Задача 8.
Найти частное решение
дифференциального уравнения 
, удовлетворяющего начальному условию у(0) = 0.
Решение.
Преобразуем
уравнение: 
.
Данное дифференциальное уравнение - уравнение 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции у.
Применяя метод Бернулли для решения этого уравнения, сделаем замену
у(х) = и(х) v(х), где и{х) и v(х) - неизвестные функции, которые мы будем искать поочередно.
Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем: у' = и'v +иv’.
Подставляя
выражения для у и у' в исходное уравнение, получим: 
.
Отсюда 
(*)
Выражение в скобках зависит только от v(х). Будем искать v(х), исходя из условия: 
.
Рассматривая это равенство как дифференциальное уравнение, найдём частное решение для у(х) методом разделения переменных:
.
Переходим к интегралу: 
Подставим найденную функцию v{х) в уравнение (*):
Найдём теперь общее решение для неизвестной функции и(х):
Окончательно, имеем общее решение исходного дифференциального уравнения:
Теперь,
используем данное начальное условие и найдём частное решение уравнения: 
Отсюда
.
Ответ: частное решение дифференциального уравнения имеет вид:
Задача 9.
Найти
область сходимости степенного ряда 
Решение.
Общий вид степенного ряда 
. В нашем случае
Известно, что область сходимости
степенного ряда определяется величиной радиуса сходимости 
.
Сходимость ряда на границах необходимо исследовать дополнительно.
Найдем радиус сходимости ряда, используя формулу
Даламбера:
Имеем 
;
; 
.
Проверим сходимость ряда при 
. Подставляя это значение в исходный ряд, получим числовой
ряд
Этот ряд
сходится, так как сходится ряд 
(по признаку
сравнения).
Проверим сходимость ряда при 
. Подставляя это значение в исходный ряд, получим числовой
ряд
Этот ряд сходится (по признаку Лейбница).
Итак, мы получили область сходимости исходного ряда:
Задача 10.2.
В каждой из двух урн содержится 8 черных и 2 белых шара. Из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в первую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из первой урны, окажется черным.
Решение.
Пусть событие А – «шар, извлеченный из первой урны, окажется черным».
Введем гипотезы:
- «из второй урны в первую переложен
белый шар»,
- «из второй урны в первую переложен
черный шар».
Для нахождения вероятности Р(А) применяем формулу полной вероятности
Так как во второй урне из 10 шаров 2 белых и 8 черных, то
.
Если
из второй урны в первую
переложен белый шар, то в первой урне стало 11 шаров, из которых 8 черных.
Получаем 
Если
из второй урны в первую
переложен черный шар, то в первой урне стало 11 шаров, из которых 9 черных.
Получаем 
Подставляя в формулу полной вероятности найденные значения, получаем:
.
Задача 12.2.
Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
|
хi |
8 |
12 |
18 |
24 |
30 |
|
pi |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
Требуется найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по заданному закону её распределения, заданному таблично (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке — вероятности возможных значений).
Решение.
Математическое ожидание:
=8*0,3+12*0,1+18*0,3+24*0,2+30*0,1=16,8.
Дисперсия:
=82*0,3+122*0,1+182*0,3+242*0,2+302*0,1-16,82=39,36
Среднее квадратическое отклонение: 
Задача 13.2.
В задаче заданы математическое ожидание а = 14 и среднее квадратическое отклонение s = 4 нормально распределённой случайной величины X. Требуется найти:
а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 20);
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х-а окажется меньше d = 4.
Решение.
а) Воспользуемся формулой: 
По условию 
следовательно,
Так как функция Лапласа нечетна, то 
.
Таким образом, 
.
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 20) равна 0,7745.
б) Воспользуемся
формулой: 
.
Получаем: 
.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х-а окажется меньше d = 4 равна 0,6826.