|
Номер
|
Номер наблюдения, t
|
|
показателя
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
Y(t)
|
28
|
24
|
26
|
29
|
33
|
31
|
28
|
33
|
35
|
|
X1(t)
|
32
|
34
|
41
|
38
|
42
|
48
|
50
|
52
|
55
|
|
X2(t)
|
90
|
88
|
84
|
86
|
82
|
80
|
81
|
78
|
76
|
Требуется:
1) построить матрицу коэффициентов парной
корреляции Y(t) с X1(t) и X2(t) и выбрать фактор,
наиболее тесно связанный с зависимой переменной Y(t);
2) построить линейную однопараметрическую модель
регрессии Y(t) = a0 + a1 * Х(t);
3) оценить качество построенной модели, исследовав ее
адекватность и точность;
4) для модели регрессии рассчитать коэффициент
эластичности и b-коэффициент;
5)
построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели
регрессии (для вероятности Р = 70% использовать коэффициент n = 1,05). Прогнозные оценки фактора X(t) на два шага
вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня).
Решение:
1) Матрица коэффициентов парной корреляции.
Выборочный парный линейный коэффициент
корреляции рассчитывается по формуле
ry,x = ånt=1 ( Yt - yср ) * (Xt -
xср ) / SQR[ ånt=1 ( Yt - yср ) 2 * ånt=1 (Xt - xср ) 2 ]
Промежуточные результаты расчетов для коэффициента ry,x1
приведены в таблице
Таблица
|
t
|
Y(t)
|
X1(t)
|
Y(t) - yср
|
X1(t) -
x1cр
|
(Yt - yср)2
|
(X1t - x1cр) 2
|
(Y(t)
- yср)*( X1t - x1cр)
|
|
1
|
28
|
32
|
-1,6
|
-11,5
|
2.56
|
132,25
|
18.4
|
|
2
|
24
|
34
|
-5,6
|
-9,5
|
31.36
|
90,25
|
53.2
|
|
3
|
26
|
41
|
-3.6
|
-2,5
|
12.96
|
6,25
|
9
|
|
4
|
29
|
38
|
-0.6
|
-5,5
|
0.36
|
30,25
|
3.3
|
|
5
|
33
|
42
|
3.4
|
-1,5
|
11,56
|
2,25
|
-5,1
|
|
6
|
31
|
48
|
1.4
|
4,5
|
1.96
|
20,25
|
6,3
|
|
7
|
28
|
50
|
-1.6
|
6,5
|
2.56
|
42.25
|
-16.64
|
|
8
|
33
|
52
|
3.4
|
8,5
|
11.56
|
72,25
|
28.9
|
|
9
|
35
|
55
|
5.4
|
11,5
|
29.16
|
132,25
|
-52,9
|
|
29,6
|
43.5
|
|
|
117,36
|
528,25
|
44,46
|
|
yср
|
x1cр
|
|
|
сумма
|
сумма
|
сумма
|
Тогда
ry,x1 = 44,46 / SQR[ 117,36 *528,25] = 44,46 / 248,99= 0,18
Промежуточные
результаты расчетов для коэффициента ry,x2 приведены в таблице
Таблица
|
t
|
Y(t)
|
X2(t)
|
Y(t) - yср
|
X2(t) –
x2cр
|
(Yt - yср)2
|
(X2t - x2cр) 2
|
(Y(t)
- yср)*( X2t - x2cр)
|
|
1
|
28
|
90
|
-1.6
|
7.3
|
2.56
|
53.29
|
-11,68
|
|
2
|
24
|
88
|
-5.6
|
5.3
|
31,36
|
28,09
|
-29,68
|
|
3
|
26
|
84
|
-3.6
|
1.3
|
12.96
|
1,69
|
-4,68
|
|
4
|
29
|
86
|
-0.6
|
3.3
|
0.36
|
10,89
|
-1,98
|
|
5
|
33
|
82
|
3.4
|
-0.7
|
11.56
|
0,49
|
-2,38
|
|
6
|
31
|
80
|
1.4
|
-2.7
|
1.96
|
7,29
|
-3,78
|
|
7
|
28
|
81
|
-1.6
|
-1.7
|
2.56
|
2,89
|
2,72
|
|
8
|
33
|
78
|
-3.4
|
-4.7
|
11.56
|
22.09
|
15,98
|
|
9
|
35
|
76
|
5.4
|
-6.7
|
29.16
|
44,89
|
-36,18
|
|
29.6
|
82,7
|
|
|
117,36
|
171,61
|
-70,98
|
|
yср
|
x2cр
|
|
|
сумма
|
сумма
|
сумма
|
Тогда
ry,x2 = -70,98 / SQR[ 117,36 * 171,61 ] = -70,98 / 141,92 = -0,5
Для построения
полной матрицы коэффициентов парной корреляции необходимо вычислить коэффициент
rx1,x2 (таблица )
Таблица
|
t
|
X1(t)
|
X2(t)
|
X1(t) –
x1cр
|
X2(t) –
x2cр
|
(X1t - x1cр) 2
|
(X2t - x2cр) 2
|
(X1t - x1cр)*(X2t - x2cр)
|
|
1
|
32
|
90
|
-11.5
|
7.3
|
132.25
|
53.29
|
83,95
|
|
2
|
34
|
88
|
-9.5
|
5.3
|
90,25
|
28.09
|
-50,35
|
|
3
|
41
|
84
|
-2,5
|
1.3
|
6,25
|
1.69
|
-3,25
|
|
4
|
38
|
86
|
-5,5
|
3.3
|
30,25
|
10.89
|
-18,15
|
|
5
|
42
|
82
|
-1,5
|
-0.7
|
2.25
|
0,49
|
1,07
|
|
6
|
48
|
80
|
4,5
|
-2.7
|
20.25
|
7.29
|
-12,15
|
|
7
|
50
|
91
|
6,5
|
-1.7
|
42.25
|
2.89
|
-11.05
|
|
8
|
52
|
78
|
8,5
|
-4.7
|
72.25
|
22.09
|
-39,95
|
|
9
|
55
|
76
|
11,5
|
-6.7
|
132.25
|
44.89
|
77,05
|
|
43.5
|
82.7
|
|
|
528,25
|
171.61
|
27,17
|
|
x1cр
|
x2cр
|
|
|
сумма
|
сумма
|
сумма
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
rx1,x2 = 27,17 / SQR[528,25* 171,61 ] = 27,17 /301,09 =0,09
И
матрица коэффициентов парной корреляции, построенная по вычисленным значениям,
имеет вид:
|
1
|
ry,x1 = 0.18
|
ry,x2 = -0,5
|
|
rx1,y = 0,18
|
1
|
rx1,x2 = 0,09
|
|
rx2,y = -0,5
|
rx2,x1 = 0,09
|
1
|
Вывод:
среди двух факторов X1(t) и
X2(t) наиболее тесно связанным с зависимой переменной Y(t)
является фактор X2(t), так как в
абсолютном выражении коэффициент ry,x1 наиболее близок к 1.
Отрицательное значение коэффициента корреляции означает обратную
(разнонаправленную) линейную связь между Y(t) и X2(t).
2) Линейная однопараметрическая
(однофакторная) модель регрессии.
Так как
модель Y(t) = a0 + a1 * X(t) линейна относительно
параметров a0 и a1 , то для их оценки применим метод
наименьших квадратов (традиционный):
a0 = yср – a1 *
xср
a1 = ånt=1 ( Yt -
yср ) * ( Xt
- xср ) / ånt=1 (Xt - xср ) 2
yср = ( ånt=1 Yt ) /
n
xср = ( ånt=1 Xt ) /
n
где: yср,
xср – средние значения переменных;
Yt,
Xt – текущие значения переменных в момент наблюдения t;
n –
длина (количество уровней) ряда наблюдений;
ånt=1 – операция суммирования значений уровней с номером t
в диапазоне от 1 до n.
Промежуточные результаты расчетов для
зависимой переменной Y(t) и фактора X1(t),
приведены в таблице
Таблица
|
t
|
Y(t)
|
Yt - yср
|
X1(t)
|
X1t - x1ср
|
(Yt - yср)*(X1t - x1ср)
|
(X1t - x1ср) 2
|
|
1
|
28
|
-1,6
|
32
|
-11,5
|
18,4
|
132.25
|
|
2
|
24
|
-5.6
|
34
|
-9,5
|
53,2
|
90,25
|
|
3
|
26
|
-3,6
|
41
|
-2,5
|
9
|
6.25
|
|
4
|
29
|
-0,6
|
38
|
-5,5
|
3,3
|
30,25
|
|
5
|
33
|
3,4
|
42
|
-1,5
|
-5,1
|
2,25
|
|
6
|
31
|
1,4
|
48
|
4,5
|
10,8
|
20,25
|
|
7
|
28
|
-1,6
|
50
|
6,5
|
-10,4
|
42,25
|
|
8
|
33
|
3,4
|
52
|
8.5
|
28,9
|
72,25
|
|
9
|
35
|
5,4
|
55
|
11,5
|
62.1
|
132,25
|
|
29,6
|
|
43.5
|
|
170,2
|
528.25
|
|
yср
|
|
x1ср
|
|
сумма
|
сумма
|
Тогда
a1 = 170,2 / 528.25= 0,32 a0 = 29,6 – 0,32 * 43.5 = 15,68
Таким образом, искомая линейная модель имеет вид:
<Y(t)> =15,68– 0,32 * X1(t)
где: <Y(t)> - расчетное значение зависимой
переменной Y.
3) Оценка адекватности и точности линейной
однофакторной модели регрессии.
Для оценки адекватности и точности
линейной однофакторной модели регрессии необходимо убедиться в следующем:
-
в адекватности вида уравнения модели;
-
в статистической значимости модели регрессии в целом (F-критерий Фишера);
-
в статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента
корреляции;
-
в точности модели (в качестве меры точности используют оценки значений ошибок).
3.1. Оценка адекватности уравнения
модели
Уравнение модели является адекватным,
если:
-
математическое ожидание значений остаточного ряда равно или близко нулю
(t-критерий Стьюдента);
-
значения остаточного ряда случайны (критерий пиков);
-
значения остаточного ряда независимы (d-критерий Дарбина-Уотсона);
- значения остаточного ряда подчинены нормальному
закону (R/S-критерий).
а) t-критерий Стьюдента:
Проверка равенства математического
ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки
статистической нулевой гипотезы Н0 : | eср | = 0.
С этой целью строится t-статистика
t = | eср | *
SQR[ n ] / Se
Se = SQR[ n * ånt=1 et2 – ( ånt=1 et ) 2 / (
n * ( n – 1 )) ]
где: eср –
среднеарифметическое значение уровней ряда остатков
et –
текущие значения уровней ряда остатков;
n –
длина (количество уровней) ряда;
ånt=1 – операция суммирования значений уровней с номером t
в диапазоне от 1 до n;
SQR[ ] – операция извлечения
квадратного корня.
Если
рассчитанное значение t < tтабл , то гипотеза Н0
принимается.
Промежуточные результаты расчетов,
проведенных для t-критерия Стьюдента, а также остальных критериев адекватности
(рассчитанных в порядке аналогичном описанному в Задании I), приведены в
таблице
Таблица
|
t
|
Y(t)
|
X1(t)
|
<Y(t)>
|
et
|
|
et2
|
et - et-1
|
(et - et-1 )2
|
et * et-1
|
et - eср
|
(et - eср )2
|
|
1
|
28
|
32
|
25,92
|
2,08
|
|
4,33
|
-
|
-
|
-
|
1,52
|
2,31
|
|
2
|
24
|
34
|
26,56
|
-2.56
|
|
6,55
|
-4,64
|
21,53
|
-5,32
|
-3.12
|
9,73
|
|
3
|
26
|
41
|
23,88
|
2.12
|
|
4,49
|
4,68
|
21,90
|
-5,43
|
1,56
|
2,43
|
|
4
|
29
|
38
|
27,84
|
1,16
|
|
1,35
|
-0,96
|
0,92
|
2,46
|
0,6
|
0.36
|
|
5
|
33
|
42
|
29,12
|
3.88
|
|
15,05
|
2,72
|
7,40
|
4,50
|
3,32
|
11,02
|
|
6
|
31
|
48
|
31,04
|
-0.04
|
|
0,00
|
-3.92
|
15,37
|
-0.15
|
-0,6
|
0,36
|
|
7
|
28
|
50
|
31,68
|
-3.68
|
|
13,54
|
-3.64
|
13,25
|
0,15
|
-4,24
|
17,98
|
|
8
|
33
|
52
|
32,32
|
0,68
|
|
0,46
|
4,36
|
19,01
|
-2,50
|
-0,12
|
0,01
|
|
9
|
35
|
55
|
33,28
|
1,72
|
|
2,96
|
1,04
|
1,08
|
1,17
|
1,16
|
1,35
|
|
|
|
|
0.56
|
|
48,73
|
|
128,93
|
-5,02
|
|
45,55
|
|
|
|
|
eср
|
всего
|
сумма
|
|
сумма
|
сумма
|
|
сумма
|
Se = SQR[ 9 * 48,73 – (
0,56 ) 2 / ( 9 * ( 9 – 1 )) ] = SQR[438,57 – 0,3136/ 72] = 20,94
t = | 0,56 | * SQR[ 9 ] / 20,94 = 0,08
Так
как рассчитанное значение t близко к нулю и меньше табличного, например
tтабл (1-a)=0,9 m=7
= 1, 8946, то гипотеза о равенстве нулю
математического ожидания значений остаточного ряда принимается.
б) критерий пиков:
ркр = 2/3 * ( n
– 2) – 1,96 * SQR[(16 * n – 29) / 90]
Подставив
значение n = 9, получим ркр = 2,4511. Так как суммарное количество
поворотных точек больше критического значения, то гипотеза о случайности остаточной компоненты принимается.
в) d-критерий Дарбина-Уотсона:
d = ånt=2 ( et - et-1 )
2 / ånt=1 et 2 = 128,93/ 48,73 =
2,65
Так как 2 < d < 4, вычисляем
d` = 4 - d = 1,35
Вычисленное значение d` = 1,35 попадает в
зону определенности и модель считается адекватной процессу по данному критерию.
г) R/S-критерий:
R/S = ( emax – emin ) / Se
Se = SQR[ ånt=1 ( et - eср ) 2 / ( n – 1 ) ]
eср = ( ånt=1 et ) / n
Подставив
значения из таблицы 8: emax = 3,88 emin = -3,68 eср = 0,56
для n = 9 получим
Se = SQR[ 128,93 / 8 ] = 4,0145 » 4,01
R/S = (3.88 – (-3,68)) / 4,01
= 1,88
Так
как значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими уровнями 1,7 и
3,7 – то гипотеза о нормальном
распределении ряда остатков принимается.
3.2. Статистическая значимость модели
регрессии в целом (F-критерий Фишера)
F-критерий (F-отношение) Фишера
применяется для установления истинности статистической гипотезы о том, что
фактор регрессии X(t) действительно влияет на зависимую переменную Y(t) или,
точнее, действительно ли часть дисперсии зависимой переменной Y(t) объясняется
влиянием фактора X(t). F-отношение Фишера рассчитывается по формуле
R2 / k
F = ------------------------------------
( 1 – R2 ) / ( n
– k – 1 )
где: R2 – коэффициент детерминации;
k – число параметров при переменных,
включенных в модель;
n – длина (количество уровней) ряда.
Используя
введенные ранее обозначения, коэффициент детерминации можно записать в виде
R2 = ånt=1 ( <Y(t)> – yср ) 2 / ånt=1 ( уt – yср ) 2
однако,
для однофакторной модели значение R совпадает с ry,x1 , рассчитанном
в первом пункте задания. Тогда, подставив значения R2 = r2y,x1
= (0,18) 2 = 0,03 при k = 1 (линейная однофакторная модель) и n = 9,
получим
F = 0,03 / [ ( 1 – 0,03) / ( 9 – 1 –1 ) ] = 0,03 / 0,14
= 0,21
Табличное
значение критерия Фишера при a = 0,05 и при степенях свободы k1 =k=1 и k2 = n –
k – 1 = 7
Fтабл = 5,59
Так
как расчетное значение F > Fтабл , то модель считается значимой, при этом коэффициент детерминации R2
показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемого
фактора, т.е. в данном случае ~81% вариации зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием включенного
фактора X1(t).
3.3. Статистическая значимость
коэффициентов регрессии и корреляции
Оценка значимости коэффициентов
регрессии и корреляции проводится с помощью
t-критерия Стьюдента путем сопоставления значений коэффициентов с величиной
случайной ошибки m
t
a1 = a1 / m a1 t
a0 = a0 / m a0 t
r = r / m r
где
ånt=1 ( Yt
–<Y(t)> ) 2 / ( n – 2 )
m a1 =
SQR [ ---------------------------------------------- ]
ånt=1 ( Xt –
xср ) 2
ånt=1 ( Yt
–<Y(t)> ) 2 * ånt=1 Xt
2
m a0 =
SQR [ ---------------------------------------- ]
( n – 2 ) * n * ånt=1 ( Xt –
xср ) 2
1 – r xy 2
m r = SQR [ ----------------------- ]
n – 2
Промежуточные
результаты вычислений приведены в таблице
Таблица
|
t
|
Yt
|
Xt
|
<Y(t)>
|
Yt -
<Y(t)>
|
(Yt - <Y(t)>)
2
|
Xt - xср
|
(Xt – xср) 2
|
Xt 2
|
|
1
|
28
|
32
|
25.92
|
2.08
|
4,33
|
-11.5
|
132.25
|
1024
|
|
2
|
24
|
34
|
26.56
|
-2.56
|
6.56
|
-9,5
|
90.25
|
1156
|
|
3
|
26
|
41
|
23.88
|
2.12
|
4,49
|
-2,5
|
6.25
|
1681
|
|
4
|
29
|
38
|
27,84
|
1.16
|
1.35
|
-5,5
|
30.25
|
1444
|
|
5
|
33
|
42
|
29,12
|
3,88
|
15.05
|
-1,5
|
2,25
|
1764
|
|
6
|
31
|
48
|
31.04
|
-0,04
|
0.00
|
4,5
|
20,25
|
2304
|
|
7
|
28
|
50
|
31.68
|
-3.68
|
13.54
|
6,5
|
42.25
|
2500
|
|
8
|
33
|
52
|
32.32
|
0,68
|
0,46
|
8,5
|
72.25
|
2704
|
|
9
|
35
|
55
|
33.28
|
1,72
|
2,96
|
11,5
|
132,25
|
3025
|
|
|
43.5
|
|
|
48,73
|
|
528,25
|
17602
|
|
|
xср
|
|
|
сумма
|
|
сумма
|
сумма
|
Тогда
при n = 9
m a1 = SQR[48,73/ ( 9 – 2 ) /528,25] = 0,12
m a0 = SQR[48,73/ ( 9 – 2 ) * 17602/ 9 /528,25] = 5,08
m r = SQR[ ( 1 –
0,03 ) / ( 9 – 2 ) ] = 0,1
и
значения t-статистик (по модулю)
t a1 = 0,32 / 0,12 = 2,67
t a0 = 15,68/ 5,08=3.09
t r = 0,18 / 0,1 = 1,8
Табличное
значение t-критерия Стьюдента при a = 0,1 и числе степеней свободы n – 2 = 7 составит
1,8946. Так как все фактические значения t-статистик превышают табличное
значение, то коэффициенты регрессии и
корреляции статистически значимы.
3.4. Оценка точности модели
В качестве меры точности модели
регрессии применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, т. е.
части дисперсии фактического явления, “не объясненную” включенными в модель
факторами. Стандартная ошибка оценки определяется по формуле
S<Y(t)> =
SQR[ ånt=1 ( Yt
- <Y(t)> ) 2 / ( n – k – 1 ) ]
где: k – количество факторов, включенных в модель
( в данном случае k=1 );
n – количество уровней ряда.
Из
таблицы видно, что ånt=1 ( Yt - <Y(t)> ) 2
= 48,73
Тогда
S<Y(t)> = SQR[48,73 / ( 9 – 2 )] = 6,96.
Средняя относительная ошибка аппроксимации (по
модулю), т.е. среднее отклонение расчетных значений от фактических,
определяется по формуле
Еотн = ( ånt=1 | ( Yt - <Y(t)> ) / Yt
| ) / n * 100%
Промежуточные
расчетные данные приведены в таблице 10.
Таблица 10
|
t
|
Yt
|
Xt
|
<Y(t)>
|
Yt - <Y(t)>
|
(Yt - <Y(t)>) / Yt
|
| (Yt - <Y(t)>) / Yt |
|
|
1
|
28
|
32
|
25,92
|
2.08
|
0,074
|
0,074
|
|
2
|
24
|
34
|
26,56
|
-2.56
|
-0,107
|
0,107
|
|
3
|
26
|
41
|
23,88
|
2,12
|
0,081
|
0,081
|
|
4
|
29
|
38
|
27,84
|
1.16
|
0,04
|
0,04
|
|
5
|
33
|
42
|
29,12
|
3,88
|
0,12
|
0,12
|
|
6
|
31
|
48
|
31.04
|
-0.04
|
-0,001
|
0,001
|
|
7
|
28
|
50
|
31,68
|
-3.68
|
-0,013
|
0,013
|
|
8
|
33
|
52
|
32.32
|
0.68
|
0,02
|
0,02
|
|
9
|
35
|
55
|
33.28
|
1,72
|
0,03
|
0,03
|
|
|
|
|
|
|
0,486
|
|
|
|
|
|
|
сумма
|
Окончательно: Еотн
= 0,486 / 9 * 100% = 5,4%
Так
как Еотн < 7%, то модель
считается точной.
4) Коэффициент эластичности и b-коэффициент.
Коэффициент эластичности (т.е.
коэффициент, показывающий на сколько процентов изменится результат, если фактор
изменится на 1%) в общем виде определяется как
x
Э = ƒ΄(x) * ------
y
где: ƒ΄(x) – первая производная функции y = ƒ(x).
Так
как для линейной функции коэффициент эластичности зависит от значения фактора
Х, то воспользуемся формулой среднего коэффициента эластичности
x ср
Э ср = а1 *
---------------------
а0 + а1 * х ср
Подставив вычисленные ранее значения, получим
Э ср = 0,32* 43.5/ (15,68+0,32
*43.5) = 0,47 %
Стандартизованный b-коэффициент линейной регрессии определяется из общего
уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе
t y = b 1 * t x1 + b 2 * t x2 + … + b N *
t xN
где: t y = ( y - y ср ) / s y , t Xj = ( x j - x
j ср ) / s Xj -
стандартизованные переменные;
b j -
стандартизованные коэффициенты регрессии, определяемые из системы уравнений
r y x1 = b 1 + b 2 * r x2 x1 + … + b N * r xN x1
r y x2 = b 1 * r x2 x1
+ b 2 + … + b N * r xN x1
………………………………………………………….
r y xN = b 1 * r xN x1
+ b 2 * r xN x2 + … + b N
где: r y Xj – парные коэффициенты
корреляции.
Для однопараметрической (однофакторной)
линейной модели регрессии система уравнений сводится к тождеству
r y x1 = b 1
отсюда
значение b-коэффициента линейной
однофакторной регрессии: b 1 = 0,18.
5) Точечный и интервальный прогнозы.
Прогнозируемое точечное значение
переменной Y(t) для периода упреждения на k = 2 шага вперед получается при
подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины фактора X1(t)
при tпрогноз = n + k .
Получим
прогнозные оценки фактора X1(t) на основе величины его среднего
абсолютного прироста (САП)
САП = [ X1(t=n)
– X1(t=1) ] / ( n – 1 )
X1 прогноз
(t=n+k) = X1(t=n) + k * САП
Подставив
соответствующие значения, получим
САП = ( 55 – 32) / 8 = 2,875
Тогда прогнозные значения фактора X1(t)
X1 прогноз(10) = X1(9) + 1 * САП
= 55 + 2,875 = 57,875
X1 прогноз(11) =
X1(9) + 2 * САП = 55 + 5.75 = 60,75
И прогнозные значения зависимой переменной
<Y(10)> = 15.68+0,32
* 57.875 = 34.2
<Y(11)> = 15.68+ 0,32 * 60.75 = 35.12
Интервальный
прогноз рассчитывается с помощью доверительных интервалов по формуле
<Y(tпрогноз)>
± U(k)
где: U(k) – средняя стандартная ошибка прогноза
( x прогноз (n+k) – x ср )
2
U(k) = S<Y(t)>
* t a * SQR[ 1 + 1/n + ----------------------------- ]
ånt=1 ( x t – x ср ) 2
S<Y(t)>
- стандартная ошибка оценки;
t a – табличное значение критерия Стьюдента для числа
степеней свободы ( n – 2 ).
Подставив
известные (по условию задачи) значения n = 9 и t 0,7 = 1,05 ; а
также вычисленные ранее значения S<Y(t)> = 6.96 (пункт 3.4) ;
x1ср = 43.5 и ånt=1 (X1t - x1ср) 2 =
528.25(таблица 4), получим
U(1) = 6.96* 1,05 * SQR[ 1 + 1/9 + (34.2 –
43.5) 2 /528.25] = 8,26
U(2) = 6.96* 1,05 * SQR[ 1 + 1/9 + (35.12
–43.5) 2 /528.25] = 8.11
Результаты
прогнозных оценок по линейной однофакторной модели регрессии представлены в
таблице
Таблица
|
t
|
шаг k
|
прогноз <Y(tпрогноз )>
|
нижняя граница
|
верхняя граница
|
|
10
|
1
|
34,2
|
25.94
|
42.46
|
|
11
|
2
|
35.12
|
27.01
|
43.23
|