Вариант 8


1. Найти среднее арифметическое, медиану, моду, среднее геометрическое, размах, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

2. Построить гистограмму, предварительно разбив выборку на 5 интервалов.

3. Осуществить проверку гипотезы о среднем значении нормально распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии.

4. Осуществить проверку гипотезы о среднем значении нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.

5. Осуществить проверку гипотезы о дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

6. Осуществить проверку гипотезы о согласии с нормальным распределением с параметром сдвига 15, параметром масштаба 0,8 с использованием критерия  Пирсона.

7. По выборке из первых 10 наблюдений осуществить проверку гипотезы о согласии с нормальным распределением с параметром сдвига 15, параметром масштаба 0,8 с использованием непараметрических критериев Колмогорова, Смирнова, , , Мизеса.


6,67

4,97

5,36

7,17

0,68

5,19

7,72

13,14

8,79

8,84

3,91

7,27

12,77

4,98

13,76

9,73

8,4

3,54

10,57

8,78

4,34

9,37

1,59

11,22

14,03

11,29

9,18

1,80

7,45

9,11

5,93

9,41

6,26

8,63

-1,06

11,21

3,78

3,41

11,02

5,71

8,03

7,47

5,99

3,28

9,30

6,14

6,54

11,02

8,03

7,42


Решение.

1. Чтобы найти среднее арифметическое, медиану, моду, размах, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации используем описательную статистику в редакторе ЕXCEL:


Описательная статистика

Среднее

7,425

Стандартная ошибка

0,462

Медиана

7,460

Мода

8,030

Стандартное отклонение

3,270

Дисперсия выборки

10,694

Эксцесс

-0,413

Асимметричность

-0,058

Интервал

13,350

Минимум

0,680

Максимум

14,030

Сумма

371,260

Счет

50,000

 

Получаем:

среднее арифметическое -  7,425,

медиана - 7,460,

мода - 8,030,

размах - =  13,350,

среднее квадратическое отклонение - 3,270,

дисперсия - 10,694.

Коэффициент вариации = 3,27 / 7,425 * 100 =  44,04%.

Среднее геометрическое =  6,43.




2. Разбиваем выборку  на 5 интервалов.

При n=5 получаем размер интервала   = 13,35/5= 2,67.

 Находим границы интервалов и считаем количество точек в каждом интервале:

№ интервала

Левая граница

Правая граница

Количество точек интервала


Частота


1-й интервал

0,68

3,35

5

0,1

2-й интервал

3,35

6,02

12

0,24

3-й интервал

6,02

8,69

14

0,28

4-й интервал

8,69

11,36

15

0,3

5-й интервал

11,36

14,03

4

0,08


3. Осуществим проверку гипотезы о среднем значении  нормально распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии.

Гипотеза: . Для проверки такой гипотезы  воспользуемся критерием, статистика которого имеет вид: .

Пусть 7, известная дисперсия . Тогда .

Критическое значение статистики  при уровне значимости  = 0.05 равно 1.645. Так как вычисленное по выборке значение статистики не превышает критического, то проверяемая гипотеза о согласии не отвергается.

4. Осуществим проверку гипотезы о среднем значении  нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.

Гипотеза: . Для проверки такой гипотезы  воспользуемся критерием, статистика которого имеет вид: .

Пусть 7. Тогда .

Критическое значение статистики  при уровне значимости  = 0.05 равно 1.67. Так как вычисленное по выборке значение статистики не превышает критического, то проверяемая гипотеза о согласии не отвергается.

5. Осуществим проверку гипотезы о дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

Гипотеза: . Для проверки такой гипотезы  воспользуемся критерием, статистика которого имеет вид: .

Составляем таблицу значений =

0,570

6,028

4,265

0,065

45,498

4,996

0,087

32,659

1,863

2,002

12,357

0,024

28,567

5,979

40,130

5,312

0,950

15,095

9,890

1,835

9,518

3,782

34,050

14,401

43,623

14,937

3,079

31,643

0,001

2,839

2,236

3,939

1,358

1,452

71,999

14,325

13,287

16,122

12,923

2,942

0,366

0,002

2,060

17,183

3,515

1,652

0,784

12,923

0,366

0,000


Тогда 555,474.

Пусть 3. Тогда .

Критическое значение статистики  при уровне значимости  = 0.05 равно 67,5. Так как вычисленное по выборке значение статистики не превышает критическое, то проверяемая гипотеза о согласии  не отвергается.

6. Осуществим проверку гипотезы о согласии с нормальным распределением с использованием критерия  Пирсона.

Гипотеза: , где полагаем 3, 7.

Для вычисления значения статистики  Пирсона по формуле

воспользуемся результатом, полученным в п.2 при разбиении области  определения  случайной величины  на  5  интервалов группирования.  

,

,

,

.


Получаем =7,556.

Для уровня значимости  = 0.05 и k =5 критическое значение статистики  равно 9,4877.

 Сравниваем полученное значение  с критическим значением статистики.. Так как вычисленное по выборке значение статистики не превышает критического, то проверяемая гипотеза о согласии не отвергается.


7. По выборке из первых 10 наблюдений

6,67

4,97

3,91

7,27

4,34

9,37

5,93

9,41

8,03

7,47

 осуществим проверку гипотезы о согласии с нормальным распределением с параметром сдвига 15, параметром масштаба 0,8 с использованием непараметрических критериев Колмогорова, Смирнова, , , Мизеса.

Гипотеза: , где 3, 7.

а) Критерий Колмогорова

Вычисляем значение статистики Колмогорова по формуле:, где  .

Составляем расчетную таблицу:

i

xi

1

6,67

0,134

-0,034

0,134

2

3,91

0,226

-0,026

0,126

3

4,34

0,197

0,103

-0,003

4

5,93

0,142

0,258

-0,158

5

8,03

0,141

0,359

-0,259

6

4,97

0,167

0,433

-0,333

7

7,27

0,134

0,566

-0,466

8

9,37

0,182

0,618

-0,518

9

9,41

0,184

0,716

-0,616

10

7,47

0,135

0,865

-0,765

max

0,865

0,134


Получаем: = 2,788.

Для уровня значимости  = 0.05  критическое значение статистики  равно 1,3581.

Так как вычисленное по выборке значение статистики  превышает критическое, то проверяемая гипотеза о согласии  отвергается.

б) Критерий Смирнова

Вычисляем значение статистики Смирнова по формуле

Получаем: = 31,1.

Для уровня значимости  = 0.05  критическое значение статистики  равно 5,9915.

Так как вычисленное по выборке значение статистики  превышает критическое, то проверяемая гипотеза о согласии  отвергается.


в) Критерий  Мизеса.

Вычисляем значение статистики  Мизеса по формуле:

Составляем расчетную таблицу:

i

xi

1

6,67

0,134

0,007

2

3,91

0,226

0,006

3

4,34

0,197

0,003

4

5,93

0,142

0,043

5

8,03

0,141

0,095

6

4,97

0,167

0,147

7

7,27

0,134

0,267

8

9,37

0,182

0,323

9

9,41

0,184

0,444

10

7,47

0,135

0,665

сумма

1,999

Получаем: = 2,049.

Для уровня значимости  = 0.05  критическое значение статистики  равно 0,4615.

Так как вычисленное по выборке значение статистики  превышает критическое, то проверяемая гипотеза о согласии  отвергается.

г) Критерий  Мизеса

Вычисляем значение статистики  Мизеса по формуле:

Составляем расчетную таблицу:

i

xi

1

6,67

0,1

-0,33042

2

3,91

0,2

-0,5024

3

4,34

0,3

-0,6409

4

5,93

0,4

-0,87319

5

8,03

0,5

-1,05522

6

4,97

0,6

-1,14622

7

7,27

0,7

-1,45228

8

9,37

0,8

-1,40431

9

9,41

0,9

-1,54546

10

7,47

1

-2,00503

сумма

-10,9554


Получаем: (-10,9554)= 11,91. Для уровня значимости  = 0.05  критическое значение статистики  равно 2,4924.

Так как вычисленное по выборке значение статистики  превышает критическое, то проверяемая гипотеза о согласии  отвергается.

Как видим, при задании уровня значимости  = 0.05 нет оснований для

принятияия проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.