в) сравним полученные значения с табличным значением t-критерия Стьюдента

            Принимая табличное значение критерия Стьюдента t _{(1-a)=0,9 k=8} = 1,8595 получим

t _D = 2,037 >1,8595    - тренд есть;

t _S = 1,663 < 1,8595   - тенденция в дисперсии отсутствует (т.е. дисперсия остатков гомоскедастична, следовательно, выполняется предпосылка для использования традиционного метода наименьших квадратов).

2) Линейная модель тренда

            Так как модель Y(t) = a₀ + a₁ * t линейна относительно параметров a₀ и a₁ , то для их оценки применим метод наименьших квадратов (традиционный):

a₀ = y_ср – a₁ * t_ср

a₁ = åⁿ_t=1 ( Y_t - y_ср ) * ( t - t_ср ) / åⁿ_t=1 ( t - t_ср ) ²

y_ср = ( åⁿ_t=1 Y_t ) / n

t_ср = ( åⁿ_t=1 t ) / n

где:     y_ср, t_ср – средние значения;

            Y_t, t – текущие значения;

            n – длина (количество уровней) ряда.

            åⁿ_t=1 – операция суммирования значений уровней с номером t в диапазоне от 1 до n.

Результаты промежуточных расчетов приведены в таблице 1.

Таблица 1

Тогда

a₁ = -117 / 60 = -1,95             a₀ = 58,33 – (-1,95) * 5 = 68,08

Таким образом, искомая линейная модель имеет вид:

<Y(t)> = 68,08 – 1,95 * t

где: <Y(t)> - расчетное значение признака Y.

3) Оценка адекватности построенной модели.

            Для оценки адекватности построенной модели исследуем ряд остатков отклонений расчетных значений <Y(t)> от фактических Y_t (здесь и далее расчеты сведены в таблицу 2):

e_t = Y_t – <Y(t)>

Таблица 2

а) случайность остаточной компоненты по критерию пиков

            Определим количество поворотных точек (т.е. таких точек, значение уровня в которой одновременно больше соседних с ним или, наоборот, одновременно меньше предыдущего и последующего за ним уровня).

            Обозначения: 1 – точка поворота; 0 – в противном случае.

            Критическое число поворотных точек определяется по формуле:

р_кр = 2/3 * ( n – 2) – 1,96 * SQR[(16 * n – 29) / 90],

где: SQR[ ] – операция извлечение квадратного корня.

            Подставив значение n = 9, получим р_кр = 2,4511. Так как суммарное количество поворотных точек больше критического значения, то гипотеза о случайности остаточной компоненты принимается.

б) независимость уровней ряда остатков друг от друга по d-критерию

            Значение d-критерия Дарбина-Уотсона (на отсутствие автокорреляции между уровнями или, другими словами, зависимости последующих значений от предыдущих) определяется по формуле:

d = åⁿ_t=2 ( e_t - e_t-1 ) ² / åⁿ_t=1 e_t ²

Из таблицы 2:

d = 65,82 / 33,85 = 1,94

Вычисленное значение d = 1,94 попадает в интервал d₂ = 1,36 < d < 2, следовательно, гипотеза о независимости уровней ряда остатков друг от друга принимается.

            Так как с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона получено вполне определенно суждение, то нет необходимости в применении дополнительного критерия адекватности модели по первому коэффициенту корреляции.

в) нормальность распределения остаточной компоненты по R/S-критерию

            Значение R/S-критерия определяется по формуле:

R/S = ( e_max – e_{min )} / S_e

S_e = SQR[ åⁿ_t=1 ( e_t - e_ср ) ² / ( n – 1 ) ]

e_ср = ( åⁿ_t=1 e_t ) / n

где:     e_max и e_min – максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

            e_ср – среднее значение ряда остатков;

            S_e - среднеквадратическое отклонение;

            n – длина (количество уровней) ряда.

Значения из таблицы 2:       e_max = 2,82      e_min = -3,38

Так как e_ср = 0, то åⁿ_t=1 ( e_t - e_ср ) ² = åⁿ_t=1 e_t ² = 33,85

Тогда

R/S = (2,82 – (-3,38)) / SQR[ 33,85 / (9-1)] = 3,014

Так как значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими уровнями 2,7 и 3,7 – то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

Общие выводы: поскольку все три критерия выполняются, а также среднее значение ряда остатков равно нулю (следовательно, расчетное значение t-критерия Стьюдента

t _расч = | e_ср | * SQR[ n ] / S_e = 0 ,

т.е. критерий Стьюдента t_расч < t_табл выполняется), то

– линейная трендовая модель является адекватной фактическому ряду динамики;

– модель может быть использована для построения прогнозных оценок.

4) Оценка точности модели.

            Стандартная ошибка оценки (или среднеквадратическое отклонение от линии тренда) определяется по формуле

S_<Y(t)> = SQR[ åⁿ_t=1 ( Y_t - <Y(t)> ) ² / ( n – m ) ]

где:     m – число параметров модели ( в данном случае m=2 ).

Так как e_t = Y_t – <Y(t)>, то из таблицы 2 видно, что åⁿ_t=1 ( Y_t - <Y(t)> ) ² = 33,85

Тогда

S_<Y(t)> = SQR[33,85 / ( 9 – 2 )] = 2,199

            Средняя относительная ошибка аппроксимации (по модулю) определяется по формуле

Е_отн = ( åⁿ_t=1 | e_t / Y_t | ) / n * 100%

Промежуточные расчетные данные приведены в таблице 3.

Таблица 3

Окончательно:          Е_отн = 0,246 / 9 * 100% = 2,73%

Так как Е_отн < 5%, то модель считается точной.

5) Точечный и интервальный прогнозы.

            Для периода упреждения на k = 2 шага вперед значение t_{прогноз} = n + k = 9 + 2 = 11. Подставив полученное значение t в линейную модель, получим точечный прогноз

<Y(t=11)> = 68,08 – 1,95 * 11 = 46,63

Интервальный прогноз рассчитывается с помощью доверительных интервалов по формуле

<Y(t_{прогноз})> ± t _a,n * S_{прогноз}

где для линейной модели

S_{прогноз}= S_<Y(t)> * SQR[ (1 + 1 / n + (n+k- t_ср)²) / åⁿ_t=1 ( t - t_ср ) ²]

В таблице 1 рассчитано t_ср =5 и åⁿ_t=1 ( t - t_ср ) ² = 60, а из предыдущего раздела S_<Y(t)> = 2,199.

Тогда

S_{прогноз}= 2,199 * SQR[ (1 + 1 / 9 + (9+2-5)²) / 60 ] = 1,7294 » 1,73

Так как по условию t_a,n = 1,11 интервальный прогноз на 2 шага вперед имеет следующий вид:

46,63 ± 1,92 (при уровне доверительной вероятности P = 0,7)

Задание II.

Требуется:

1) построить матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X₁(t) и X₂(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной Y(t);

2) построить линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t) = a₀ + a₁ * Х(t);

3) оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;

4) для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и b-коэффициент;

5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности Р = 70% использовать коэффициент n = 1,11). Прогнозные оценки фактора X(t) на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня).

Решение:

1) Матрица коэффициентов парной корреляции.

            Выборочный парный линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

r_y,x = åⁿ_t=1 ( Y_t - y_ср ) * (X_t - x_ср ) / SQR[ åⁿ_t=1 ( Y_t - y_ср ) ² * åⁿ_t=1 (X_t - x_ср ) ² ]

Промежуточные результаты расчетов для коэффициента r_y,x1 приведены в таблице 4

Таблица 4     

Тогда

r_y,x1 = -238,67 / SQR[ 262,00 *270,89] = -238,67 / 266,41= -0,9

Промежуточные результаты расчетов для коэффициента r_y,x2 приведены в таблице 5

Таблица 5     

Тогда

r_y,x2 = -408,33 / SQR[ 262,00 * 693,56 ] = -408,33 / 426,28 = -0,96

 Для построения полной матрицы коэффициентов парной корреляции необходимо вычислить коэффициент r_x1,x2 (таблица 6)

Таблица 6     

Тогда

r_x1,x2 = 414,78 / SQR[270,89* 693,56 ] = 414,78 /433,45 =0,9569 » 0,96

И матрица коэффициентов парной корреляции, построенная по вычисленным значениям, имеет вид:

            Вывод: среди двух факторов X₁(t) и X₂(t) наиболее тесно связанным с зависимой переменной Y(t) является фактор X₁(t), так как в абсолютном выражении коэффициент r_y,x1 наиболее близок к 1. Отрицательное значение коэффициента корреляции означает обратную (разнонаправленную) линейную связь между Y(t) и X₁(t).

2) Линейная однопараметрическая (однофакторная) модель регрессии.

            Так как модель Y(t) = a₀ + a₁ * X(t) линейна относительно параметров a₀ и a₁ , то для их оценки применим метод наименьших квадратов (традиционный):

a₀ = y_ср – a₁ * x_ср

a₁ = åⁿ_t=1 ( Y_t - y_ср ) * ( X_t - x_ср ) / åⁿ_t=1 (X_t - x_ср ) ²

y_ср = ( åⁿ_t=1 Y_t ) / n

x_ср = ( åⁿ_t=1 X_t ) / n

где:     y_ср, x_ср – средние значения переменных;

            Y_t, X_t – текущие значения переменных в момент наблюдения t;

            n – длина (количество уровней) ряда наблюдений;

            åⁿ_t=1 – операция суммирования значений уровней с номером t в диапазоне от 1 до n.

Промежуточные результаты расчетов для зависимой переменной Y(t) и фактора X₁(t), приведены в таблице 7

Таблица 7

Тогда

a₁ = -238,67 / 270,89= -0,88              a₀ = 58,33 – (-0,881) * 37,89 = 91,72

Таким образом, искомая линейная модель имеет вид:

<Y(t)> =91,72– 0,881 * X₁(t)

где: <Y(t)> - расчетное значение зависимой переменной Y.

3) Оценка адекватности и точности линейной однофакторной модели регрессии.

            Для оценки адекватности и точности линейной однофакторной модели регрессии необходимо убедиться в следующем:

- в адекватности вида уравнения модели;

- в статистической значимости модели регрессии в целом (F-критерий Фишера);

- в статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции;

- в точности модели (в качестве меры точности используют оценки значений ошибок).

            3.1. Оценка адекватности уравнения модели

            Уравнение модели является адекватным, если:

- математическое ожидание значений остаточного ряда равно или близко нулю (t-критерий Стьюдента);

- значения остаточного ряда случайны (критерий пиков);

- значения остаточного ряда независимы (d-критерий Дарбина-Уотсона);

- значения остаточного ряда подчинены нормальному закону (R/S-критерий).

а) t-критерий Стьюдента:

            Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки статистической нулевой гипотезы Н₀ : | e_ср | = 0. С этой целью строится t-статистика

t = | e_ср | * SQR[ n ] / S_e

S_e = SQR[ n * åⁿ_t=1 e_t² – ( åⁿ_t=1 e_t ) ² / ( n * ( n – 1 )) ]

где:     e_ср – среднеарифметическое значение уровней ряда остатков

            e_t – текущие значения уровней ряда остатков;

            n – длина (количество уровней) ряда;

            åⁿ_t=1 – операция суммирования значений уровней с номером t в диапазоне от 1 до n;

            SQR[ ] – операция извлечения квадратного корня.

Если рассчитанное значение t < t_табл , то гипотеза Н₀ принимается.

            Промежуточные результаты расчетов, проведенных для t-критерия Стьюдента, а также остальных критериев адекватности (рассчитанных в порядке аналогичном описанному в Задании I), приведены в таблице 8

Таблица 8

S_e = SQR[ 9 * 53,97 – ( 0,14 ) ² / ( 9 * ( 9 – 1 )) ] = SQR[485,73 – 0,0196/ 72] = 22,04

t = | 0,14 | * SQR[ 9 ] / 22,04 = 0,0191

Так как рассчитанное значение t близко к нулю и меньше табличного, например t_{табл (1-a)=0,9 m=7} = 1, 8946, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания значений остаточного ряда принимается.