Содержание

1. Найти среднее арифметическое, медиану, моду, среднее геометрическое, размах, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. 5

2. Построить гистограмму, предварительно разбив выборку на 5 интервалов. 6

3. Проверка гипотезы о среднем значении нормально распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии. 9

4. Проверка гипотезы о среднем значении нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии. 10

5. Проверка гипотезы о дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности. 11

6. Осуществить проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с использованием критерия χ2 • 12

7. Осуществить проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с использованием непараметрических критериев Колмогорова, Смирнова, ω2, Ω2 Мизеса. 14

Список литературы.. 16

Вариант 1

1. Найти среднее арифметическое, медиану, моду, среднее геометрическое, размах, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

2. Построить гистограмму, предварительно разбив выборку на 5 интервалов.

3. Осуществить проверку гипотезы о среднем значении нормально распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии.

4. Осуществить проверку гипотезы о среднем значении нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.

5. Осуществить проверку гипотезы о дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

6. Осуществить проверку гипотезы о согласии с нормальным распределением с

параметром сдвига 15, параметром масштаба 0.8 с использованием критерия χ2 Пирсона.

7. По выборке из первых 10 наблюдений осуществить проверку гипотезы о согласии с нормальным распределением с параметром сдвига 15, параметром масштаба 0.8 с

использованием непараметрических критериев Колмогорова, Смирнова, ω2, Ω2 Мизеса.


6,67

4,97

5,36

7,17

0,68

5,19

7,72

13,14

8,79

8,84

3,91

7,27

12,77

4,98

13,76

9,73

8,4

3,54

10,57

8,78

4,34

9,37

1,59

11,22

14,03

11,29

9,18

1,8

7,45

9,11

5,93

9,41

6,26

8,63

-1,06

11,21

3,78

3,41

11,02

5,71

8,03

7,47

5,99

3,28

9,3

6,14

6,54

11,02

8,03

7,42

Решение

 

6,67

4,97

5,36

7,17

0,68

5,19

7,72

13,14

8,79

8,84

 

3,91

7,27

12,77

4,98

13,76

9,73

8,40

3,54

10,57

8,78

 

4,34

9,37

1,59

11,22

14,03

11,29

9,18

1,80

7,45

9,11

 

5,93

9,41

6,26

8,63

-1,06

11,21

3,78

3,41

11,02

5,71

 

8,03

7,47

5,99

3,28

9,30

6,14

6,54

11,02

8,03

7,42

Средне арифметическая

5,78

7,70

6,39

7,06

7,34

8,71

7,12

6,58

9,17

7,97

медиана

5,93

7,47

5,99

7,17

9,30

9,73

7,72

3,54

8,79

8,78

мода

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

средняя геометрическая

5,58

7,50

5,27

6,47

#ЧИСЛО!

8,29

6,82

5,01

9,07

7,86

размах

4,12

4,44

11,18

7,94

15,09

6,10

5,40

11,34

3,57

3,40

средне квадратическое отклонеие

1,32

1,35

2,55

2,34

6,03

2,44

1,57

4,40

1,30

1,13

дисперсия

2,86

3,35

16,25

9,60

51,18

8,24

4,43

26,22

2,45

2,03

коэффициент вариации

22,87

17,58

39,89

33,17

82,07

27,98

22,06

66,82

14,16

14,12

Максималь

8,03

9,41

12,77

11,22

14,03

11,29

9,18

13,14

11,02

9,11

Минимальная

3,91

4,97

1,59

3,28

-1,06

5,19

3,78

1,80

7,45

5,71

u

0,57

0,67

3,25

1,92

10,24

1,65

0,89

5,24

0,49

0,41

u

0,76

0,82

1,80

1,39

3,20

1,28

0,94

2,29

0,70

0,64

Su

3,92

4,59

0,63

1,32

0,18

2,02

3,12

0,37

7,74

8,08

Su

7,60

10,16

3,60

4,84

1,37

6,10

7,87

1,95

13,05

13,03

P1

10,15

-30,23

-6,08

0,04

-16,58

-21,67

5,69

22,36

-4,41

11,57

P2

-31,34

25,49

43,58

-13,34

32,56

27,94

6,49

-32,74

20,56

-0,80

P3

15,04

-6,96

-71,84

40,03

-15,91

-12,07

13,14

16,43

-40,46

15,96

P4

-13,29

25,93

71,05

-29,94

-5,00

27,45

-45,06

-27,25

61,81

-46,11

P5

25,60

-2,53

-2,38

-24,20

4,87

-15,83

-5,58

15,14

-13,19

-7,36

Сумма Р

6,16

11,70

34,34

-27,41

-0,06

5,81

-25,32

-6,06

24,31

-26,73

 

0,25

0,47

1,37

-1,10

0,00

0,23

-1,01

-0,24

0,97

-1,07

Sk

3,03

3,10









374,87

512,20









Sw

1,09

1,12









1. Найти среднее арифметическое, медиану, моду, среднее геометрическое, размах, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

Среднее арифметическое.

Хср = ∑Хi/n

Где хi – число

n – количество чисел

Медиана

Ме = хме*iмe*1/2∑f+1-Sme-1/fme

Где хме – начало медианного интервала, ime – величина медианного интервала, Sme-1 – сумма накопленных частот в домедианном интервале.

Мода

Мо = хмо+iмо*fmo-fmo-1/( fmo-fmo-1)+( fmo-fmo+1)

Где хмо- нижняя граница модального интервала, imo – величина модального интервала. -fmo-1,fmo,fmo+1 – частоты соответственно модального, домодального и послемодального интервалов.

Если множество данных не содержит одинаковых данных, то функция МОДА возвращает значение ошибки #Н/Д

Среднее геометрическое

СРГЕОМ = n√х12*…*х3

Размах

Размах = хмаксмин

Среднее квадратическое отклонение

σ = 1/n∑х-хср

Дисперсия

σ2

Коэффициент вариации.

σ/хср *100

2. Построить гистограмму, предварительно разбив выборку на 5 интервалов.

1 интервал

2 интервал

3 интервал

4 интервал

5 интервал

14.70

14.31

14.40

14.81

13.33

14.36

14.94

16.18

15.18

15.19

14.07

14.83

16.09

14.31

16.32

15.39

15.09

13.98

15.59

15.18

14.16

15.31

13.53

15.74

16.38

15.75

15.27

13.58

14.87

15.25

14.53

15.32

14.60

15.14

12.93

15.73

14.04

13.95

15.69

14.48

15.01

14.88

14.54

13.92

15.30

14.58

14.67

15.69

15.01

14.87

Гистограмма 1 интервала

Гистограмма 2 интервала

Гистограмма 3 интервала

Гистограмма 4 интервала

Гистограмма 5 интервала

3. Проверка гипотезы о среднем значении нормально распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии

Пусть для нормально распределенной случайной величины ξ с известной дисперсией σ2 и неизвестным средним θ необходимо проверить гипотезу: Н0: θ = μ. Для проверки такой гипотезы можно воспользоваться критерием, статистика которого имеет вид:

где n - объем выборки, Х- выборочное среднее (среднее арифметическое). Данная статистика при верности нулевой гипотезы подчиняется стандартному нормальному распределению: G(Sμ│H0) = Ф(Sμ ).

Если вычисленное по выборке значение статистики не превышает критического, тогда проверяемая гипотеза о согласии не отвергается.

4. Проверка гипотезы о среднем значении нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии

Пусть для нормально распределенной случайной величины ξ , с неизвестным средним θ1, и неизвестной дисперсией θ22 необходимо проверить гипотезу: Н0: θ1 = μ. Для проверки такой гипотезы можно воспользоваться критерием, статистика которого имеет вид:

где n- объем выборки, X - выборочное среднее (среднее арифметическое), S(X) -среднее квадратическое отклонение. Данная статистика при верности нулевой гипотезы подчиняется t- распределению Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Если вычисленное по выборке значение статистики не превышает критического, тогда проверяемая гипотеза о согласии не отвергается.

5. Проверка гипотезы о дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности

Пусть для нормально распределенной случайной величины ξ, с известным математическим ожиданием μ. неизвестной дисперсией θ2 необходимо проверить гипотезу: H0: θ2 = σ2. Для проверки такой гипотезы можно воспользоваться критерием, статистика которого имеет вид:

где n - объем выборки, Х - выборочное среднее (среднее арифметическое). Данная статистика при верности нулевой гипотезы подчиняется распределению хиквадрат с числом степеней свободы, равным п : G(Sσ │ H0) = χ2(n).

Если вычисленное по выборке значение статистики не превышает критического, тогда проверяемая гипотеза о согласии не отвергается.

6. Осуществить проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с использованием критерия χ2 •

Проверяемая гипотеза имеет вид

В качестве значений параметров θl и θ0 следует выбрать среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение соответственно (см. п.1).

Для проверки данной гипотезы зададимся уровнем значимости а = 0.05

Для вычисления значения статистики χ2 Пирсона по формуле

χ2 = ∑(ni-n*(Pi(θ))2/n* Pi(θ)

необходимо воспользоваться результатом, полученным в п.2 при разбиении области определения случайной величины на k = 5 интервалов группирования. Значения вероятностей попадания в интервалы группирования рассчитываются следующим образом (рассмотрим случай k = 5):


где x(1),. x(2),.х(3),.х{4) - граничные точки (см. п.2), Ф(t) - стандартное нормальное распределение (см. таблицу 1).

Вычислив значение статистики х2 Пирсона по формуле (1), необходимо сравнить полученное значение с критическим значением статистики. Для уровня значимости а = 0.05 и k = 5 критическое значение статистики S, равно 9,4877. Если вычисленное по выборке значение статистики не превышает критического, тогда проверяемая гипотеза о согласии не отвергается.

7. Осуществить проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с использованием непараметрических критериев Колмогорова, Смирнова, ω2, Ω2 Мизеса.

Проверяется простая гипотеза о принадлежности выборки нормаль­ному закону. Упорядоченная выборка объемом 100 наблюдений имеет вид: 1

Проверяемая гипотеза имеет вид


при значении параметра θ0 = 0,5; θ1 = 1. ;

Для проверки данной гипотезы зададимся уровнем значимости а = 0.05

A) Критерий Колмогорова

Вычисляем значение статистики Колмогорова по формуле :

SK = 6*n*Dn+1/6√n

SK =0,7410. Критическое значение статистики SK при уровне значимости а = 0.05 равно, 1,3581. Поскольку полученное по выборке значение статистики не превышает критического, гипотеза о согласии с нормальным распределением с параметрами 00 = 0,5; Oj = 1 не отвергается при уровне значимости а = 0.05.

Б) Критерий Смирнова

Вычисляем значение статистики Смирнова по формуле

Sm = (6*n*Dn+1)2/9n

Sm =2,1964. Критическое значение статистики Sm при уровне значимости а = 0.05 равно 5,9915. Поскольку полученное по выборке значение статистики не превышает критического, гипотеза о согласии с нормальным распределением с параметрами 00 =0,5; В} = 1 не отвергается при уровне значимости а = 0.05.

B) Критерий ω2 Мизеса

Вычисляем значение статистики ω2 Мизеса по формуле

Sω = nω2n = 1/12n+∑(F(xi,θ)-2i-1*2n)2

Sω =0,1148. Критическое значение статистики Sω при уровне значимости а = 0.05 равно 0,4614. Поскольку полученное по выборке значение статистики не превышает критического, гипотеза о согласии с нормальным распределением с параметрами 00 =0,5; Oj = 1 не отвергается при уровне значимости а = 0.05.

Г) Критерий Ω2 Мизеса

Вычисляем значение статистики 2 Мизеса по формуле

S = nΩ2n = -n-2∑(2i-1/2n*ln(Fxi,θ)+(1-2i-1/2n)ln(1 - Fxi,θ))

S = 0,7577. Критическое значение статистики Sn при уровне значимости а = 0.05 равно 2,4924. Поскольку полученное по выборке значение статистики не превышает критического, гипотеза о согласии с нормальным распределением с параметрами 00 =0,5; Ql = 1 не отвергается при уровне значимости а = 0.05.

Как видим, при задании уровня значимости нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.


Список литературы


1.     Национальное счетоводство: Учебник / Под ред. Б. И. Башкатова. - 2-е издание. перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2002.

2.     Национальные счета в переходный период. - М.: Госкомстат России, 1994. – с. 63

3.     Экономическая статистика: Учебник. 2-е изд.. доп. / Под ред. Иванова Ю. Н. — М.: ИНФРА-М, 2002.

4.     Макроэкономическая статистика: Учеб. пособие / Салин В. Н., Медведев В Г. к др. -М. : Дело. 2001.

5.     Башкатов Б.И. Социально-экономическая статистика – М.: ЮНИТИ-ДАНА 2002. – 703 с.

6.     Боярский А.Я., Громыко Г.Л. “Общая теория статистики” М.: изд. Московские университеты, 1985 г. – 372 с.

7.     Васильева Э.К. “Социально-демографический портрет студента” М.: Мысль, 1986 г. – 96 с.

8.     Кильдишев и др. “Статистика населения с основами демографии” М.: Финансы и Статистика, 1990 г. – 312 с.