Задание 1

Имеется 11 билетов в театр, из которых 4 на места первого ряда. По жребию разыгрываются три билета среди всех билетов. Найти вероятность того, что среди выигравших билетов:

а) только один билет первого ряда;

b) два билета первого ряда;

с) не менее двух билетов первого ряда;

d) хотя бы один билет первого ряда;

е) все билеты либо первого, либо других рядов.

Решение:

n=3

p=4/11 – вероятность попадания билета на первый ряд

q=1-p=7/11

k-число билетов на первый ряд среди трех выигравших

Используя формулу Бернулли P_n(k)=C^k_n*p^k*q^n-k рассчитаем вероятности того, что среди выигравших билетов:

а) только один билет первого ряда:

P(k=1)=C¹₃*(4/11)¹*(7/11)²=0,4418

b) два билета первого ряда

P(k=2)=C²₃*(4/11)²*(7/11)¹=0,2524

с) не менее двух билетов первого ряда:

Р(k>=2)=Р(к=2)+Р(к=3)= 0,2524+C³₃*(4/11)³*(7/11)⁰=0,2524+0,0481=

=0,3005

d) хотя бы один билет первого ряда:

Р(k>=1)=1 - Р(к=0)=1 – C⁰₃*(4/11)⁰*(7/11)³=1-0,2577=0,7423

е) все билеты либо первого, либо других рядов:

Р(k=3 или k=0)= Р(к=0)+ Р(к=3)=0,2577+0,0481=0,3058

Задание 2

Строительная бригада получает железобетонные перекрытия от трех ДСК, причем ДСК-1 поставляет 31% всех перекрытий, ДСК-2 - 36%, а остальную продукцию поставляет ДСК-3. Известно, что брак в продукции ДСК-1 составляет в среднем 8%, ДСК-2 - 9%, а ДСК-3 - 10%. Для контроля качества из всех имеющихся перекрытий наудачу берут два.

1. Определить вероятность того, что по крайней мере одно из двух проверенных перекрытий будет иметь брак.

2. Оба проверенных перекрытия оказались без брака. От каких ДСК вероятнее всего они поступили?

Решение:

А-отобранное изделие будет бракованным

В₁-отобранное изделие получено от ДСК-1

В₂-отобранное изделие получено от ДСК-2

В₃-отобранное изделие получено от ДСК-3

Р(В₁)=0,31; Р(В₂)=0,36; Р(В₃)=1-0,31-0,36=0,33;

Р₁(А)=0,08; Р₂(А)=0,09; Р₃(А)=0,1;

P(A)= Р(В₁)* Р₁(А)+ Р(В₂)* Р₂(А)+ Р(В₃)* Р₃(А)=

=0,31*0,08+0,36*0,09+0,33*0,1=0,0902

k-число бракованных перекрытий среди двух выбранных

1. Рассчитаем вероятность того, что, по крайней мере, одно из двух проверенных перекрытий будет иметь брак:

P(k≥1)=P(k=1)+P(k=2)=(0,0902)¹*(1-0,0902)¹+(0,0902)²*(1-0,0902)⁰

=0,082+0,008=0,09

2. Вероятность того, что перекрытие без брака поступило от ДСК-1:

Р(В₁)*(1-Р₁(А)) =0,31(1-0,08)=0,2852

Вероятность того, что перекрытие без брака поступило от ДСК-2:

Р(В₂)*(1-Р₂(А)) =0,36(1-0,09)=0,3276

Вероятность того, что перекрытие без брака поступило от ДСК-3:

Р(В₃)*(1-Р₃(А)) =0,33(1-0,1)=0,297

Итак, вероятнее всего, что перекрытия без брака поступили от ДСК-2, затем от ДСК-3, а затем от ДСК-1.

Задание 3

Некоторая страховая компания выплачивает страховую сумму в среднем по 6% договоров.

1. Какова вероятность того, что среди 400 клиентов данной страховой компании доля получивших страховую сумму будет:

a) равна 4%;

b) не менее 4%;

c) не более 11%;

d) не менее 3%, но не более 9%?

2. Сколько нужно застраховать клиентов, чтобы с вероятность 0,95 можно было утверждать, что доля получивших страховую сумму среди них отклонится по абсолютной величине от вероятности получения каждым клиентом страховой суммы не более, чем на 0,02?

Решение:

1.p=0,06 - вероятность получения страховки

q=1-0,06=0,94 – вероятность не получения страховки

1.  n=400 – число выбранных клиентов

k – число клиентов, получивших страховку среди выбранных

Используя формулу Бернулли P_n(k)=C^k_n*p^k*q^n-k рассчитаем вероятности того, что доля получивших страховую сумму будет:

a) равна 4%:

4% из 400 клиентов составляет:

k=0,04*400=16

Р(k=16)= C₄₀₀¹⁶*0,06¹⁶*0,94³⁸⁴=0,0205

b) не менее 4%:

Р(k≥16)=1-Р(0,16)

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

P(k₁, k₂)=Ф(x₂)-Ф(x₁)

где Ф(x) - функция Лапласа[1]

x₁=(k₁-n*p)/√npq=(0-400*0,06)/√400*0,06*0,94= -5.0529

x₂=(k₂-n*p)/√npq=(16-400*0,06)/√400*0,06*0,94= -0.5937

Ф(-5)= -0,5

Ф(-0,59)= -0,2224

Значит:

P(0,16)= -0,2224+0,5=0,2776

Тогда искомая вероятность равна:

Р(k≥16)=1-Р(0,16)=1-0,2776=0,7224

c) не более 11%:

11%*400=44

Р(k≤44)=Р(0,44)

Решение аналогично пункту b), но:

x₂=(k₂-n*p)/√npq=(44-400*0,06)/√400*0,06*0,94= 4,21

Ф(4,21)= 0,499968

Значит:

Р(k≤44)=P(0,44)= 0,499968+0,5=0,999968

d) не менее 3%, но не более 9%:

0,03*400=12

0,09*400=36

P(12, 36)=Ф(x₂)-Ф(x₁)

x₁=(k₁-n*p)/√npq=(12-400*0,06)/√400*0,06*0,94= -2,526

x₂=(k₂-n*p)/√npq=(36-400*0,06)/√400*0,06*0,94= 2,526

Ф(-2,526)= -0,4941

Ф(2,526)= 0,4941

Значит:

P(12,36)= 0,4941+0,4941=0,9882

2. Воспользуемся формулой:

Р(│m/n - p│≤ε)=2Ф(ε*√(n/pq))

ε=0,02

Р=0,95

Р(│m/n – 0,06│≤0,02)=2Ф(0,02*√(n/0,06*0,94))=0,95

Ф(0,02*√(n/0,06*0,94))=0,475

0,02*√(n/0,06*0,94)=1,96

√(n/0,06*0,94))=98

n/0,06*0,94=9604

n=541,67=542

Значит, нужно застраховать 542 клиента.

Задание 4

Для сигнализации об аварии в офисе некоторой фирмы города N установлено три сигнализатора различных типов, которые работают независимо друг от друга. Во время аварии сигнализаторы первого типа не срабатывают в среднем в 3%, второго - 4%, третьего - 3% всех аварийных случаев. Рассматривается случайная величина (с.в.) ξ - число сигнализаторов, сработавших во время аварии.

1. Составить ряд распределения с.в. ξ и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в. ξ и построить его график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М ξ, дисперсию D ξ и среднее квадратическое (стандартное) отклонение σ (ξ).

4. Определите вероятности:

а) Р {ξ < М ξ };

b) Р {ξ < М ξ +1};

c) Р {|ξ - М ξ| < σ (ξ)}.

Решение:

1. q₁=0,03; q₂=0,04; q₃=0,03;

p₁=0,97; p₂=0,96; p₃=0,97;

Р (ξ =0) = 0,03*0,04*0,03=0,000036

Р (ξ =1) = 0,97*0,04*0,03+0,03*0,96*0,03+0,03*0,04*0,97=0,003192

Р (ξ =2) = 0,97*0,96*0,03+0,03*0,96*0,97+0,97*0,04*0,97=0,093508

Р (ξ =3) = 0,97*0,96*0,97=0,903264

Ряд распределения с.в. ξ:

и его графическое представление:

 2. Функция распределения с.в. ξ:

 F(x)=P(X-x)

Его графическое представление:

3.

Математическое ожидание (среднее значение):

М ξ=∑ξ *Р=2,9

Дисперсия:

D ξ= М (ξ²) – (М ξ)²=∑ ξ²* Р - (М ξ)²=8,5066-2,9²=0,0966

Среднее квадратическое (стандартное отклонение):

σ(ξ)=√Dξ=√0,0966=0,3108

4. а) Р {ξ < М ξ }= Р {ξ < 2,9}= Р (ξ =0)+ Р (ξ =1)+ Р (ξ =2)= 0,096736

b) Р {ξ < М ξ +1}= Р {ξ < 3,9}= Р (ξ =0)+ Р (ξ =1)+ Р (ξ =2)+Р (ξ =3)=1

c) Р {|ξ - М ξ| < σ (ξ)}= Р {|ξ – 3,9| < 0,3108}= Р (ξ =4)=0

Задание 5

Время ξ (в днях), через которое поставщик начинает поставлять свою продукцию после подписания контракта, является случайным с плотностью распределения

p(x)=     С(7-х)⁴ , если 0≤x≤7

                   0, в противном случае

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

2. Найти функцию распределения с.в. ξ и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М ξ, дисперсию D ξ и среднее квадратическое (стандартное) отклонение σ (ξ).

4. Во сколько раз число поставок с временем поставки меньше среднего превышает число поставок с временем поставки выше среднего?

Решение:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся формулой:

_-∞^+∞∫f(x)dx=1

Так как f(x) на разных интервалах задана различными выражениями, то интеграл _-∞^+∞∫f(x)dx разбиваем на два интервала:

_-∞^+∞∫f(x)dx=_-∞⁰∫0dx+₀⁷∫С(7-х)⁴ dx+₇^∞∫0dx =1

Отсюда   ₀⁷∫ С(7-х)⁴ dx =1

-1/5*С*(7-х)⁵│₀⁷=1

7⁵/5*С=1

Следовательно: С=5/7⁵

В силу этого плотность вероятности запишется:

0, если x<0

p(x)=            5/7⁵*(7-х)⁴ , если 0≤x≤7

0, если x>7

2. Чтобы найти функцию распределения с.в. ξ используем формулу:

F(x)= _-∞^x∫f(x)dx

Если x<0, то f(x)=0, следовательно,

F(x)= _-∞^x∫0dx=0

Если 0≤x≤7, то

F(x)= _-∞⁰∫0dx + ₀^x∫5/7⁵*(7-х)⁴ dx= ₀^x∫5/7⁵*(7-х)⁴ dx = -(1-x/7)⁵│₀^x=(1-x/7)⁵

Если x>7, то:

F(x)= _-∞⁰∫0dx + ₀⁷∫5/7⁵*(7-х)⁴ dx+₇^х∫0dx=-(1-x/7)⁵│₀⁷=1

Итак:

0, если x<0

F(x)=   (1-x/7)⁵, если 0≤x≤7

1, если x>7

3. Воспользуемся формулами:

M(X)= _-∞^+∞∫x*f(x) dx   и  D(X)= _-∞^+∞∫x²*f(x) dx – [M(X)]²;

M(X)= _-∞^+∞∫x*f(x) dx=_-∞⁰∫0*хdx+₀⁷∫5/7⁵*(7-х)⁴ хdx+₇^+∞∫0*хdx =

=-х(1-х/7)⁵-(7-х)⁶/6*7⁵│₀⁷=7/6

D(X)= _-∞^+∞∫x²*f(x) dx – 7/6²=_-∞⁰∫x²*0dx+₀⁷∫5/7⁵*(7-х)⁴ х² dx+₇^+∞∫0*х² dx -7/6²=

-х²(1-х/7)⁵-х(7-х)⁶/3*7⁵ -(7-х)⁷/3*7⁶│₀⁷-7/6²=7/3-7/6²=0,972

Cреднее квадратическое (стандартное) отклонение σ (ξ):

σ (x)= √D(X)=0,986

4. Определим вероятность того, что время поставки будет меньше среднего (M(x)=7/6):

p(ξ<7/6)= ₀^7/6∫5/7⁵*(7-х)⁴ dx=-(1-x/7)⁵│₀^7/6=1-(5/6)⁵

И вероятность того, что время поставки будет выше среднего:

p(ξ>7/6)=_7/6^∞∫5/7⁵*(7-х)⁴ dx=-(1-x/7)⁵│_7/6^∞=(5/6)⁵

n=(1-5/6⁵) / (5/6)⁵=(6/5)⁵-1=1,48832

Итак, число поставок с временем поставки меньше среднего превышает число поставок с временем поставки выше среднего приблизительно в 1,5 раз.