного изделия

Р (k=0) = C₃⁰*(0,3)⁰*(0,7)³=0,343

Р (k=1) = C₃¹*(0,3)¹*(0,7)²=0,441

Р (k=2) = C₃²*(0,3)²*(0,7)¹=0,189

Р (k=3) = C₃³*(0,3)³*(0,7)⁰=0,027

Ряд распределения с.в. ξ:

и его графическое представление:

2. Функция распределения с.в. ξ:

 F(x)=P(X-x)

Его графическое представление:

3.

Математическое ожидание (среднее значение):

М ξ=∑ξ *Р=0,9

Дисперсия:

D ξ= М (ξ²) – (М ξ)²=∑ ξ²* Р - (М ξ)²=1,44-0,9²=0,63

Среднее квадратическое (стандартное отклонение):

σ(ξ)=√Dξ=√0,63=0,7

4. а) Р {ξ < М ξ }= Р {ξ < 0,9}= Р (ξ =0)= 0,343

b) Р {ξ < М ξ +1}= Р {ξ < 1,9}= Р (ξ =0)+ Р (ξ =1)=

=0,343+0,441=0,784

c) Р {|ξ - М ξ| < σ (ξ)}= Р {|ξ – 0,9| < 0,7}= Р (ξ =1)= 0,441

Задание 5

Время ξ (в мин.) между прибытием двух автомашин к светофору является случайным с плотностью распределения:

p(x)=     c*e^-x/2, если x>=0

0, если x<0

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

2. Найти функцию распределения с.в. ξ и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М ξ, дисперсию D ξ и среднее квадратическое (стандартное) отклонение σ (ξ).

4. Во сколько раз число прибывших к светофору автомашин со временами между прибытиями больше среднего превосходит число автомашин со временами между прибытиями меньше среднего?

Решение:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся формулой:

_-∞^+∞∫f(x)dx=1

Так как f(x) на разных интервалах задана различными выражениями, то интеграл _-∞^+∞∫f(x)dx разбиваем на два интервала:

_-∞^+∞∫f(x)dx=_-∞⁰∫0dx+₀^+∞∫С*e^-x/2dx=1

Отсюда   ₀^+∞∫С*e^-x/2dx=1

-2*С* e^-x/2│₀^+∞=1

2*С=1

Следовательно: С=1/2

В силу этого плотность вероятности запишется:

p(x)=  e^-x/2/2, если x>=0

0, если x<0

2. Чтобы найти функцию распределения с.в. ξ используем формулу:

F(x)= _-∞^x∫f(x)dx

Если x<=0, то f(x)=0, следовательно,

F(x)= _-∞^x∫0dx=0

Если x>0, то

F(x)= _-∞⁰∫0dx + ₀^x∫ e^-x/2/2 dx=  ₀^x∫e^-x/2/2 dx= -e^-x/2│₀^x=1- e^-x/2

Итак:

F(x)=  1- e^-x/2, если x>=0

0, если x<0

3. Воспользуемся формулами:

M(X)= _-∞^+∞∫x*f(x) dx   и  D(X)= _-∞^+∞∫x²*f(x) dx – [M(X)]²;

M(X)= _-∞^+∞∫x*f(x) dx=_-∞⁰∫0dx+₀^+∞∫x*e^-x/2 /2dx= -x*e^-x/2 -2*e^-x/12│₀^+∞=2

D(X)= _-∞^+∞∫x²*f(x) dx – 2²=_-∞⁰∫x²*0dx+₀^+∞∫x²*e^-x/2 /2dx-2²=

-x²*e^-x/17 -4x*e^-x/17 - 8e^-x/17│₀^+∞-2²=8-2²=4

Cреднее квадратическое (стандартное) отклонение σ (ξ):

σ (x)= √D(X)=2

4. Вероятность того, что число прибывших к светофору автомашин со временами между прибытиями меньше среднего:

р(x<17)= _-∞²∫f(x)dx=₀²∫ e^-x/2/2 dx =-e^-x/2│₀²=1-е^-1

и больше среднего:

р(x>17)= ₂^∞∫f(x)dx=₂^∞∫ e^-x/2/2 dx = -e^-x/2│₂^∞= е^-1

Значит, число прибывших к светофору автомашин со временами между прибытиями меньше среднего превосходит число автомашин со временами между прибытиями больше среднего в:

р(x<17)/ р(x>17)= (1-е^-1)/ е^-1=е-1=1,71828 раз