1.          Введение.

Одной из важнейших задач математики является исследование и решение систем уравнений первой степени. Как само су­щест­во­ва­ние решений системы, так и возможные числовые значения эле­мен­тов решения полностью определяются матрицами. В реферате я рассмотрел некоторые общие вопросы, ка­са­ющи­е­ся матриц:

Þ           определители квадратных матриц второго, третьего и высших по­рядков;

Þ           минор матрицы;

Þ           ранг матрицы;

Þ           операции над матрицами;

Þ           собственные числа;

Þ           функциональное пространство.

2. Основные понятия.

Система линейных уравнений

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ +…+ а_1nх_n = у₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ +…+ а_2nх_n = у₂

_{…………………………………………………………}

а_m1х₁ + а_m2х₂ + а_m3х₃ +…+ а_mnх_n = у_m

будет некоторое множество связей между переменными х₁, х₂,…,х_n и у₁, у₂,…, у_m. Эти связи, или линейное преобразование переменных х в переменные у, полностью характеризуются упорядоченным набором коэффициентов a_ij. Если это множество коэффициентов обозначить через A и записать в виде

,

то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать в виде: Ах = у. Несомненно, приведенное выражение по виду значительно проще, чем соответствующая система линейных уравнений. Это одна из соответствующих причин использования матриц.

            Столбцы матриц называются векторами-столбцами, а строки матрицы - векторами-строками. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, называется (m×n) матрицей. Квадратная матрица (m = n), является матрица n-го порядка.

1.1.  Основные типы матриц.

·         Матрица типа (m×1) называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом, т.к. она состоит из одного столбца и m строк.

.

·         Матрица типа (1×n), содержащая одну строку элементов, называется матрицей строкой.

.

·         Диагональной матрицей называется квадратная матрица, элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.

.

·         Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны единице.

.

·         Транспонирование матрицы А – операция, при которой ее строки и столбцы меняются местами (А^т).

·         Матрица, все элементы которой тождественно равны нулю, называется нулевой матрицей.

1.2.  Простейшие операции над матрицами.

• Сложение матриц.

Если матрицы А и В одного порядка (m×n), то суммой служит матрица С = А + В, элемент которой определяется как c_ij = a_ij + b_ij, ; .

Свойства:      А + В = В + А (коммутативность);

А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).

• Вычитание матриц.

Разность матриц одного порядка (m×n) равна матрице D = А – В, элементы которой определяются как: d_ij = a_ij - b_ij, ; .

• Матрицы А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы: a = b.
• Произведение матриц.

Произведение матриц А и В может рассматриваться как матрица С, где С = АВ, или [С_ik] = [a_ijb_jk]. В общем случае: С = АВ = [a_ikb_jk].

Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то матрицы А и В согласованы по форме, а если матрицы А и В равны (А = В), т.е. АВ = ВА, то говорят, что эти матрицы коммутативны.

• Умножение матриц на скалярную величину.

При левом или правом умножении матрицы на скалярную величину R, каждый элемент данной матрицы умножается на этот скаляр R. Произвольный элемент произведения RA равен Ra_ij.

• Умножение транспонированных матриц.

В^тА^т = (АВ)^т.

В общем случае: С^т = (АВ)^т = В^тА^т.

• Дифференцирование матриц.

Производная от А(t) по переменной t определяется как:

=.

Производная от суммы двух матриц:       [A(t) + B(t)] = (t) +(t).

Производная от произведения двух матриц:       [A(t)B(t)] = (t)B(t) + A(t)(t).

• Интегрирование матриц.

Подобно определению производной от матрицы, интеграл от матрицы определяется как матрица, образованная из интеграла от элементов исходной матрицы.

dt.

2.  Определители.

Определителем, или детерминантом  второго порядка матрицы А записывается как  и его значение считается равным (а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁). Его порядок равен числу строк квадратной матрицы или столбцов.

Определителем, или детерминантом  треть­его порядка, соответствующим матрице А,  на­зы­ва­ют число, полученное по правилу

            Схематически правило вычисления определителя можно изо­бра­зить следующим образом:

.

Свойства определителя:

1. Определитель равен единице, если все элементы на главной диагонали (а₁₁, а₂₂, а₃₃,…, а_nn) равны единице, а остальные нулю.
2. Определитель равен нулю, если равны нулю все элементы какой-либо строки или если равны или пропорциональны соответствующие элементы произведения двух строк.
3. Величина определителя остается постоянной по модулю при перестановке его строк.
4. Знак определителя изменяется при перестановке двух его строк.
5. Если элементы некоторого ряда имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

.

6. Определитель не изменяется, если к элементам некоторого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и тоже число.

.

2.1.  Миноры и алгебраические дополнения.

Минором порядка S данной матрицы А (М) называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных S строк и S столбцов.

            Если матрица А квадратная матрица, то вводится определение дополнительного минора.

            Дополнительным минором () называется определитель матрица, оставшийся после вычеркивания S строк и S столбцов.

Пр.:    

М = -4; =-24

            Алгебраическое дополнение минора – это дополнительный минор, умноженный на (-1)^р.

А = (-1)^рּ,

где Р – сумма номеров строк и столбцов данной матрицы, входящих в минор М.

Р = 2 + 3 + 2 + 3 = 10,

А = (-1)¹⁰ּ(-24) = -24.

            Каждый элемент a_ij матрицы, является минором первого порядка, а дополнительным минором является определитель (n-1)-го порядка, который называется минором a_ij и обозначается М_ij.

2.2.  Союзная и обратная матрицы.

Союзной или присоединенной матрицей называют квадратную матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов и транспонирования.

А^*= .

            Матрица А^-1 называется обратной матрицей к матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной и выполнялось условие АА^-1 = А^-1А = I.

            Невырожденной или несобственной матрицей называется матрица, определитель которой отличен от нуля.

            Производная от обратной матрицы.

            Для значения t, при котором А(t) дифференцируема и существует обратная матрица:  .

            Специальные обратные матрицы:

а)  АА^-1 = 1 (матрица совпадает со своей обратной матрицей).

б)  А – ортогональная матрица, если А^-1 = А^т.

в)  А – унитарная, если А = {(А^*)^т}^-1 (матрица, обратная матрице А, равная матрице, сопряженной с матрицей А).

3.  Вектор. Линейное пространство.

Скалярные произведение:

            Для действительных х и у запишем как: <х, у> = х^т у = у^т х = <у, x>.

            Векторное произведение:

x><у = х(у^*)^т = ,

если вектор-столбец х (n×1) обозначить через х>; вектор-строку (у^*)^т (1×m) – через <y.

            Ортогональные вектора:

            Единичные векторы.

            Вектор называется единичным, если его длина равна единице так, что <> = 1.

            Линейная зависимость.

            Вектор х_i (i = 1, 2,…,m) с составляющими х_1i, х_2i,…, х_ni называются линейно независимыми, если не существует таких постоянных k₁, k₂,…, k_m, что

k₁х₁ + k₂х₂ +…+ k_mх_m = 0.

            Квадратная матрица называется особенной, если ее столбцы или строки не являются линейно-независимыми (, а если , то матрица неособенная). Если строки особенной матрицы линейно связаны одним соотношением, то матрица – просто вырожденная. Если более, чем одним соотношением, то – многократно вырожденной.

            Рангом (r) матрицы (А) является наивысший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля:            r = n – g (n – порядок).

            Определитель Грамма:

            Система однородных уравнений имеет нетривиальное решение для k_i только в том случае, если определитель матрицы с коэффициентами [<x_i; x_j>] равен нулю. Этот определитель называется определителем Грама и равен:

система векторов линейно независимая тогда и только тогда, когда определитель Грама ≠ 0.

3.1.  Линейное пространство.

Наиболее простым примером линейного векторного пространства служит множество векторов, принадлежащих трехмерному пространству (эвклидову). Если система векторов х₁, х₂,…, х_m S, то и множество векторов (у), являющихся линейной комбинацией этих векторов, т.е. у = k₁х₁ + k₂х₂ +…+ k_mх_m, образующееся векторное пространство.

            Базисом пространства называется такая система векторов, что произвольный вектор пространства выражается единственным образом в виде линейной комбинации этих векторов.

            Если задана система, состоящая из m линейно независимых векторов, то при помощи исходной системы векторов можно построить ортогональную систему из m линейно независимых векторов. Если длина каждого вектора в ортогональной системе равна единице, то такая система называется ортонормированной.

3.2.  Правило Крамера для решения линейных уравнений.

Правило Крамера.

            Задана исходная система:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +…+ а_1nх_n = у₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +…+ а_2nх_n = у₂

……………………………….

а_n1х₁ + а_n2х₂ +…+ а_nnх_n = у_n

В более компактной форме:  (i = 1, 2,…, n), или А_х = у, где

,                              .

            Итак, правило Крамера для построения решения при помощи определителей можно сформулировать следующим образом: система (n) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными х₁, х₂,…, х_n имеет решение, если матрица А несобственная.

            Значение искомой переменной равно постоянному значению от деления двух определителей. Знаменатель равен определителю матрицы коэффициентов системы, а числитель равен определителю матрицы коэффициентов, k-й столбец в которой заменим столбцом, содержащие члены из правой части системы уравнений.

3.3.  Однородная система уравнений.

Если члены в правой части уравнения равны нулю, то система уравнений называется однородной.

            Предположим, что ранг матрицы коэффициентов равен r.

1)      Опускаем q = n – r уравнений так, чтобы определитель матрицы коэффициентов относительно r неизвестных отличался от нуля.

2)      Образуем r уравнений с r неизвестными в левой части уравнения и оставшимся

q = n – r неизвестными в правой части. r неизвестных выражается через q = n – r неизвестных (q деферент А).

            Получаем q независимых решений в результате указанных этапов решения.

4.  Собственные числа.

            От характеристических значений системы зависит ее динамические свойства.

у = А_х, где у и х – векторы столбцы, а А – квадратная матрица (n×n).

у = А_х = λх, где λ – скалярный коэффициент пропорциональности.

            Значение λ (λ_i), для которого уравнение у = А_х имеет решение x_i ≠ 0 называется собственным или характеристическим числом А. Соответственный вектор решения x_i ≠ 0 называется собственным или характеристическим вектором А.

4.1.  Характеристическое уравнение.

Многочлен n-й степени относительно А, определенный уравнением , называется характеристическим уравнением А.

            Р(λ) = λⁿ + a₁ λ^n-1 + a₂ λ^n-2 +…+ a_n-1 λ + a_n = 0. Корни характеристического уравнения равны собственным или характеристическим значениям А.

5.  Билинейная и квадратичная форма.

Билинейной формой относительно переломных х_i, у_i, называется выражение вида:

В = a₁₁x₁y₁ + a₁₂x₁y₂ +…+ a_1nx₁y_n + a₂₁x₂y₁ + a₂₂x₂y₂ +…+a_2nx₂y_n+…+ a_n1x_ny₁ +…+a_nnx_ny_n, где все составляющие – действительные величины.

Комплексная форма: , или в матричной форме:

            Матрица А – матрица коэффициентов формы, ранг А – ранг формы. Если х = у, то предыдущее уравнение превратится в: Q = x^TAx = <x, Ax>.

            Q называется квадратичной формой x₁, x₂,…, x_n. Или: .

            Преобразование переменных.

            Линейное преобразование х = Ву, где В – произвольная неособенная матрица (n×n), преобразует Q в квадратичную форму относительно у₁, у₂,…, у_n: Q = y^TB^TABy или Q = у^тСу, где С = В^тАВ.

6.  Матричные многочлены.

Степени матрицы.

A^kA^m = A^k+m

(A^k)^m = A^km

A⁰ = I_n

(A^-1)^m = A^-m

Если A^m = В, где А – квадратная матрица, то A – корень m-той степени В.

Матричные многочлены.

                        N(x) = P_nxⁿ + P_n-1x^n-1 +…+ P₁x + P₀ (х – скалярная переменная).

х заменяем квадратной матрицей А, то:

                        N(A) = P_nAⁿ + P_n-1A^n-1 +…+ P₁A + P₀I_n.

Бесконечные ряды матриц.

Запишем:

S(A) = a₀I_n + a₁A + a₂A² +…+ a_nAⁿ +…= a_kA^k, тогда  геометрический ряд:

                        G(A) = I + aA + a²A² +…=  a_kA^k.

Экспоненциальная функция:

e^A = expA = I +

Синусоидальная функция:

sinA = A - .

Косинусоидальная функция:

cosA = I -.

Гиперболический синус:

shA = A +.

Гиперболический косинус:

chA = I +.

Теорема Кэли-Гамеильтона.

            I₀ =  - действительная матрица (2×2) (аналог j = ).

            sin aI₀ = aI₀ +  I₀ sha. Обобщим: А^р = МА^рМ^-1.

            Если N(λ) – многочлен от λ вида: N(λ) = λⁿ + C₁ λ^n-1 +…+ C_n-1 λ + C_n, то

N(A) = Aⁿ + C₁A^n-1 +…+ C_n-1A + C_nI = MN(λ)M^-1 = MM^-1, где λ₁, λ₂,…, λ_n – не нули N(λ).

            Если N(λ) = Р(λ₁), то N(λ₁) = N(λ₂) =…= N(λ_n) = 0  Р(А) = [0], где

Р(λ) = |λI –A|  матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Теорема Сельвестра.

            Если N(A) – матричный многочлен от А и если квадратная матрица А содержит n различных характеристических чисел, то многочлен от А можно записать в виде:

, где

 .

            Согласно теореме Кэли-Гамильтона:

            N(A)=a₁A^n-1 + a₂A^n-2 +…+ a_n-1A + a_nI (произвольный матричный многочлен N(A)) запишется многочленом А с наивысшей степенью n–1.

            Теорема Сельвестра. Вырожденная форма.

            Если модифицировать уравнение: N(A) =  (в том случае, когда А содержит кратные характеристические числа), тогда она (модификация) будет называться вырожденной формой теоремы Сильвера.

            Если характеристический корень имеет порядок S, то можно показать, что N(A), обусловленная I корнем λ_i, равно:

Метод Кэли-Гамильтона.

Рассмотрим случай, когда степень матричного многочлена N(A) выше, чем порядок А.

Делим N(λ) на характеристический многочлен А:

            , R(λ) – остаточный член. Затем умножаем Р(λ):

N(λ) = Р(λ)Q(λ) + R(λ). Если Р(λ) = 0, то N(λ) = R(λ). Т.к. P[A] = [0], то матричная функция N(A) = R(A).

            А если Q(λ) – аналитическая функция в области, то F(λ) = Q(λ)Р(λ) + R(λ) (*), где Р(λ) – характеристический многочлен А, а R(λ) – многочлен вида:

Р(λ) = а₀ + а₁λ + а₂ λ² +…+ а_n-1 λ^n-1.

            Т.к. Р(λ_i)=0, то F(λ₁) = R(λ₁)

  F(λ₂) = R(λ2)

  …………….

  F(λ₂) = R(λn)

            Покажем, что  - аналитическая функция λ. Нули знаменателя служат нулями и числителя, то Q(λ) – аналитическая функция. Поэтому уравнение (*) справедливо для всех λ. Вместо λ можно подставить А: F(А) = Q(А)Р(А) + R(А). По теореме Кэли-Гамильтона: Р(А) = 0  F(А) = R(А).

7.  Функциональное пространство.

            Здесь рассмотрим такую систему из n функций f₁(t),…, f_n(t), определенных на интервале (а, b), что ни одна функция f_i(t) не является линейной комбинацией любых других (n-1) функций из этого интервала.

            Скалярное произведение.

. Для комплексных функций действительного переменного t: .

            Норма функция.

            Норма f = || f ||^1/2 = <f, f>^1/2 = []^1/2. Нормированной функцией называется функция, норма которой равна единице.

            Ортогональные функции.

            Две функции f(t) и g(t), ортогональны на (а, b), если <f, g> = 0. Система нормированных функций φ₁(t), φ₂(t) называется ортонормированной, если < φ_i, φ_j> = δ_ij.

            Ортогональные функции в качестве базиса функционального пространства.

Рассмотрим бесконечную ортогональную систему функций φ₁(t), φ₂(t),… в качестве координатных векторов, то по аналогии f(t) вектор этого пространства, а разложение:

С_k = <f, φ_k>.

            Если F(t) апроксимируется линейной комбинацией n нормированных функций

 (a < t < b), то получится аппроксимация: a_k = c_k. Затем  (*) – неравенство Бесселя.

            Заданная ортонормированная система φ₁(t), φ₂(t),…, φ_n(t) называется полной, если производная кусочно-непрерывная f(t) может апроксимироваться в среднем этой системы со сколь угодно малой ошибкой при большом количестве ее членов, т.е.

 или

            Ортогональная система с «весом».

            Вводим весовую функцию ω(t): . Эта функция выбирается для выделения области на (a, b). Говорят, что φ_k(t) ортонормированны относительно данной «весовой» функции. Коэффициенты Фурье f(t) определяются как:

.

8.  Метрическое пространство.

Пусть X – произвольное множество. Понятие расстояния между элементами из X получается путем обобщения фундаментальных свойств, которые можно интуитивно ожидать от понятия расстояния.

Свяжем с каждой парой элементов из X некоторое вещественное неотрицательное число . Это число называется расстоянием или метрикой в X, если для любых  оно удовлетворяет следующим трем условиям:

1. d(x, y)=0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома идентичности);
2. d(x, y)=d(y, x) (аксиома симметрии);
3. для любой тройки имеет место d(x, у) ≤ d(x, z)+d(z, у) (аксиома треугольника).

Метрическим пространством называется пара (X, d), т. е. множество X с определенной на нем метрикой d. Элементы множества X называют точками метрического пространства (X, d).

Из данного определения следует, что множество X только тогда превращается в метрическое пространство, когда в него введена соответствующая метрика d(x, у). Если в одном и том же множестве X ввести различные метрики, то получатся и различные пространства.