Всероссийский Заочный Финансово - Экономический Институт

Решение:

Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:  

где k – период упреждения;

       Yp(t) – расчетное значение экономического показателя (данных по кредитам)для t-го периода;

      a(t),b(t),F(t) – коэффициенты модели (уточняются по мере перехода от         членов ряда с номером t-1к t);

        F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

     L – период сезонности (для квартальных данных  L=4)

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

Исходя из формул, при периоде сезонности L=4, нам потребуется F(-3 ), F( -2), F(-1), F(0), F(-3) следует понимать, как коэффициент сезонности, относящийся к первому кварталу предыдущего года.

Параметры сглаживания, по условию, имеют следующие значения: 1=0,3; 2=0,6; 3=0,3.

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель:

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по следующим формулам:

Применим линейную модель к первым 8 значениям ряда, воспользуемся для этого приведенными выше формулами.

Промежуточные вычисления приведены ниже в таблице 2:

Таблица 2:Расчетные данные

В результате проведенных вычислений 

Выше приведенное уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид: . Из этого уравнения находим расчетные значения  и сопоставляем их с фактическими значениями (результаты приведены ниже в таблице 3):

Таблица 3: сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_P(t)

Такое сопоставление  позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1), и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3)  и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I  квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений   I квартала первого года, равное Y(1)/Y_P(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V  квартал t=5) Y(5)/Y_P(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин. Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III, IV кварталов.

F(-3)=[Y(1)/Y_P(1)+Y(5) /Y_P(5)]/2=[28/32,59+31/36,07]/2=0,8593

F(-2)=[Y(2)/Y_P(2)+Y(6) /Y_P(6)]/2=[36/33,46+40/36,94]/2=1,0794

F(-1)=[Y(3)/Y_P(3)+Y(7) /Y_P(7)]/2=[43/34,33+49/37,81]/2=1,2743

F( 0)=[Y(4)/Y_P(4)+Y(8) /Y_P(8)]/2=[28/35,20+30/38,68]/2=0,7855

Оценив значения a(0) и b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и  F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

Используя выше приведенные уравнения построим модель Хольта-Уинтерса.

Таблица 4: Модель Хольта-Уинтерса

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится по формулам:

at =  

bt =

Ft =

Значения параметров сглаживания согласно значению таковы: 1 = 0,3;  2 = 0,6; 3 = 0,3.

Тогда для момента времени t=0, к=1, имеем:

yр1 = (a0 +1 b0) F0+1-4 = (31,715+1*0,869)*0,859=27,99

При моменте времени t=1, имеем:

а1 =  

b1 =

F1 =

Для t=1, к=1, имеем

yр2 = (a1 +1 b1) F-2 = (32,546+1*0,858)*1,080=36,076

Для момента времени t=2, имеем

а2 =  

b2 =

F2 =

Для t=2, к=1, имеем

yр3 = (a2 +1 b2) F-1 = (33,383+1*0,852)*1,275=43,650

Для момента времени t=3, имеем    

а3 =  

b3 =

F3 =

Для t=3, к=1, имеем

yр4 = (a3 +1 b3) F0 = (34,082+1*0,806)*0,786=27,422

Для момента времени t=4, имеем

a4 =  

b4 =

F4 =

Для t=4, к=1, имеем

yр5 = (a4 +1 b4) F1 = (35,109+1*0,872)*0,853=30,692

Для момента времени t=5, имеем

a5 =  

b5 =

F5 =

Для t=5, к=1, имеем

yр6 = (a5 +1 b5) F2 = (36,089+1*0,904)*1,079=39,915

Для момента времени t=6, имеем

а6 =  

b6 =

F6 =

Для t=6, к=1, имеем

yр7 = (a6 +1 b6) F3 = (37,017+1*0,911)*1,267=48,055

Для момента времени t=7, имеем

a7 =  

b7 =

F7 =

Для t=7, к=1, имеем

yр8 = (a7 +1 b7) F4 = (38,152+1*1,277)*0,872=34,382

Для момента времени t=8, имеем

а8 =  

b8 =

F8 =

Для t=8, к=1, имеем

yр9 = (a8 +1 b8) F5 = (37,712+1*0,553)*0,857=32,793

Для момента времени t=9, имеем

a9 =  

b9 =

F9 =

Для t=9, к=1, имеем

yр10 = (a9 +1 b9) F6 = (38,687+1*0,680)*1,080=42,516

Для момента времени t=10, имеем

a10 =  

b10 =

F10=

Для t=10, к=1, имеем

yр11 = (a10 +1 b10) F7 = (39,779+1*0,803)*1,277=51,823

Для момента времени t=11, имеем

a11 =  

b11 =

F11=

Для t=11, к=1, имеем

yр12 = (a11 +1 b11) F8 = (40,624+1*0,816)*0,826=34,229

Для момента времени t=12, имеем

a12 =  

b12 =

F12=

Для t=12, к=1, имеем

yр13 = (a12 +1 b12) F9 = (40,993+1*0,682)*0,870=36,257

Для момента времени t=13, имеем

a13 =  

b13 =

F13=

Для t=13, к=1, имеем

yр14 = (a13 +1 b13) F10 = (42,621+1*0,966)*1,096=47,771

Для момента времени t=14, имеем

a14 =  

b14 =

F14=

Для t=14, к=1, имеем

yр15 = (a14 +1 b14) F11 = (43,650+1*0,985)*1,279=55,848

Для момента времени t=15, имеем

a15 =  

b15 =

F15=

Для t=15, к=1, имеем

yр16 = (a15 +1 b15) F12 = (44,849+1*1,049)*0,813=37,315

Для момента времени t=16, имеем

a16 =  

b16 =

F16=

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда Е(t)

(разности Y(t)-Y_P(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 5.

Таблица 5: Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 21,23, что дает среднюю величину 21,23/16=1,33%. Оценим точность нашей модели по средней относительной ошибки аппроксимации.

 - 3,2%

Так как средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 5%, то условие точности выполнено.

Проверка условий адекватности.

Для того чтобы модель была адекватной исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверка случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда  E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3  таблицы 5 для этой строки ставится 1, в противном случае в графе 3 ставится 0.  В первой и последней строке графы 3 таблицы 5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=10. Расчетное значение q:

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности выполнено. В нашем случае p=10, q=6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствие автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

-   по d-критерию Дарбина-Уотсона

-   по первому коэффициенту автокорреляции r(1)

Т.к. полученное значение больше 2,значит имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняют, вычитая полученное значение из 4.  d=4-2,48=1,52. В нашем случае d₁=1,10, а d₂=1,37. Т.к. в нашем случае d₂<d<2 (1,37<1,52<2), следовательно, уровни ряда остатков ряда E(t) независимы.

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения | r(1) | < r_таб , то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r_таб= 0,32.

Имеем: | r(1) |=0,06 < r_таб= 0,32 – значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS – критерию. Рассчитаем значение RS:

RS=(E_max – E_min)/S,   

где E_max – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

      E_min –минимальное значение уровней ряда остатков E(t) (графа 2, таблица 5);

      S – среднее квадратическое отклонение.

 E_max = 2,12; E_min = - 0,97; E_max -  E_min = 2,12 – (-0,97) = 3,09

           RS=(E_max – E_min)/S=3,09/0,77=4,01

Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N= 16 и 5% уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находится в интервале от 3,00 до 4,21.

Так как 3,00<4,01<4,21 полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_P(t) на четыре квартала вперед. 

Расчет прогнозных значений.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяются количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16), b(16) можно определить прогнозные значения экономического показателя Y_P(t). Для t=17

Y_P(17)=Y_P(16+1)=[a(16)+1*b(16)]*F(16-+1-4)=[a(16)+1*b(16)]*F(13)= [46,47+1*0,97]* 0,8797=41,73

Аналогично находим Y_P(18), Y_P(19), Y_P(20): Y_P(18)=Y_P(16+2)=[a(16)+2*b(16)]*F(16-+2-4)=[a(16)+2*b(16)]*F(14)= [46,47+2*0,97]* 1,0793=52,23

Y_P(19)=Y_P(16+3)=[a(16)+3*b(16)]*F(16-+3-4)=[a(16)+3*b(16)]*F(15)= [46,47+3*0,97]* 1,2697=62,70

Y_P(20)=Y_P(16+4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16-+4-4)=[a(16)+1*b(16)]*F(16)= [46,47+4*0,97]* 0,7781=39,18

Рисунок 1: сопоставление расчетных и фактических данных

На выше приведенном рисунке 1 проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Задача № 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

-   экспоненциальную скользящую среднюю;

-   момент;

-   скорость изменения цен;

-   индекс относительной силы;

-   %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 6:  Данные о ценах (максимальная, минимальная и закрытия)

Решение:

Расчет простой скользящей средней производится по следующей формуле:

где С_t – цена закрытия в момент времени t.

Вычислив МА для первых пяти дней. Запишем полученный результат в графы 3 и 4 за пятый день таблицы 7.

Рассчитаем экспоненциальную скользящую средную по формуле:

где  

Результаты расчетов простой скользящей средней и экспоненциальной скользящей средней представлены ниже в таблице 7. График экспоненциальной скользящей средней представлен на рисунке 2.

Рисунок 2: Экспоненциальная скользящая средняя.

 Рассчитаем момент по формуле:

Результаты расчетов момента представлены ниже в таблице 7. График момента представлен на рисунке 3.

Движение графика момента вверх из зоны отрицательных значений является слабым сигналом до пересечения с нулевой линией. Начиная с 9 дня график момента опять направлен вниз в зону отрицательных значений, что свидетельствует о снижении цен.

Рисунок 3: График момента.

Скорость изменения цен (ROC_t). Это похожий на МОМ индикатор, который расчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад: .

Результаты расчетов скорости изменения цены представлены ниже в таблице 7. График скорости изменения цены представлен на рисунке 4.

 ROC_t является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень 100%.

Рисунок 4: График скорости изменения цен.

Индекс относительной силы (RSI). Для его расчета применяют следующую формулу:

Рисунок 5: график индекса относительной силы.

где AU – сумма приростов конечных цен за n дней

      AD – сумма убыли конечных цен за n дней.

Результаты расчетов индекса относительной силы представлены ниже в таблице 7. График индекса относительной силы представлен на рисунке 5.

Таблица 7: Расчетные значения

Стохастические линии (%К, %R и %D). Стохастические линии строятся не только на основании цен закрытия но и  с использованием максимальной и минимальной цены.

; ;  

где    C_t  - цена закрытия;

          L₅ – значение минимальной цены за  5 предшествующих дней;

         H₅ – значение максимальной цены за 5 предшествующих дней.

Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной, а при падении цен наоборот – ближе к минимальной. Индексы %К и %R проверяют куда больше тяготеет цена закрытия.

Все расчеты приведены ниже в таблице 8.

Таблица 8: Расчетные данные

На рисунке 6 изображен график стохастических линий.

Рисунок 6:Стохастические линии.

Вывод: в данной задаче в пятый, девятый и десятый дни стохастическая линия %К находится в верхней критической зоне, а %R – в нижней критической зоне, что свидетельствует о перекупленности и рекомендуется воздержаться от покупки в течение 5,9,10 дней; выход в 6,7,8 дни %К и %R из критической зоны является сигналом к продаже  в 6,7,8 дни.Сигнал является достаточно сильным, так как подтверждается стохастической линией %D, которая находится в верхней критической зоне.

Задача № 3.

Выполнять различные коммерческие расходы, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Т_лет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

1.    Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:

1.1.         точные проценты с точным числом дней ссуды;

1.2.         обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

1.3.         обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

2.     Через Т_дн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3.     Через Т_дн дней предприятие должно получить по векселю S рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i % годовых (год равен 360 дней).

4.     В кредитном договоре на сумму S рублей и сроком на Т_лет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

5.      Ссуда, размером S рублей предоставлена на Т_лет. Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

6.     Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i%  годовых.  

7.     Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

8.     Через Т_лет предприятию будет выплачена сумма S рублей. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка  i%  годовых.  

9.     Через Т_лет по векселю должна быть выплачена сумма S рублей. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i%  годовых. Определить дисконт.

10.           В течение Т_лет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S рублей, которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение.  

1.1. Рассчитаем точные проценты с точным числом дней ссуды

,

где n - срок ссуды;

      K – число дней в году;

      i – процентная ставка;

      t – срок операции (ссуды) в днях;

 Р – размер ссуды;

К = 365, t = 53 (с 23.01.2009 по 17.03.2009)

1.2. Рассчитаем обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

,

где n - срок ссуды;

      K – число дней в году;

      i – процентная ставка;

      t – срок операции (ссуды) в днях;

 Р – размер ссуды;

К = 360, t = 53 (с 23.01.2009 по 17.03.2009)

1.3. Рассчитаем обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

,

где n - срок ссуды;

      K – число дней в году;

      i – процентная ставка;

      t – срок операции (ссуды) в днях;

 Р – размер ссуды;

К = 360, t = 54

2. Рассчитаем первоначальную сумму по формуле:

  руб.

Найдем дисконт:

3. Определим полученный предприятием дисконт по формуле:

 руб.

Сумма, полученная предприятием, равна:

руб.

4. Определим наращенную сумму по формуле:

руб.

5. Рассчитаем наращенную сумму:

Всего начислений за 4 года:

 руб

6. Вычислим эффективную ставку процента:

7. Определим номинальную ставку процента.

 , т.е. 7,72%.

8. Найдем современную стоимость.

9. Рассчитаем дисконт.

 руб.

10. Определим сумму на расчетном счете к концу 5 лет.

 руб.