Всероссийский заочный

финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

Контрольная работа по дисциплине

«Финансовая математика»

Вариант № 4

Волгоград  2009

Задание 1.

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1). Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

2). Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3). Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

ü Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

ü Независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения  и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении .

ü Нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4). Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на 1 год.

5). Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

1. 1). Построим адаптивную модель Хольта-Уинтерса.

Для первых восьми наблюдений построим график, добавим линейный тип тренда и в параметрах поставим галочку «Показывать уравнение»:

Таким образом мы получили  и .

Подставив эти значения в формулу  , рассчитаем первые 7 значений линейной функции.

Далее заполняем первую строку столбца значений коэффициентов сезонности , скопировав ее затем еще на три строки:

Затем заполняем формулами шестые строки столбцов параметров модели  Y (Хольта-Уинтерса), :

     Затем, выделив интервал D6:H6, копируем все вместе до 21 строки:

2). Оценим точность построенной модели:

Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации. Для этого найдем сумму значений :

82,8024976/16=5,18%>5%, значит условие точности не выполнено и модель построена не совсем точно.

3). Оценим адекватность построенной модели:

Исследуем случайность остаточной компоненты по критерию пиков.

Сравнивая каждое значение остаточной компоненты с рядом стоящими, ставим 1, если оно больше или меньше обоих значений, в противном случае 0:

Таким образом, мы получили 9 поворотных точек, то есть p=9. Рассчитаем q:

.

Итак, p=9, q=6, 9>6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Оценим адекватность построенной модели Хольта-Уинтерса по d-критерию и по первому коэффициенту автокорреляции.

Для вычисления этих показателей, осуществим следующие расчеты:

.

2,148>2,значит имеет место отрицательная автокорреляция

То есть d = 4 – 2,148 = 1,852.

Итак, .

1,37<1,85<2, то есть  значит уровни ряда остатков являются независимыми.

Далее рассчитаем значение первого коэффициента автокорреляции по следующей формуле:

.

 значит уровня ряда остатков независимы.

Исследуем нормальность распределения остаточной компоненты по R/S-критерию.

, .

.

R/S=11,49 / 3,16607 = 3,62996/

Так как 3<3,63<4,21, то полученное значение R/S попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

4). Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на год:

Таким образом, прогнозное значение =

, где t=1,…4, а F=.

Изобразим на графике расчетные, фактические данные и прогнозные значения.

Задание 2.

Даны цены за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

ü Экспоненциальную скользящую среднюю;

ü Момент;

ü Скорость изменения цен;

ü Индекс относительной силы;

ü %R, %K и %D.

Чтобы рассчитать ЕМА, воспользуемся формулой:

Далее по соответствующим формулам вычисляем момент и скорость изменения цен:

Чтобы рассчитать индекс относительной силы, необходимо для начала найти прибыли, убытки, а  затем их суммы:

С помощью функции «ЕСЛИ» задаем условие: если разность сегодняшней и вчерашней цен положительна, то будет прибыль, а если отрицательна – убыток. Суммы прибылей и убытков находим группируя по 5 дней. Индекс находится по формуле:.

По найденным осцилляторам можно сделать следующие выводы:

ü Так как на шестой день момент положительный, то в этот промежуток времени наблюдался относительный рост цен, далее снижение.

ü Показатель индекса относительной силы до шестого дня входил в зону перекупленности, что означало завышенные цены и тенденцию к их занижению; значение индекса на десятый день 21,89 говорит о вхождении в зону перепроданности, цена очень низкая, надо готовиться к покупке.

Найдем стохастики:

.

Уменьшение значений стохастика %К от пятого до десятого дня говорит о том, что сначала при росте цен цена закрытия была ближе к максимальной, а затем при падении цен стала ближе к минимальной.

Задание 3.

1. Банк выдал ссуду, размером 2 000 000 руб. Дата выдачи ссуды -16.01.2002, возврата – 14.03.2002. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 25% годовых. Найти:

1). Точные проценты с точным числом дней ссуды;

2). Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3). Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:

Срок сделки найдем с помощью функции в Excel «Долягода», а проценты по формуле I=Pni:

2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 2 000 000 руб. Кредит выдан под 25% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение:

P=S / (1+ni) = 2000000 / (1+0,5*0,25) = 1777777,78 руб.

D = S – P = 2000000 - 1777777,78 = 222222,22 руб.

3. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 2 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 25% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

D = Snd = 2000000*0,5*0,25 = 250000 руб.

P = S – D = 2000000 – 250000 = 1750000 руб.

4. В кредитном договоре на сумму 2 000 000  руб. и сроком на  4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 25% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

Данную задачу можно решить используя функцию Excel «БС»:

5. Ссуда, размером 2 000 000 руб. предоставлена на4 года. Проценты сложные, ставка – 25% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

Также используя функцию «БС» найдем наращенную сумму:

6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в году, исходя из номинальной ставки 25% годовых.

Решение:

Используя функцию Excel «ЭФФЕКТ», найдем ставку:

7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 25% годовых.

Решение:

Для вычисления номинальной ставки используем функцию «НОМИНАЛ»:

8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 2 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 25% годовых.

Решение.

Используя функцию «ПС», найдем современную стоимость:

9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 2 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 25% годовых. Определить дисконт.

Решение:

 руб.

D = S – P = 2 000 000 – 632 812,5 = 1367187,5 руб.

10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 2 000 000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 25%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

Расчеты производим используя функцию «БС»: