Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный  финансово-экономический институт

 

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант 4

                                           

                                                                 

                                               

Задача №1.

   По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции Y (млн. руб.) от объема капиталовложений Х (млн. руб.).

 Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки, найти остаточную сумму квадратов, оценить дисперсию остатков Se-квадрат, построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (альфа=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (альфа=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости альфа=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

 - гиперболической;

 - степенной;

 - показательной.

Привести графики построенных моделей.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.



X

Y

36

104

28

77

43

117

52

137

51

143

54

144

25

82

37

101

51

132

29

77

Решение:                                                

1) Построим модель Yт=a0+a1*X. Коэффициенты a0, a1 этой модели определяются по методу наименьших квадратов. Получим их и дополнительную статистическую информацию о качестве построенной модели с помощью средств Excel: сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ.

                                                                                                                                                                         

ВЫВОД ИТОГОВ:                                                                                                                                                        

Регрессионная статистика

Множественный R

0,984054389

R-квадрат

0,968363041

Нормированный R-квадрат

0,964408421

Стандартная ошибка

5,095843023

Наблюдения

10


Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

6358,6591

6358,659071

244,8688029

2,8E-07

Остаток

8

207,74093

25,96761611



Итого

9

6566,4

 

 

 







 

Коэффи-циенты

Станда-ртная ошибка

t-стати-стика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пере-сечение

13,89223512

6,4362066

2,158450791

0,062941142

-0,9497

28,7342

Пере-менная X 1

2,401669086

0,1534781

15,64828434

2,77465E-07

2,04775

2,75559


Получили уравнение линейной регрессии Yт=13.89+2.4X. Коэффициент регрессии а1=2.4 говорит о том, что при увеличении капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции в среднем увеличится на 2.4 млн. руб.

2) ВЫВОД ОСТАТКА:

Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

ei2

отн. погр.

1

100,3523222

3,6476778

13,30555329

3,507382494

2

81,13896952

-4,13897

17,1310687

5,375285092

3

117,1640058

-0,164006

0,026897904

0,140175902

4

138,7790276

-1,779028

3,164939117

1,298560275

5

136,3773585

6,6226415

43,85938056

4,631217839

6

143,5823657

0,4176343

0,174418369

0,290023786

7

73,93396226

8,0660377

65,06096476

9,836631385

8

102,7539913

-1,753991

3,076485451

1,736625041

9

136,3773585

-4,377358

19,16126735

3,316180675

10

83,54063861

-6,540639

42,77995338

8,494335853

Сумма

0

207,7409289

38,62641834


Оценим дисперсию остатков:

 


                                             5,095843023.           

    Проверим выполнение предпосылок МНК.

1) свойство независимости по d-критерию Дарбина-Уотсона:

                                 354,62.


 

                                         1,71.

                                        


2) Т.к модуль рассчитанного первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |r(1)|=0,01< r таб=0,32 - значит уровни независимы.

3) Проверка нормальности распределения остаточной компаненты по R/S- критерию. Рассчитаем значение RS:

Emax = 8,066037736;

Emin = -6,540638607;

Se = 5,095843023;

                                    2,866390561.

Т.к 2.67 < 2,87 <3.57, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

4 свойство гомоскедастичности. Упорядочим данные по мере возрастания переменной х:

X

Y

25

82

28

77

29

77

36

104

37

101

43

117

51

143

51

132

52

137

54

144


Разделим совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнения регрессии.

Первая группа:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,895544412

R-квадрат

0,801999793

Нормированный R-квадрат

0,735999724

Стандартная ошибка

6,810642296

Наблюдения

5


Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

563,64545

563,6454545

12,15149931

0,03988

Остаток

3

139,15455

46,38484848



Итого

4

702,8

 

 

 


 

Коэффи-циенты

Станда-ртная ошибка

t-стати-стика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересе-чение

18,02727273

20,359565

0,885444901

0,441130436

-46,766

82,8205

Пере-менная X 1

2,263636364

0,6493693

3,485900072

0,039884762

0,19705

4,33022


Вторая группа:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,928605773

R-квадрат

0,862308682

Нормированный R-квадрат

0,816411576

Стандартная ошибка

4,699541188

Наблюдения

5





Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

414,94294

414,9429379

18,78786613

0,02265

Остаток

3

66,257062

22,08568738



Итого

4

481,2

 

 

 


 

Коэффи-циенты

Станда-ртная ошибка

t-стати-стика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пере-сечение

13,07062147

28,116372

0,464875826

0,673683069

-76,408

102,549

Пере-менная X 1

2,420903955

0,5585201

4,334497217

0,022652811

0,64344

4,19836


Остаточные суммы квадратов:

 

                            139,1545455;                                   66,257.


Вычислим отношение:          2,100222089.

             

Полученное отношение имеет F распределение со степенями свободы к1=n1-m=4, к2=n-n2-m=4, т.е. Fкр=6,39.

 

Т.к.                              , то имеет место гомоскедастичность.

 


4) Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Стьюдента: их значения содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" соответственно в строках "t-статистики".

t(a0) = 0,465;

t(a1) = 4,334.

Критическое значение при    =5%, k=n-p-1=10-2-1=7 составляет tкр=2,36.

|0,465| <2,36; таким образом, на уровне значимости      =5% коэффициент a1 не является значимым. |4,334| > 2,36; таким образом, на уровне значимости            = 5% коэффициент a2 является значимым.

5) Рассмотрим коэффициент детерминации, его значение содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" в строке "R-квадрат".

        0,968363041. Таким образом, изменение объема выпуска продукции Y на 96,8% объясняется по полученному уравнению изменением объема капиталовложений  X.

Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Фишера:

F= 244,87.

Критическое значение при      =5%, k1=p= 1, k2=n-p-1=10-1-1=8 составляет Fкр=5,59.

F= 244,87 >Fкр следовательно, уравнение модели является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель переменной X.

   Найдем среднюю относительную ошибку:

                                  3,86.

В среднем расчетные значения y для регрессионной модели отличаются от фактических на 3,86%.

6) Прогнозное значение переменной Х: X*= 0,8*maxX= 43,2.

По уравнению модели рассчитаем Yт*=13,89+2,4*43,2 = 117,64.                                                                                                                     117,64

7) График:

8) Для построения нелинейных регрессионных моделей используем прием линеаризации уравнений. Модель степенной парной регрессии имеет вид yт=a*x^b.        Логарифмируя обе части равенства, получим ln(yт)=ln(a)+b*ln(x).

Обозначим                                                                                      тогда

                                                   линейная модель.

Рассчитаем по исходным данным столбцы               (мастер  функций / математические / LN).

 

 



36

2

28

3

43

4

52

5

51

6

54

7

25

8

37

9

51

10

29

 


 


 


  104

3,58

4,64

77

3,33

4,34

117

3,76

4,76

137

3,95

4,92

143

3,93

4,96

144

3,99

4,97

82

3,22

4,41

101

3,61

4,62

132

3,93

4,88

77

3,37

4,34


Используем функцию "ЛИНЕЙН" для определения коэффициентов линейной модели: 0,86 и 1,54. Таким образом, b= 0,86, A= 1,54. Определим a=e^A=4,66 (мастер функций/математические/EXP). yт= 4,66*x^0,86 – уравнение степенной модели. Для расчета yт(xi) по полученному уравнению можно использовать функцию "СТЕПЕНЬ". Результаты вычислений для степенной модели приведем в таблице и покажем на графике.







 

 


 


 


 


 


 


1

36

104

100,77

3,23

3,10331

10,4164

2

28

77

81,23

-4,23

5,49629

17,911

3

43

117

117,36

-0,36

0,3096

0,13121

4

52

137

138,14

-1,14

0,83211

1,29958

5

51

143

135,86

7,14

4,99419

51,0038

6

54

144

142,68

1,32

0,91335

1,7298

7

25

82

73,71

8,29

10,1125

68,7616

8

37

101

103,17

-2,17

2,14733

4,7037

9

51

132

135,86

-3,86

2,92296

14,8865

10

29

77

83,71

-6,71

8,71981

45,0812

Сумма

 

 

 

 

39,5515

215,925

 



 

Средняя относительная ошибка аппроксимации                              3,95514518.

Коэффициент детерминации                                   0,967116721.

Модель показательной парной регрессии имеет вид yт = a*b^x. Логарифмируя, получим ln(yт)=ln(a)+x*ln(b). Обозначим

тогда                     линейная модель. Рассчитаем по исходным данным столбец

 

 


 


 


1

36

104

4,64

2

28

77

4,34

3

43

117

4,76

4

52

137

4,92

5

51

143

4,96

6

54

144

4,97

7

25

82

4,41

8

37

101

4,62

9

51

132

4,88

10

29

77

4,34

Найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: 0,02 и 3,78. Таким образом, B = 0,02, A= 3,78. Определим a=e^A=  43,68         ; b=e^B= 1,02 и запишем уравнение показательной модели yт=43,68*(1,02)^x. Результаты вычислений для показательной модели приведем в таблице и покажем на графике.


 


 


 


 


 


 


1

36

104

97,73

6,27

6,02673

39,2852

2

28

77

81,72

-4,72

6,12463

22,2404

3

43

117

114,30

2,70

2,30637

7,28163

4

52

137

139,80

-2,80

2,04193

7,8257

5

51

143

136,70

6,30

4,40243

39,633

6

54

144

146,19

-2,19

1,52417

4,81715

7

25

82

76,41

5,59

6,81542

31,233

8

37

101

99,94

1,06

1,04616

1,11644

9

51

132

136,70

-4,70

3,56403

22,1325

10

29

77

83,56

-6,56

8,52569

43,0963

Сумма




 

42,3776

218,661

                            

Средняя относительная ошибка аппроксимации                             4,2378.

Коэффициент детерминации                                    0,9667.

Модель гиперболической парной регрессии имеет вид yт = a+b/x.

Обозначим            и получим линейную модель.

Рассчитаем по исходным данным столбец.



 

 


 


 


1

36

104

0,03

2

28

77

0,04

3

43

117

0,02

4

52

137

0,02

5

51

143

0,02

6

54

144

0,02

7

25

82

0,04

8

37

101

0,03

9

51

132

0,02

10

29

77

0,03


И найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: -3293,90 и 198,76.

Таким образом, b = -3293,90;       a = 198,76. Следовательно, уравнение гиперболической модели yт=198,76-3293,76/x. Результаты расчетов для гиперболической модели приведем в таблице и покажем на графике.


 

 


 


 


 


 


 


1

36

104

107,26

-3,26

3,13891

10,6567

2

28

77

81,12

-4,12

5,35382

16,99

3

43

117

122,16

-5,16

4,4097

26,6188

4

52

137

135,42

1,58

1,15517

2,50455

5

51

143

134,18

8,82

6,17106

77,8739

6

54

144

137,76

6,24

4,3309

38,8939

7

25

82

67,01

14,99

18,2857

224,828

8

37

101

109,74

-8,74

8,65085

76,3415

9

51

132

134,18

-2,18

1,64801

4,73228

10

29

77

85,18

-8,18

10,622

66,8954

Сумма




 

63,7661

546,339


 

Средняя относительная ошибка аппроксимации                             6,3766.

Коэффициент детерминации                                  0,9168.



Таблица сравнения качества:


модель

 

Еотн ср

R-квадрат

линейная

3,86

0,968

гиперболическая

6,38

0,917

степенная

3,96

0,967

показательная

4,24

0,967

Выберем в качестве наилучшей линейную модель. Она имеет  лучшую точность, в среднем  расчетные данные для гиперболической модели отличаются от фактических на 3.86%.       = 0.968, следовательно, изменение объема выпуска продукции Y на 96.8% объясняется изменением объема капиталовложений X.

 



















Задача № 2 (а, б).

   Для каждого варианта даны по две структурные формы модели (СФМ), которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.


1

-1

b12

b13

0

a12

0

a14

2

b21

-1

0

a21

0

a23

a24

3

b31

b32

-1

a31

a32

0

0


 1

-1

0

b13

a11

a12

a13

0

2

0

-1

b23

a21

a22

0

a14

3

b31

0

-1

a31

a32

a33

0


Решение:

a)  Система одновременных уравнений


В первом уравнение 3 эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует 2 экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.

Проверка на достаточное условие:


Уравнение

Переменные

х1

x3

2

а21

а23

3

а31

0


Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и первое уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует

одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.




Проверка на достаточное условие:                 

Уравнение

Переменные

y3

x2

1

b13

a12

3

-1

a32


Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует две экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.        

                           

Проверка на достаточное условие:                                                                

Уравнение

Переменные

x3

x4

1

0

a14

2

a23

a24


Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и третье уравнение идентифицируемо.

Следовательно, система идентифицирована.

 


б)  Система одновременных уравнений:

В первом уравнение 2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.

                                     

Проверка на достаточное условие:                                                                

Уравнение

Переменные

y2

x4

2

-1

a24

3

0

0

                                                                                                                                        

Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и второе уравнение не идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.

                           

Проверка на достаточное условие:                                                                

Уравнение

Переменные

y1

x3

1

-1

a13

3

b31

a33


Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит,

достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении  2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1= H.                                                          

Проверка на достаточное условие:                                                                                                                                    

Уравнение

Переменные

y2

x4

1

0

0

2

-1

a24


Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и третье уравнение не идентифицируемо.

Следовательно, система не идентифицирована.









Задача № 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:


Y1 = a0 + a1*Y2 + a2*X1 + e1;

Y2 = b0 + b1*Y1 + b2*X2 + e2.


n

Y1

Y2

X1

X2

1

31,3

60,2

4

8

2

35,1

74,2

7

5

3

31,2

59,7

4

8

4

40,4

107

9

13

5

25,3

29,2

1

4

6

41,2

112,5

10

12


Решение:

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:




Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.


Первое уравнение:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,99952

R-квадрат

0,99904

Нормированный R-квадрат

0,9984

Стандартная ошибка

0,24327

Наблюдения

6


Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

2

184,6108

92,305399

1559,8

3E-05

Остаток

3

0,1775359

0,0591786



Итого

5

184,78833

 

 

 


 

Коэффи-циенты

Станда-ртная ошибка

t-стати-стика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересе-чение

22,8421

0,2702732

84,514996

4E-06

21,982

23,702

Переме-

нная X 1

1,53938

0,0506404

30,398182

8E-05

1,3782

1,7005

Переме-

нная X 2

0,27138

0,0480553

5,6472324

0,011

0,1184

0,4243

                                       .


Второе уравнение:


ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,99996

R-квадрат

0,99992

Нормированный R-квадрат

0,99987

Стандартная ошибка

0,36101

Наблюдения

6



Дисперсионный анализ


 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

2

4972,629

2486,3145

19077

7E-07

Остаток

3

0,3909839

0,130328



Итого

5

4973,02

 

 

 



 

Коэффи-циенты

Станда-ртная ошибка

t-стати-стика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересе-чение

12,6477

0,4010877

31,533424

7E-05

11,371

13,924

Переме-нная X 1

7,14066

0,0751508

95,017753

3E-06

6,9015

7,3798

Переме-нная X 2

2,33982

0,0713145

32,809859

6E-05

2,1129

2,5668

                                            .


   Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2 из второго уравнения приведенной формы модели:

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной формы модели:

                                                                             .

   Таким образом, b12=0.12, a11=0.72.

   Найдем х1 из первого уравнения приведенной формы модели:

                                . Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

                                                                                                       .

Таким образом, b21=4.64, a22=1.09.

Свободные члены структурной формы находим из уравнения:

                                              ;

                                               .


Вычислим средние значения:

Y1,cp = 34,0833;

Y2,cp = 73,8;

X1,cp = 5,83333;

X2,cp = 8,33333.

Таким образом,                                                        

A01 = 34.08-0.12*73.8-0.72*5.83 = 21,026;

A02 = 73.8-4.64*34.08-1.09*8.33 = -93,41.


Окончательный вид структурной модели:

Y1=21.03+0.12Y2+0.72X1;

Y2=-93.41+4.64y1+1.09X2.