Министерство образования РФ

Всероссийский заочный финансово – экономический институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант №8

Исполнитель: Мартынова Е.И.

Специальность: Финансы и кредит

Группа: Вечер

№ зачетной книжки: 05ФФБ01928

Руководитель: Филонова Е.С.

Орел

2008

 Задание 1.

   Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первый столбец соответствует первому кварталу первого года).

   Требуется:

   1) Построить адаптивную мультипликативную модель Холь­та-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглажи­вания = 0,3; = 0,6; = 0,3.

   2) Оценить точность построенной модели с использованием сред­ней относительной ошибки аппроксимации.

   3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследо­вания:

   - случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

   - независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения = 1,10 и = 1,37) и по первому коэффициен­ту автокорреляции при критическом значении  = 0,32;

   - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

   4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

   5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

   1) Построим адаптивную мультипликативную модель Холь­та-Уинтерса:

   а) Оценка начальных параметров модели –  и :

   Для этого применим МНК к первой половине уровней ряда.

;  

   Для удобства расчетов построим таблицу.

                                                                                                                  Таблица 1.1

;  

;  

   Линейная модель  принимает вид: .

                   ;        ;

                   ;    ;

                   ;     ;

                   ;     .

  б) Оценка начального массива сезонных коэффициентов:

   Для четырех кварталов первого года (t = 1) необходимы четыре начальных значения сезонных коэффициентов. Для их расчета используем формулу:

   Получаем:

;

;

;

.

   в) Корректировка параметров  и  от уровня к уровню:

;

;

;

;

.

   Для удобства расчетов построим таблицу.

                                                                                                                 Таблица 1.2

   Для t = 1:

;

;

;

;

                                                 .

   Для t = 2:

;

;

;

;

                                                 .

   Для t = 3:

;

;

;

;

                                                 .

  Для t = 4:

;

;

;

;

                                                 .

   Для t = 5:

;

;

;

;

                                                 .

и т.д.

      Таблицу расчетных значений показателя и ошибок, полученную в результате обработки данных в ППП Олимп см. в Приложение 1.

   Таким образом, на последнем шаге получаем адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса вида: 

 2) Оценим точность построенной модели с использованием сред­ней относительной ошибки аппроксимации:

    Для удобства расчетов построим таблицу.                                     

                                                                                                                  Таблица 2.1

  , следовательно, уровень точности модели является достаточным. Фактические данные отличаются от расчетных, в среднем, на 3,73%.

   3) Оценим адекватность построенной модели:

        а) Свойство случайности уровней в ряде остатков:

   Для проверки данного свойства используют критерий поворотных точек. Общее число поворотных точек равно p = 9 (см. Таблицу 2.1). Свойство случайности выполняется если количество поворотных точек р удовлетворяет неравенству р > [].

   9 > []

   9 > [6,2]

   p = 9 > 6, следовательно, свойство случайности уровней в ряде остатков выполняется.

        б) Свойство независимости уровней в ряде остатков или отсутствия автокорреляции:

   Данное свойство проверим двумя методами:

   I) по d-критерию Дарбина-Уотсона;

   II) по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

   I)

   При  и :

               d    

   |           |    |    |         |                                |      

   0        0,76 1,10 1,37     2                                    4

   Так как d попало в промежуток (0;), то свойство независимости уровней в ряде остатков не выполняется, остатки автокоррелируют.

   II)

   Так как > , то свойство независимости уровней в ряде остатков не выполняется, остатки автокоррелируют.

        в) Свойство соответствия ряда остатков нормальному закону распределения:

   Для проверки данного свойства применяют RS-критерий.

;  

    (3; 4,21), следовательно, свойство соответствия ряда остатков нормальному закону распределения не выполняется.

        г) Свойство равенства нулю математического ожидания:

   Так как (см. Таблицу 2.1), следовательно, свойство равенства нулю математического ожидания не выполняется.

   Вывод: так как не все свойства выполнены, то построенная модель является не адекватной.

   4) Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год:

   Прогноз выполняется по формуле:  . Для прогноза используем модель полученную на последнем шаге расчетов, то есть .

   5) Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные:

   Для построения графика используем ППП Олимп (см. Приложение 2).

Задание 2.

   Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров при­ведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях,  – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответст­вующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

   2.1. Банк выдал ссуду, размером S  руб. Дата выдачи ссуды – , возврата –  . День выдачи и день возврата считать за 1 день. Про­центы рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:

   2.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

   2.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

   2.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

   2.2. Через  дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Ка­кова первоначальная сумма и дисконт?

   2.3. Через  дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полу­ченную предприятием сумму и дисконт.

   2.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на  лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Опре­делить наращенную сумму.

   2.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на . Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются т раз в году. Вычислить наращенную сумму.

   2.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начис­ляет проценты т раз в году, исходя из номинальной ставки i% годо­вых.

   2.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при на­числении процентов т раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

   2.8. Через Т_лет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

   2.9. Через Т_лет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Опреде­лить дисконт.

   2.10. В течение Т_леm лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые т раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

2.1.   Дано:                                                                 Решение:

Р = 4000000 руб.      Используем формулу для расчета процентов (процентных

                                   денег): .

 10.01.02              Так как продолжительность ссуды менее года .

 20.03.02              Получаем: .

i = 45% = 0,45              

 - ?                 

Ответ:

2.2.   Дано:                                                                 Решение:

S = 4000000 руб.       Используем формулу математического дисконтирования

 90                          по простым процентным ставкам: .

i = 45% = 0,45              Так как продолжительность ссуды менее года .

      - ?                  Получаем:  .                                                                                                                                           а) Для k = 360:

                                       б) Для k = 365:

                                   Для расчета дисконта используем формулу:  .      

                                       а)  = 4000000-3593890,39 = 406109,61 руб.

                                       б)  = 4000000-3600360,04 = 399639,96 руб.

Ответ:

2.3.   Дано:                                                                 Решение:

S = 4000000 руб.       Используем формулу банковского учета по простым

90                         процентным ставкам:  .

360                        Так как продолжительность ссуды менее года .

d = 45% = 0,45             Получаем: .

        - ?                  

                                 Для расчета дисконта используем формулу:       .

                                       D = 4000000 – 3548000 = 452000 руб.

Ответ:

2.4.   Дано:                                                                 Решение:

P = 4000000 руб.       Используем формулу наращения по сложным процентам:                                  .

5                              

i = 45% = 0,45              

       S - ?                        

Ответ:

2.5.   Дано:                                                                 Решение:

                                    Используем формулу начисления процентов по номи-            

P = 400000 руб          нальной процентной ставке: .

5                              

j = 45% = 0,45              

m = 4      

         S - ?                      

Ответ:

2.6.   Дано:                                                                 Решение:

m = 4                          Используем формулу для расчета эффективной ставки                 

j = 45% = 0,45           процента:  .

       - ?                          

Ответ:

2.7.   Дано:                                                                 Решение:

m = 4                         Используем формулу для расчета номинальной ставки   

 = 45% = 0,45             процента: .

         j - ?                          

Ответ:

2.8.   Дано:                                                                 Решение:

S = 4000000 руб.       Используем формулу математического дисконтирования

5                            по сложным процентным ставкам:  .

i = 45% = 0,45                

       P - ?                       

Ответ:

2.9.   Дано:                                                                 Решение:

S = 4000000 руб.       Используем формулу банковского учета по сложным

5                            процентным ставкам:  .

 = 45% = 0,45          

       D - ?                  Для расчета дисконта используем формулу:       .

Ответ:

2.10.   Дано:                                                                 Решение:

R = 4000000 руб.               Используем формулу для расчета годовой ренты с начис-    

n = 5                             лением процентов m раз в году:     .

j = 45% = 0,45              

m=4

          S - ?                     

Ответ:

                                                                                                                                                                                  Приложение 1

Таблица расчетных значений показателя и ошибок, полученная в результате обработки данных в ППП Олимп

Приложение 2

График фактических, расчетных и прогнозных данных

Дата сдачи:                                                              Подпись: