Задача 1

В группе из 15 человек 8 человек занимается спортом. Найти вероятность того, что из случайно выбранных 6 человек 5 человек занимаются спортом.

Решение

Найдем число сочетаний по 8 человек из 15:

- число сочетаний из 15 по 8

Пусть А₀ – {среди 6 человек нет занимающихся спортом}

А₁ – {среди 6 человек 1 занимается спортом}

А₂ – {среди 6 человек 2 занимаются спортом}

А₃ – {среди 6 человек 3 занимаются спортом}

А₄ – {среди 6 человек 4 занимаются спортом}

А₅ – {среди 6 человек 5 занимаются спортом}

Тогда событие А = {6 человек из 5 занимаются спортом} можно представить в виде: . Так как эти события несовместны, то .

Отобрать 6 человек из 15 можно 6435 способами (см. выше). Событию благоприятствует случаев. Следовательно,

Задача 2

Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек будут в разные месяцы года.

Решение

Т.к. в году 12 месяцев, то вероятность рождения в каждом месяце будет равна p=1/12.

Задача 3

На одной полке наудачу расставляется 15 книг. Найти вероятность того, что определенные 3 книги окажутся поставленными рядом.

Решение

Вероятность того, что каждая из 15 книг окажется на определенном месте, равна 1/15. Найдем число сочетаний по 3 книги из 15

Так как порядок в тройках книг не важен, то возможное число троек книг равно 455 / 3 ≈ 151.

Следовательно, вероятность того, что 3 книги будут рядом равна 15/151≈0,0989

Задача 5

На каждой из семи одинаковых карточек написана одна из следующих букв: А, А, Е, Н, С, Т, Т. Карточки перемешаны. Определить вероятность того, что из вынутых и положенных в ряд карточек а) можно составить слово «СТЕНА»; б) из трех карточек можно составить слово «НЕТ».

Решение

Найдем сколько можно составить 5-ти буквенных слов из 7 букв:

- количество 5-тибуквенных комбинаций

Так как слово «СТЕНА» можно составить единственным способом, то вероятность Р этого события = 1/21.

Теперь найдем число комбинаций 3 букв из 7:

- количество 3-хбуквенных комбинаций

Так как слово «НЕТ» составляется только одним способом, то вероятность Р этого событии – 1/35.

Задача 7

Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число кратно трем или пяти.

Решение

Всего есть 90 двухзначных чисел.

Перечислим двухзначные числа кратные трем или пяти; 10, 12, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 30, 33, 35, 36, 39, 40, 42, 45, 48, 50, 51, 54, 55, 57, 60, 63, 65, 66, 69, 70, 72, 75, 78, 80, 81, 84, 85, 87, 90, 93, 95, 96, 99.

Всего 42 двухзначных чисел, которые делятся на 3 или на 5.

Следовательно, вероятность того, что взятое двухзначное число кратно 3 или 5 равна Р = 42 / 90 = 7/15.

Задача 9

В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором ящике из 7 шаров 2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй переложили один шар, затем из второго в первый переложили один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный после этого из первого ящика будет черным.

Решение

Всего имеется 6 красных и 7 черных шаров. Т.е. всего 13 шаров.

Вероятность извлечения черного шара из 1-го ящика =

После перекладывания из первого во второй, вероятность извлечения черного шара из второго ящика =

Следовательно, после перекладывания шара из второго ящика в первый, вероятность извлечения черного шара =

Задача 11

В семье 10 детей. Считая вероятность рождения девочки и мальчика равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трех, но не более восьми.

Решение

а) вероятность того, что в семье 5 мальчиков = 5 / 10 = 0,5

б) вероятность рождения 3-х мальчиков = 3 / 10 = 0,3

вероятность рождения 4-х мальчиков = 4 / 10 = 0,4

вероятность рождения 5-ти мальчиков = 5 / 10 = 0,5

вероятность рождения 6-ти мальчиков = 6 / 10 = 0,6

вероятность рождения 7-и мальчиков = 7 / 10 = 0,7

вероятность рождения 8-и мальчиков = 8 / 10 = 0,8

Следовательно, вероятность рождения от 3-х до 8-ми мальчиков составляет:

0,3 × 0,4 × 0,5 × 0,6 × 0,7 × 0,8 = 0,,02016

Задача 13

В автопарке 100 машин. Вероятность поломки машины равна 0,2. Найти наивероятнейшее число исправных автомобилей и вероятность этого числа.

Решение

Вероятное число поломанных машин = 100 × 0,2 = 20

Наивероятнейшее число исправных автомобилей = 100 – 20 = 80

Вероятность числа исправных автомобилей = 80 / 100 = 0,8

Задача 15

Вероятность работы каждого из 4 комбайнов без поломки в течение определенного времени равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х – числа комбайнов, работавших безотказно. Построить многоугольник распределения вероятностей, найти М(Х), D(X) и (х).