При этом возможны следующие варианты:

Табл.1

        Вероятность  допустить ошибку первого рода, те отвергнуть гипотезу, когда она верна, называется уровнем значимости, или размером критерия.

              Вероятность допустить ошибку 2 рода, те принять неверную гипотезу , обозначают .

       Вероятность (1-) не допустить ошибку 2-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу , когда она неверна, называется мощностью критерия.

      Вероятности ошибок 1 и 2 рода однозначно определяются  выбором критической области. Конечно, желательно сделать эти ошибки как можно меньше, но, к сожалению, при фиксированном объеме выборки  уменьшение одной из них ведет к увеличению другой.

        Поэтому при выборе критической области руководствуются принципом: при заданном уровне значимости  мощность критерия 1- должна быть максимальной.

        В рамки нашего курса не входит рассмотрение условий существования  таких критериев.

        Далее мы рассмотрим конкретный пример постановки и проверки гипотезы.

3. Построение теоретического закона распределения по опытным данным.

     Проверка гипотезы  о нормальном законе распределения.

 Критерий Пирсона.

       Одной из важнейших задач математической статистики является установление закона распределения случайной величины Х, характеризующей изучаемый признак,  по результатам случайной выборки.

     Прежде всего  выдвигается предположение о виде закона распределения

(нормальный, биномиальный или иной), исходя из теоретических предпосылок, предыдущих опытов   и даже графического изображения эмпирического распределения.

      Вместо неизвестных параметров выбранного закона распределения берут, как правило, их выборочные оценки, полученные по выборке.

      Между подобранным теоретическим и эмпирическим законами распределения существуют расхождения. Возникает вопрос - являются ли эти расхождения случайными, связанными с тем, что рассматривается лишь выборка, а не вся генеральная совокупность, либо эти расхождения существенны и связаны с неудачным выбором теоретического  закона распределения.

       Для ответа на этот вопрос служат  критерии согласия .

       Т.е. выдвигается гипотеза  о том, что исследуемая случайная величина Х подчиняется определенному закону распределения. Для проверки этой гипотезы выбирается некоторый статистический критерий, статистика которого U характеризует степень расхождения теоретического и эмпирического распределения.

        Закон распределения этой статистики  известен для достаточно большого объема выборки  n, и практически не зависит от закона распределения Х.

       Наиболее часто встречается задача проверки гипотезы  о нормальном законе распределения случайной величины Х  с параметрами -   математическим ожиданием  и дисперсией   ,  которые  при достаточно большом объеме наблюдений заменяются их  выборочными оценками - выборочной средней  и выборочной  дисперсией : и  .

       В качестве критерия согласия используется -критерий Пирсона, статистика которого U == является суммой квадратов отклонений частостей ( статистических вероятностей )  от гипотетических вероятностей , рассчитанных в предположении о нормальном законе распределения, взятых с некоторыми весами .

Можно доказать, что если веса  =, то при достаточно большом n  статистика U==   (1)    имеет -распределение с r=m-r-1 степенями свободы, где m- число интервалов  эмпирического вариационного ряда, r- число параметров теоретического распределения, вычисленных по выборке;  в нашем случае r=2 (  и ).

       Числа  и  называются соответственно  эмпирическими и теоретическими частотами.

        Эмпирические частости  попадания случайной величины в интервал

 ( ) получаются в результате опытов, а  соответствующие теоретические вероятности  вычисляются в предположении о нормальном законе распределения по формулам:

    . (2)

    Схема применения критерия Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении такова:

1. По формуле (1)  вычисляется мера расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами- фактическое значение .
2. Для установленного уровня значимости  по таблице -распределения на стр.535 учебника находим критическое значение  при числе степеней свободы k.
3. Если фактически наблюдаемое значение  больше критического,то гипотеза о нормальном законе с данными параметрами отвергается, в противном случае она не противоречит опытным данным.

         Пример 1.

         С целью изучения времени бесперебойной работы ткацких станков X была произведена выборка объема n=100  станков из 10000. полученные данные приведены в таблице 2. По результатам выборки получены следующие значения: среднее выборочное время бесперебойной работы станка  42 час, выборочная дисперсия 81,  соответственно, среднее квадратическое отклонение  s=9 час.

Проверить гипотезу о нормальном распределении  случайной величины X  с параметрами  и при уровне значимости .

Табл.2

    Решение.

Вычислим теоретические частости (вероятности) по формуле 2.

 Например,

Аналогично вычисляются  и остальные вероятности.

Дополним таблицу 2 следующим образом:

Таким образом, фактическое значение =1.22.

Находим по таблице  в учебнике на  стр .535  критическое значение  при : .

Так как , фактическое значение , то гипотеза  не отвергается!

         Для графического изображения эмпирического и выравнивающего его теоретического нормального распределений можно построить гистограмму  и график плотности нормального закона, однако необходимо использовать одинаковый масштаб по оси ординат. Подробнее это изложено  в учебнике на

стр. 361.

Для построения гистограммы можно по оси ординат откладывать частости , а для выравнивающей кривой  по оси ординат  значения плотности ( в масштабе) можно заменить вероятностями , причем соответствующие абсциссы совпадают с серединами интервалов .

При этом надо учесть, что максимум этой кривой будет в точке с абсциссой  и ординатой .

            Для примера 1  построим  графики эмпирического и выравнивающего его теоретического нормального распределений:

В данном случае максимум  выравнивающей кривой достигается в точке с координатами (42;0.44).