Вопросы по финансовой математике

Вопросы по финансовой математике

1. Проценты и процентные ставки, основные понятия и термины. Наращение суммы долга при простой неизменной процентной ставке и в случае, когда ставка меняется со временем.

Процент – это доход от предоставления денег в долг в любой форме (в виде ссуды, продажи в кредит, помещения денег на сберегательный счет, покупке облигаций или акций, векселей, финансовых операций). Если в начале финансовой операции была вложена сумма Р, а по завершению операции получена сумма S, то величина % (дохода) I=S-Р.

Процедура увеличения первоначальной суммы денежных средств называется наращиванием, а S – конечная или наращенная сумма. Единица измерения % в России является рубль. i= I/P=(S-P)/P Величина процентной ставки определяется на заданный период времени (один год). Процентная ставка – безразмерная величина, в финансовых документов записывается в виде математических процентов. Процентная ставка является так же измерителем степени доходности любой финансовой операции. В этом случаи процентную ставку называют доходностью.

Процентные ставки наращивания. Простая % ставка наращивания – ставка, при которой база начислений постоянная.

Проценты I за весь срок ссуды вычисляется по формуле: I=P*i*n, где n – срок финансовой операции (ссуды).

S=P+I=P+P*i*n= P*(1+i*n) – формула наращения при простой процентной ставке, где 1+i*n – множитель наращения, n – число годов, может быть дробным.

Срок ссуды рассчитывается по формуле n=t/k, где t – число дней ссуды, к – временная база или число дней в году. Имеются два типа временных баз: к=360 (обыкновенный процент) и к=365 или 366 (точные проценты).

2. Практика начисления простых процентов при продолжительности срока ссуды менее одного года.

Простые % ставки наращивания применяются как правило при анализе краткосрочных ссуд сроком менее одного года.

При расчете срока ссуды и начислений по простой % ставке используют 3 метода: 1) метод точных %, с точным числом дней ссуды к=365, количество дней ссуды рассчитывается точно по календарю (первый и последний день принимаются за один). Применяется многими банками централизованных стран; 2) метод обыкновенных % с точным числом дней ссуды (365/360), количество дней ссуды рассчитывается точно по календарю (первый и последний день принимаются за один). Применяется в ссудных операциях коммерческих банках. 3) метод обыкновенных % с приближенным числом дней ссуды к=360, в каждом месяце 30 дней. Применяется в промежуточных расчетах.

3. Сложные проценты. Наращение суммы долга при применении сложной процентной ставки.

Простые переменные ставки. Время финансовых операций может быть разбито на к – периодов, где i1,i2,…,ik – простая % ставка в к-том периоде, n1,n2,…,nk - продолжительность периода. Тогда наращенная сумма определяется по формуле: S=P*(1+n1*i1+n2*i2+…+nk*ik), где (1+n1*i1+n2*i2+…+nk*ik) – множитель наращивания.

Сложная % ставка наращивания – это ставка, при которой базой начисления является переменная (т.е. % начисляется на %).

Вывод формулы: S1=P+P*i=P*(1+i), S1 будет являться базой для второго года, следовательно S2=(1+i1)* S1= (1+i)* P(1+i)= P(1+i)^2

Sn=P(1+i)^n – формула наращенной суммы по сложным % за n лет.

S=P(1+i1)^ n1 *(1+i2)^n2*…*(1+iк)^(nк) – формула наращенных % при изменении ставки во времени.

4. Номинальная и эффективная ставки процентов.

Нередко в финансовых операциях в качестве периода наращивания % используется не год, а месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что % начисляют m раз в году. Сложная % ставка наращивания является частным случаем номинальной % ставки при начислении % один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через j, то % за первый период начисляются по ставке j/m, а количество начислений m*n.

Наращенная сумма определяется по формуле: S=(1+j/m)^(m*n) * P

Эффективная % ставка (iэ) – это % ставка, которая дает такую же % ставку, что и номинальная с начислением % m раз в году. iэ = ((1+j/m)^m )- 1 – показатель доходности

Нахождение номинальной % ставки j=m* (1+iэ)^(1/m) -1

5. Дисконтирование и учет по простым ставкам.

При дисконтировании по известной наращенной сумме процентной ставки и сроков ссуды, определяется современная стоимость этой наращенной суммы. Другими словами, при дисконтировании суммы S, которое будет выдано через срок и на остатках дисконта вычисляется современная величина стоимости P в сумме S.

i – процентная ставка дисконтированная

S = (1+i*n)*P-наращенная сумма по простым процентам, где P=S/(1+i*n)

Сложный процент:

S=(1+i)^n*P => P=S/(1+i)^n

S=(1+j/m)^(m*n)*P => P=S/(1+j/m)^(m*n)

Множители:

1/(1+i*n); 1/(1+i)^n; 1/(1+j/m)^(m*n) –дисконт множителей.

D=S-P – дисконт суммы S.

Пример.

Через 159 дней должник уплатит 8500 руб. Кредит выдан под простой процент 19% годовых. Какова первоначальная сумма долга и дисконт, при условии, что временная база 360 дней.

Решение:

P=S/(1+ni)=8500/(1+159/360)=7841,93

I=0,19; ni=159/360

D=8500-7841,93=658,07 (дисконт).

6. Учет (дисконтирование) по сложной ставке.

При использовании сложной процентной ставки, каждый раз эта ставка применяется не к первоначальной сумме, как простая учетная ставка, а к сумме дисконтирования на предыдущем шаге.

Поэтому сумма выданная банком по векселю вычисляется по формуле:

P=S*(1-d)^n

P=S*(1-d/m)^(m*n), где d-сложная учетная ставка.

Пример.

Вексель на сумму 20000 руб. Учтем 1,8 года, учитывается по сложной процентной ставке 18% годовых и дисконт при ежегодном и ежемесячным дисконтировании.

Решение:

S=20000

n=1,8

1) Ежегодно:

P=S*(1-d)^n=20000*(1-0,18)^1,8=13990,49

2) Ежемесячно:

m=12

P=S*(1-d/m)^(m*n)=20000*(1-0,18/12)^12*1,8=14429,57.

7. Потоки платежей, основные понятия. Финансовые ренты и их классификация.

Типы потоков платежей:

Потоки платежей - это платежи последовательны во времени (например, выплаты пенсий, кредита и т.д.). Регулирование потоком платежей (финансовой рентой) аннуитетом, называются платежи, у которых все выплаты направляются в одно направление, а интервалы между платежами одинаковы.

Нерегулируемым потоком называются платежи, у которых часть выплат является положительной, а другая часть отрицательная - выплаты сторонним организациям. Интервалы в этом случае могут быть неравными друг другу.

Наращенная сумма потоков платежей – это сумма всех выплат с начислением в конце срока процентов.

Современная стоимость потока платежей – это сумма выплат дисконта на начало срока по сложной процентной ставке.

Rl-платеж в момент времени tl.

i – сложная процентная ставка, начисляется 1 раз в году.

k – количество платежей.

S1=R1 (S1 наращенная от R1)

S1=R1*(1+i)^(tk-t1)

S2=R2*(1+i)^(tk-t2)

Sk=Rk k

S=S1+S2+…+Sk=R1*(1+i)^(tk-t1)+R2*(1+i)^(tk-t2)+Rk=∑ Rl*(1+i)^(tk-tk)

l=1

A – современная стоимость потоков платежей.

Пусть А1 – современная стоимость платежа R1

P=S/(1+i)^n

A1=R1*1/(1+i)^t1

A2=R2/(1+i)^t2

Ak=Rk/(1+i)^tk

A=A1+A2+…+Ak=R1/(1+i)^t1+R2/(1+i)^t2+…+Rk/(1+i)^tk => A=∑Rk/(1+i)^tk

L=1

Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

· член ренты - величина каждого отдельного платежа;

· период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;

· срок ренты – время, измеренное от начала ренты до конца ее последнего периода;

· процентная ставка – используется при наращивании или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент:

1. по количеству платежей в течение года (годовые – один раз в году); p – срочные (p платежей в году), непрерывные;

2. по количеству начисления процентов: 1 раз в году; m – раз в году; непрерывно.

Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

3. по величине элементов (платежей) рента: постоянные (с равными платежами) и переменные (с неравными платежами).

4. по вероятности выплат: верные (с заранее определенными платежами); уставные (значительная часть платежей, которые не определены).

5. по количеству элементов: заданные (ограниченные) и бесконечные (вечные).

6. по соотношению начального срока ренты и начала действия ренты и начало действия контракта: немедленные, отсроченные и отложенные.

7. по моменту выплат платежей: постнумерандо (платеж в конце периода) и пренумерандо (платеж в начале периода).

8. Потоки платежей. Расчет современной величины суммы.

Потоки платежей - это платежи последовательны во времени (например, выплаты пенсий, кредита и т.д.).

Годовая рента постнуерандум.

A1=R/(1+i)^1

A2=R/(1+i)^2

An=R/(1+i)^n, где R – член годовой ренты, i – процентная ставка, n – срок ренты.

Современная стоимость всех платежей:

S=R/(1+i)+R/(1+i)^2+…+R/(1+i)^n = R/(1+n)*[1+1/(1+i)+…+1/(1+i)^n]=R/(1+i)*((1/*1+k)^n-1)/(1/(1+i)-1)=

R*(1-1/(1+i))^n/i

g=1/(1+i)

Пример.

В течении 3 лет на расчетном счете в конце каждого года поступает по 10 млн. рублей. Ежегодно дисконтирование производится по сложной процентной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

N=3, R = 10000000, I =0,1

S=10000000*1-(1/(1+0,1)^3/0,1= 24,868 млн.руб.

p – срочная рента с дисконтированием m раз в году.

Начисление производится p раз в году.

R – сумма платежей за год, m- производится дисконтирование, g – сложная годовая ставка.

Современная стоимость этой финансовой ренты находится по формуле:

A=R/P*(1+j/m)^(-m*n)-1/(1+j/m)^m/p, где p=1, m =/= 1.

A = R*(1+j/m)^(-m*n)-1/1-(1+j/m)^m

P=m+1

A=R/m*(1+j/m)^(-m*n)-1/1-(1+j/m)^m=R*(1-(1+j/m)^(-m*n))/j=A

Пример.

Создан фонд, в котором в течение 5 лет производятся ежегодные взносы 100 млн. рублей с ежеквартальным начислением сложно процента 20 % годовых. Найти современную стоимость данного денежного потока.

n=5, R=100, m =4, j=0,2, p=1

A=100000000*(1+0,2/4)^(-4*5)/(1-(1+0,2/4)^4)=377,5 млн. руб.

Пример.

n=5; R=100; m=1; j=0,2; p=2

A= 100000000/2*(1+0,2)^(-5)/(1-(1+0,2)^1/2)=313,4 млн. руб.

9. Обычная годовая рента.

10. Годовая рента, начисление процентов несколько раз в году.

11. Общий случай р-срочной ренты с многократным начислением процентов в году.

12. Характеристики основных финансовых рынков и инструментов. Методы и модели прогнозирования финансовых рынков.

13. Виды ценовых графиков. Виды трендов. Линии поддержки и сопротивления.

Для анализа и прогнозирование процессов на финансовых рынках используется два подхода: техничесий и фудаментальный.

Отличительной чертой фундаментального подхода явл-ся рассмотрение существа процессов происходящих на рынке выявления порождающих их причин и взаимосвязи.

Технический анализ связан с изучением динамики непосредственно самих процессов протекающих на финансовых рынках, в частности со способами выявления тренда и выявления момента его разворота.

Тренд означает определенное направление движение цен, долгосрочную тенденцию их движения.

Методы технического анализа делятся на графические и численные.

Численные: недельные, дневные, часовые.

Графические: 1) линейчатые графики используются в случаях, когда сделок мало группировка данных не дает существенного представления, 2) штриховые диаграммы

В основе технического анализа лежит ряд базовых принципов:

1. В графиках прошлой информации учтены все факторы влияющие на динамику цен (курс учитывает вес) или тенденции изменения цен учитывает действие существующих факторов определяющие их движение. Торговля финансовыми активами ведется на биржах.

2. Движение цен на финансовые активы носят характер тренда, т.е. цены увеличиваются или уменьшается в течение определенного периода времени.

В техническом анализе 3 вида тренда:

А) «бычий»-повышательная тенденция в изменении цен (бык поднимает цену на своих рогах).

Б) «медвежий» - понижательная тенденция ( медведь поджимает цену лапами и телом)

В) боковой тренд (флэт) нет ярко выраженной тенденции понижения и повышения

Тренды различаются по длительности существования:

- первичный – тренд определяющий основное направление движения в течение длительного времени.

- вторичный существует в рамках первичного и отражает временные отклонения от основной тенденции.

- краткосрочный – изменение показателя в промежутке от нескольких часов до недель, краткосрочный действует на вторичном, а вторичный оказывает влияние на конфигурацию первичного тренда.

Понимание будущего лежит в изучение прошлого- метод аналогии.

Необходимо учитывать цены и объемы продаж (объемы продаж растут в период цен и наоборот)

Если в период роста цен объемы продаж начинают падать, это говорит о близком развороте цен.

Линии поддержки поддерживают цены снизу и не дают им проваливаться. Решающее значение имеет пробитие линии сопротивления или поддержки, что является сигналом возможного изменения направления тренда. Линии сопротивления, наоборот, сопротивляются росту цен.

14. Скользящие средние и их функция в анализе движения цен.

Ввиду того, что движение цен подвержено колебаниям для получения более наглядной информации о наличии тренда производят сглаживание данных после сглаживания. Тренд более явственный.

Наиболее простым методом сглаживания является метод простой скользящей средней.

МАt= (C_t+C_t-1+…..+C_t-n+1)/n, t=n,n+1…m, ( n=3, MAt=(Ct+Ct-1+Ct-2)/3 )

Метод взвешивания скользящей средней

WMAt = ( nCt+(n-1)*Ct-1+…+1Ct-n+1 )/(1+2…+n)

Экспоненциальная скользящая средняя

EMAt = α*Ct+(1-α)*EMAt-1 ( пример EMA1 = α*C1+(1-α)*EMA0)

EMA₀ =(C1+C2+…+C5)/5, 0 <α<1

e(t)=Ct-EMAt

SS=Σe²(t)

Скользящие средние дает более гладкую кривую, на которой более отчетливо, чем на графике цен прослеживается тенденция к росту или снижению цен.

Скользящую среднею можно рассматривать как линию тренда

Если простая скользящая средняя находится над графиком цен то тренд – бычий, если над медвежий.

Если скользящая средняя пересекает ценовой график, то это служит сигналом о развороте цен.

15. Применение осцилляторов (момент и скорость изменения цен) для прогнозирования движения цен.

Осцилляторы (колебать):

1) Момент (МОМ) – рассчитывается между ценами текущего дня Ct цены n-дней тому назад. МОМ=Ct-Ct-n - разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад Ct-n

Положительное значение МОМ свидетельствует об относительном росте цен и наоборот.

Движение графика МОМ вверх из зоны отрицательных в зону положительных значений в точке пересечения нулевой линии дает сигнал к покупке и наоборот.

Скорость изменения цен ROC

ROC=(Ct/Ct-1)*100% - отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в%

Рост или падение акции по сравнению c n-днями. При пересечении 100% снизу вверх надо покупать, а при пересечении сверху вниз – продавать финансовый инструмент.

16. Индекс относительной силы(RSI), его применение для прогнозирования движения цен.

RSI=100-(100/(1+(AV/AD))) или 100*(AV/(AD+AV))

AV – сумма приростов конечных цен за n последних дней

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней

Если RSI = 80-100% - зона перекупленности, значит цены выросли, надо ждать их падения и подготавливаться к продажи. Сигналом к продаже служит момент выхода графика RSI из зоны перекупленности.

Если выходит из этой зоны – сигнал к продаже акций

Если- 0-20% зона перепроданности, значит цены упали слишком низко, надо ждать их роста и подготавливаться к покупке. Сигналом к покупке служит момент выхода графика RSI из зоны перепроданности.

17. Стохастические линии (%K, %R и %D) и их использование для прогнозирования движения цен.

Стохастические линии строятся с использованием более полной информации, при их расчете используются максимальные и минимальные цены. Как правило применяют следующие стохастические цены: %К,%D, медленная %D и %R.

%K=100*(Ct-L5)/(H5-L5),

где %K – значение индекса текущего дня t,

Ct- цена закрытия текущего дня t,

H5-L5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий ( в качествеинтервала может быть выбрано и другое число дней)

%R=100*(H5-C5)/(H5-L5),

где где %R – значение индекса текущего дня t,

Ct- цена закрытия текущего дня t,

H5-L5 – минимальная и максимальная цены за n предшествующих дней, включая текущий.

Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цене, а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %К и %R проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия. При расчете %К разность между ценой закрытия текущего дня и минимальной ценой за 5 дней сравнивают с размахом цен за эти же 5 дней. В млучае расчета %R с размахом сравнивают разность между макс ценой за 5 дней и ценой закрытия.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %K с той лишь разницей, что при его построении величины Ct-L5 и H5-L5 сглаживают, беря их трехдневную сумму.

%D = ∑ (Ct-L5)

i=t=2 * 100

∑ ( H5-L5)

i=t=2

Если %К=0-20%, то зона перепродажности

80-100%, зона перепоупаемости

18. Модель Хольта-Уинтерса и ее применение для прогнозирования экономических показателей.

Многие финансовые экономические показатели на ряду с устойчивой тенденцией к росту или снижению подвержены сезонным колебаниям. Такие процессы моделируются временными рядами вкл в себя как тренд так и сезонную компоненту. Для краткосрочного прогноза таких процессов можно использовать адаптивные модели временных рядов с сезонной компонентой, напр модель Хонта-Уинтерса.

Мультипликативная модель Хольта-Уинтарса с линейным ростом имеет следующий вид:

Yp(t+k)= [a(t)+k*b(t)]*F(t+k-L)

Где k-период упреждения;

Yp(t)- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

a(t),b(t), F(t) – коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от члена ряда с номером, t-1 к t.

F(t+k-L)- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L-период сезонности.

Формулы:

a(t)=α1*Y(t)/F(t-L)+(1-α1)*[a(t-1)+b(t-1)]

b(t)=α3*[a(t) – a(t-1)]+(1- α3)*b(t-1)

F(t)= α2*Y(t)/a(t)+(1- α2)*F(t-L)

Параметры сглаживания α1, α2, α3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим.

Линейная модель имеет вид:

Yp(t)=a(0)+b(0)*t

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам:

b(0) = ∑ (Y(t)-Ycp)*(t-tcp)

t=1 ;

∑ (t-tcp)^2

t=1

a(0) = Ycp-b(0)*tcp;

Ycp = 1* ∑ Y(t);

Tcp= 1* ∑ N.

N 1

19. Оценка качества модели прогнозирования.

Для того, что бы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям ( точности и адекватности).

1) Точность модели:

Условия точности выполнено, если относительная погрешность ( абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%.

2)Проверка адекватности модели:

Для того, чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

А)Проверка случайности уровней:

Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если оно больше ( либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и ставится 1, в противном случае 0.

q= int[2(N-2)/3-2√(16N-29)/90]

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено.

Б) Проверка независимости уровней ряда остатков ( отсутствие автокорреляции):

1) по d-критерию:

d = ∑ [E(t) – E(t-1)]^2

2 .

∑ E(t)^2

В случае если полученное значение больше 2, значение имеет место отрицательная автокорреляция, в таком случае величину d уточняют, вычитая полученное значение из 4.

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель адекватна.

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков.

Если d2<d<d2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

r(1)= ∑ [E(t)*E(t-1)]

2 .

∑ E(t)^2

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения /r(1)/<rтаб, то уровни ряда остатков независимы.

В) Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS- критерию

RS=(Emax-Emin)/S

Emax-максимальное значение уровней ряда остатков Е(t)

Emin – минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

S - среднее квадратическое отклонение.

S = √ (∑ E(t)^2)/(N-1)

Значение RS сравнивают с табличным значением, если значение попадает в заданный интервал, то кровни остатков полдчиняются нормальному распределению.

20. Определение коэффициентов сезонности в модели Хольта-Уинтерса.

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

F(t) = Y(t) / Yлин(t)

Коэффициенты рассчитываются по формулам:

a(t)=α1*Y(t)/F(t-L)+(1-α1)*[a(t-1)+b(t-1)]

b(t)=α3*[a(t) – a(t-1)]+(1- α3)*b(t-1)

F(t)= α2*Y(t)/a(t)+(1- α2)*F(t-L)

21. Основные этапы модели Хольта-Уинтерса. Доверительный интервал и относительное среднеквадратическое отклонение.

22. Экспертная оценка. Коэффициент парной ранговой корреляции.

23. Экспертная оценка. Коэффициент конкордации.

24. Определение точечного и интервального прогноза по экспертным оценкам.