Задача №1.

   По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции Y (млн. руб.) от объема капиталовложений Х (млн. руб.).

 Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки, найти остаточную сумму квадратов, оценить дисперсию остатков Se-квадрат, построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (альфа=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (альфа=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости альфа=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

 - гиперболической;

 - степенной;

 - показательной.

Привести графики построенных моделей.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение:                                                

1) Построим модель Yт=a0+a1*X. Коэффициенты a0, a1 этой модели определяются по методу наименьших квадратов. Получим их и дополнительную статистическую информацию о качестве построенной модели с помощью средств Excel: сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ.

ВЫВОД ИТОГОВ:                                                                                                                                                        

Дисперсионный анализ

Получили уравнение линейной регрессии Yт=13.89+2.4X. Коэффициент регрессии а1=2.4 говорит о том, что при увеличении капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции в среднем увеличится на 2.4 млн. руб.

2) ВЫВОД ОСТАТКА:

Оценим дисперсию остатков:

                                             5,095843023.           

    Проверим выполнение предпосылок МНК.

1) свойство независимости по d-критерию Дарбина-Уотсона:

                                 354,62.

                                         1,71.

2) Т.к модуль рассчитанного первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |r(1)|=0,01< r таб=0,32 - значит уровни независимы.

3) Проверка нормальности распределения остаточной компаненты по R/S- критерию. Рассчитаем значение RS:

Emax = 8,066037736;

Emin = -6,540638607;

Se = 5,095843023;

                                    2,866390561.

Т.к 2.67 < 2,87 <3.57, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

4 свойство гомоскедастичности. Упорядочим данные по мере возрастания переменной х:

Разделим совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнения регрессии.

Первая группа:

ВЫВОД ИТОГОВ

Вторая группа:

ВЫВОД ИТОГОВ

Дисперсионный анализ

Остаточные суммы квадратов:

                            139,1545455;                                   66,257.

Вычислим отношение:          2,100222089.

Полученное отношение имеет F распределение со степенями свободы к1=n1-m=4, к2=n-n2-m=4, т.е. Fкр=6,39.

Т.к.                              , то имеет место гомоскедастичность.

4) Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Стьюдента: их значения содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" соответственно в строках "t-статистики".

t(a0) = 0,465;

t(a1) = 4,334.

Критическое значение при    =5%, k=n-p-1=10-2-1=7 составляет tкр=2,36.

|0,465| <2,36; таким образом, на уровне значимости      =5% коэффициент a1 не является значимым. |4,334| > 2,36; таким образом, на уровне значимости            = 5% коэффициент a2 является значимым.

5) Рассмотрим коэффициент детерминации, его значение содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" в строке "R-квадрат".

        0,968363041. Таким образом, изменение объема выпуска продукции Y на 96,8% объясняется по полученному уравнению изменением объема капиталовложений  X.

Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Фишера:

F= 244,87.

Критическое значение при      =5%, k1=p= 1, k2=n-p-1=10-1-1=8 составляет Fкр=5,59.

F= 244,87 >Fкр следовательно, уравнение модели является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель переменной X.

   Найдем среднюю относительную ошибку:

                                  3,86.

В среднем расчетные значения y для регрессионной модели отличаются от фактических на 3,86%.

6) Прогнозное значение переменной Х: X*= 0,8*maxX= 43,2.

По уравнению модели рассчитаем Yт*=13,89+2,4*43,2 = 117,64.                                                                                                                     117,64

7) График:

8) Для построения нелинейных регрессионных моделей используем прием линеаризации уравнений. Модель степенной парной регрессии имеет вид yт=a*x^b.        Логарифмируя обе части равенства, получим ln(yт)=ln(a)+b*ln(x).

Обозначим                                                                                      тогда

                                                   линейная модель.

Рассчитаем по исходным данным столбцы               (мастер  функций / математические / LN).

Используем функцию "ЛИНЕЙН" для определения коэффициентов линейной модели: 0,86 и 1,54. Таким образом, b= 0,86, A= 1,54. Определим a=e^A=4,66 (мастер функций/математические/EXP). yт= 4,66*x^0,86 – уравнение степенной модели. Для расчета yт(xi) по полученному уравнению можно использовать функцию "СТЕПЕНЬ". Результаты вычислений для степенной модели приведем в таблице и покажем на графике.

Средняя относительная ошибка аппроксимации                              3,95514518.

Коэффициент детерминации                                   0,967116721.

Модель показательной парной регрессии имеет вид yт = a*b^x. Логарифмируя, получим ln(yт)=ln(a)+x*ln(b). Обозначим

тогда                     линейная модель. Рассчитаем по исходным данным столбец

Найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: 0,02 и 3,78. Таким образом, B = 0,02, A= 3,78. Определим a=e^A=  43,68         ; b=e^B= 1,02 и запишем уравнение показательной модели yт=43,68*(1,02)^x. Результаты вычислений для показательной модели приведем в таблице и покажем на графике.

1	36	104	97,73	6,27	6,02673	39,2852
2	28	77	81,72	-4,72	6,12463	22,2404
3	43	117	114,30	2,70	2,30637	7,28163
4	52	137	139,80	-2,80	2,04193	7,8257
5	51	143	136,70	6,30	4,40243	39,633
6	54	144	146,19	-2,19	1,52417	4,81715
7	25	82	76,41	5,59	6,81542	31,233
8	37	101	99,94	1,06	1,04616	1,11644
9	51	132	136,70	-4,70	3,56403	22,1325
10	29	77	83,56	-6,56	8,52569	43,0963
Сумма					42,3776	218,661

                            

Средняя относительная ошибка аппроксимации                             4,2378.

Коэффициент детерминации                                    0,9667.

Модель гиперболической парной регрессии имеет вид yт = a+b/x.

Обозначим            и получим линейную модель.

Рассчитаем по исходным данным столбец.

1	36	104	0,03
2	28	77	0,04
3	43	117	0,02
4	52	137	0,02
5	51	143	0,02
6	54	144	0,02
7	25	82	0,04
8	37	101	0,03
9	51	132	0,02
10	29	77	0,03

И найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: -3293,90 и 198,76.

Таким образом, b = -3293,90;       a = 198,76. Следовательно, уравнение гиперболической модели yт=198,76-3293,76/x. Результаты расчетов для гиперболической модели приведем в таблице и покажем на графике.

1	36	104	107,26	-3,26	3,13891	10,6567
2	28	77	81,12	-4,12	5,35382	16,99
3	43	117	122,16	-5,16	4,4097	26,6188
4	52	137	135,42	1,58	1,15517	2,50455
5	51	143	134,18	8,82	6,17106	77,8739
6	54	144	137,76	6,24	4,3309	38,8939
7	25	82	67,01	14,99	18,2857	224,828
8	37	101	109,74	-8,74	8,65085	76,3415
9	51	132	134,18	-2,18	1,64801	4,73228
10	29	77	85,18	-8,18	10,622	66,8954
Сумма					63,7661	546,339

 

Средняя относительная ошибка аппроксимации                             6,3766.

Коэффициент детерминации                                  0,9168.

Таблица сравнения качества:

модель		Еотн ср	R-квадрат
линейная	3,86	0,968
гиперболическая	6,38	0,917
степенная	3,96	0,967
показательная	4,24	0,967

Выберем в качестве наилучшей линейную модель. Она имеет  лучшую точность, в среднем  расчетные данные для гиперболической модели отличаются от фактических на 3.86%.       = 0.968, следовательно, изменение объема выпуска продукции Y на 96.8% объясняется изменением объема капиталовложений X.

 

Задача № 2 (а, б).

   Для каждого варианта даны по две структурные формы модели (СФМ), которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

1	-1	b12	b13	0	a12	0	a14
2	b21	-1	0	a21	0	a23	a24
3	b31	b32	-1	a31	a32	0	0

1	-1	0	b13	a11	a12	a13	0
2	0	-1	b23	a21	a22	0	a14
3	b31	0	-1	a31	a32	a33	0

Решение:

a)  Система одновременных уравнений

В первом уравнение 3 эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует 2 экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.

Проверка на достаточное условие:

Уравнение	Переменные
х1	x3
2	а21	а23
3	а31	0

Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и первое уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует

одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.

Проверка на достаточное условие:                 

Уравнение	Переменные
y3	x2
1	b13	a12
3	-1	a32

Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует две экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.        

                           

Проверка на достаточное условие:                                                                

Уравнение	Переменные
x3	x4
1	0	a14
2	a23	a24

Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и третье уравнение идентифицируемо.

Следовательно, система идентифицирована.

 

б)  Система одновременных уравнений:

В первом уравнение 2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.

                                     

Проверка на достаточное условие:                                                                

Уравнение	Переменные
y2	x4
2	-1	a24
3	0	0

                                                                                                                                        

Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и второе уравнение не идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.

                           

Проверка на достаточное условие:                                                                

Уравнение	Переменные
y1	x3
1	-1	a13
3	b31	a33

Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит,

достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении  2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1= H.                                                          

Проверка на достаточное условие:                                                                                                                                    

Уравнение	Переменные
y2	x4
1	0	0
2	-1	a24

Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и третье уравнение не идентифицируемо.

Следовательно, система не идентифицирована.

Задача № 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

Y1 = a0 + a1*Y2 + a2*X1 + e1;

Y2 = b0 + b1*Y1 + b2*X2 + e2.

n	Y1	Y2	X1	X2
1	31,3	60,2	4	8
2	35,1	74,2	7	5
3	31,2	59,7	4	8
4	40,4	107	9	13
5	25,3	29,2	1	4
6	41,2	112,5	10	12

Решение:

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Первое уравнение:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99952
R-квадрат	0,99904
Нормированный R-квадрат	0,9984
Стандартная ошибка	0,24327
Наблюдения	6

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	184,6108	92,305399	1559,8	3E-05
Остаток	3	0,1775359	0,0591786
Итого	5	184,78833

	Коэффи-циенты	Станда-ртная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересе-чение	22,8421	0,2702732	84,514996	4E-06	21,982	23,702
Переме- нная X 1	1,53938	0,0506404	30,398182	8E-05	1,3782	1,7005
Переме- нная X 2	0,27138	0,0480553	5,6472324	0,011	0,1184	0,4243

                                       .

Второе уравнение:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99996
R-квадрат	0,99992
Нормированный R-квадрат	0,99987
Стандартная ошибка	0,36101
Наблюдения	6

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	4972,629	2486,3145	19077	7E-07
Остаток	3	0,3909839	0,130328
Итого	5	4973,02

	Коэффи-циенты	Станда-ртная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересе-чение	12,6477	0,4010877	31,533424	7E-05	11,371	13,924
Переме-нная X 1	7,14066	0,0751508	95,017753	3E-06	6,9015	7,3798
Переме-нная X 2	2,33982	0,0713145	32,809859	6E-05	2,1129	2,5668

                                            .

   Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2 из второго уравнения приведенной формы модели:

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной формы модели:

                                                                             .

   Таким образом, b12=0.12, a11=0.72.

   Найдем х1 из первого уравнения приведенной формы модели:

                                . Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

                                                                                                       .

Таким образом, b21=4.64, a22=1.09.

Свободные члены структурной формы находим из уравнения:

                                              ;

                                               .

Вычислим средние значения:

Y1,cp = 34,0833;

Y2,cp = 73,8;

X1,cp = 5,83333;

X2,cp = 8,33333.

Таким образом,                                                        

A01 = 34.08-0.12*73.8-0.72*5.83 = 21,026;

A02 = 73.8-4.64*34.08-1.09*8.33 = -93,41.

Окончательный вид структурной модели:

Y1=21.03+0.12Y2+0.72X1;

Y2=-93.41+4.64y1+1.09X2.