3.Проверим  выполнение предпосылок МНК.

• Отсутствие автокорреляции (остатки распределены независимо друг от друга)

Отсутствие автокорреляции (зависимость остатков ) проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:

d₁ =1,08

d₂ =1,36

Т.к.d>2, то d – критерий пересчитывается по формуле:  = 4-d

 = 4-2,47 = 1,53

Т.к. d₂ <  < 2, то ряд остатков не коррелирован.

• Случайный характер остатков (проверяется по графику)

Из графика видно, что в расположении точек нет направленности, следовательно - случайные величины.

• Проверка равенства математического ожидания нулю

Выполняется по t-критерию Стьюдента

tтабл=2,26,следовательно рассчитанное значение меньше его табличного, значит гипотеза о равенстве нулю математического ожидания принимается.

• Обнаружение гетероскедастичности

Выявляем при помощи Теста Голдфельда-Квандта:

-   Ранжируем наблюдения в порядке возрастания Х

-  Делим все наблюдения на две группы и для каждой из них определяем уравнение регрессии:

1. Для первой группы

     68,8-1,47*30,6 = 23,8

23,8 + 1,47x

2. Для второй группы

115-2,19*49,6 = 6,08

6,08 +2,19x

-   Определим остаточную сумму квадратов для первой регрессии:

=389,63

И для второй:

=24,53

Вычислим отклонение , в числителе должна быть большая сумма квадратов:

Полученное отклонение имеет F-распределение со степенями свободы          k₁ = n₁ - m и k₂ = n – n₁ - m (m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

k₁ = 3                          k₂ =10-5-2 = 3

Fнабл (α; k₁; k₂) = 15,88

Fтабл (0,05; 3; 3) = 9,27

Fнабл > Fтабл, следовательно гетероскедастичность имеет место.

4.Проверим значимость  параметров уравнения по t-критерию Стьюдента при =0,05.

Выдвигается Н0 – гипотеза о незначимом отличии параметра уравнения регрессии от нуля. Для проверки этой гипотезы используется t-статистика. Расчетные значения t-критерия определяются по формулам:

7,47

 = 2,35 / 0,24 = 9,79

tтабл =2,3

Т.к. tрасч>tтабл (7,47>2,3), то коэффициент а0 значим,  tрасч<tтабл (9,79>2,3), то коэффициент а1 тоже значим.

5. Вычислим коэффициент детерминации R, проверим значимость уравнения по F-критерию, найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации, оценим качество модели.

- 1-0,077=0,923

Данный коэффициент показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 92% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

- Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:

Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,05 при v1=К=1 и  v2=n-k-1=10-1-1=8 составляет

Fтабл = 2,3

Поскольку Fрас>Fтабл, уравнение регрессии следует признать значимым.

- Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации и  оценим качество модели:

A практически равно 7, следовательно модель имеет хорошее качество.

6. Выполним  прогноз среднего значения показателя y при =0,10, если Х составляет 80% от его максимального значения.

х_пр = 0,8*х_{max =} 0,8*53 = 42,4

пр= -2,34 + 2,35*42,4 = 97,3

Стандартная ошибка:

Коэффициент Стьюдента t_α для m = 10-2 = 8 степеней свободы и уровня значимости 0,1: t_табл = 1,8595

Тогда u_{(x=36.8; n=10; α=0.1)} =

Верхняя граница: у_max = 97,3 + 15,05 = 112,35

Нижняя граница: y_min = 97,3 - 15,05 = 82,25

Диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ∆у:

∆у =112,35 /82,25 = 1,3

Вывод: выполненный прогноз объема выпуска продукции оказался надежным (ρ = 1 - α = 1 - 0,1 = 0,9), но не точным, т.к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ∆у = 1,3

7.Представим графически: фактические, модельные значения и точки прогноза.

8.   Составим уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

            - показательной.

. Гиперболическая модель.

Уравнение гиперболической модели: 

Для построения этой модели произведем ее линеаризацию путем замены переменных: X = 1/x

Получим линейное уравнение регрессии:

Далее рассчитаем параметры модели.

Для расчета параметров построим вспомогательную таблицу:

91,9 +5588,23*0,027=242,78

Запишем гиперболическую модель:

242,78 - 5588,23/x

Рассчитаем индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать не очень сильной.

Рассчитаем индекс детерминации:0,658*0,658=0,433

Вариация объема выпуска продукции у на 43,3% объясняется вариацией фактора х - объема капиталовложений.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

Поскольку F>Fтабл= 5,11      =0,05; к1=m=1, к2=n-m=9    , то уравнение регрессии с вероятностью 0,95  в целом статистически значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения урасч гиперболической функции отличаются от фактических значений на 1,88%.

2. Степенная модель.

Степенная модель имеет вид:

Произведем линеаризацию уравнения путем логарифмирования его обеих частей:         

Обозначим:

С учетом этого получим линейное уравнение регрессии:       

Для расчета параметров построим вспомогательную таблицу:

Найдем значения параметров модели:

1,946-0,99*1,588=0,37

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Y= 0,37+0,99X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование последнего уравнения:

Тогда окончательно имеем уравнение степенной модели:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать очень сильной.

Рассчитаем индекс детерминации:

0,999*0,999=0,998

Вариация объема выпуска продукции у на99,8% объясняется вариацией фактора х - объема капиталовложений.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

Поскольку F>Fтабл=5,11       =0,05; к1=m=1, к2=n-m= 9   , то уравнение регрессии с вероятностью 0,95  в целом статистически значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения урасч степенной функции отличаются от фактических значений на 0,25%.

 3. Показательная модель.

Уравнение показательной кривой: 

Для построения этой модели произведем линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения: 

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Далее рассчитаем параметры модели.

Для расчета параметров построим вспомогательную таблицу:

Найдем значения параметров модели:

1,946-0,012*40,1=1,46

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Y=  1,46 + 0,012x

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование последнего уравнения:

Тогда окончательно имеем уравнение степенной модели:

28,84*1,028

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать очень сильной

Рассчитаем индекс детерминации:

0,998*0,998=0,996

Вариация объема выпуска продукции у на 99,6% объясняется вариацией фактора х - объема капиталовложений.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

Поскольку F>Fтабл= 5,11             =0,05; к1=m=1, к2=n-m=9    , то уравнение регрессии с вероятностью 0,95  в целом статистически значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения урасч показательной функции отличаются от фактических значений на 0,75%.

9.         Приведем  графики всех построенных уравнений регрессии.

10.  Для указанных моделей найдем коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем  вывод. 

Из сводной таблицы результатов расчета видно, что наиболее лучшие характеристики имеет степенная модель, поэтому ее выбираем для построения прогноза.

Задача 2

Задача 2а и 2б .

Имеются два варианта структурной формы модели заданные в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо для каждой матрицы записать системы одновременных уравнений и проверить их на идентифицируемость.

2а

Составим системы одновременных уравнений:

Проверим каждое уравнение на выполнение необходимых и достаточных условий идентификации.

Первое уравнение:

Определим эндогенные переменные: y_1,  y_3, т.е. Н = 2,

Найдем отсутствующие экзогенные переменные: x_1,  т.е. D = 1.

Проверяем условие идентификации 1+1 = 2 или D + 1 = Н – условие необходимости  выполнено, и уравнение можно считать идентифицируемым.

Далее проверяем достаточное условие.

Определитель матрицы не равен нулю, следовательно, уравнение можно считать идентифицируемым.

Второе уравнение:

Определим эндогенные переменные: y_1, y_2, y_3, т.е. Н = 3,

Найдем отсутствующие экзогенные переменные: x_1, x₂  т.е. D = 2.

Проверяем условие идентификации 2+1 = 3 или D + 1 = Н – условие необходимости  выполнено, и уравнение можно считать идентифицируемым.

Далее проверяем достаточное условие.

Определитель матрицы не равен нулю, следовательно, уравнение можно считать идентифицируемым.

Третье уравнение:

Определим эндогенные переменные:y_2, y_3, т.е. Н = 2,

Найдем отсутствующие экзогенные переменные:x₄  т.е. D = 1.

Проверяем условие идентификации 1+1 = 2 или D + 1 = Н – условие необходимости  выполнено и уравнение можно считать идентифицируемым.

Далее проверяем достаточное условие.

Определитель матрицы не равен нулю, следовательно, уравнение можно считать идентифицируемым.

2б

Составим системы одновременных уравнений:

Проверим каждое уравнение на выполнение необходимых и достаточных условий идентификации.

Первое уравнение

Определим эндогенные переменные: y1_,y_2, y_3, т.е. Н = 3,

Найдем отсутствующие экзогенные переменные:x_1, x₃  т.е. D = 2.

Проверяем условие идентификации 2+1 = 3 или D + 1 = Н – условие необходимости  выполнено и уравнение можно считать идентифицируемым.

Далее проверяем достаточное условие.

Поскольку вторая  строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю. Значит достаточное условие идентифицируемости не выполнено и первое уравнение в СФМ нельзя считать идентифицируемым.

Второе уравнение

Определим эндогенные переменные: y1_,y₂ т.е. Н = 2,

Найдем отсутствующие экзогенные переменные:x₄  т.е. D = 1.

Проверяем условие идентификации 1+1 = 2 или D + 1 = Н – условие необходимости  выполнено и уравнение можно считать идентифицируемым.

Проверяем условие достаточности по переменным y3 и  x_4.

Поскольку третье уравнение можно записать в виде:

, тогда равенство = -1 становится очевидным. Определитель для второй матрицы не равен нулю а ранг матрицы равен  , поэтому условие достаточности выполнено и это уравнение идентифицируемо.

Третье уравнение:

Определим эндогенные переменные: y1_,y_2, y3 т.е. Н = 3,

Найдем отсутствующие экзогенные переменные:x_{1 ,}x₃ т.е. D = 2.

Проверяем условие идентификации 2+1 = 3 или D + 1 = Н – условие необходимости  выполнено и уравнение можно считать идентифицируемым.

Проверяем условие достаточности по переменным, для чего строим матрицу для переменных x_{1 ,}x_{3,  которые отсутствуют в третьем уравнении.}

Определитель матрицы равен нулю (первая строка представлена нулями), значит достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Задача 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), построить структурную форму модели вида:

Структурная форма модели преобразуется в приведенную. Для этого из 2-го уравнения выражаем у₂ и подставляем в первое уравнение, а из 1-го уравнения выражаем у₁ и подставляем во второе. После преобразований получаем:

у₁ = δ₁₁х₁ + δ₁₂х₂ + u₁

у₂ = δ₂₁х₁ + δ₂₂х₂ + u₂,

где u₁ и  u₂ случайные ошибки ПФМ. Для 1-го уравнения определим δ – коэффициенты с помощью традиционного МНК.

Σ у₁x₁ =  δ₁₁Σх₁² + δ₁₂Σх₁х₂

Σ у₁x₂ = δ₁₂Σх₁х₂ + δ₁₂Σх₂²

Расчетная таблица

С учетом приведенных данных получаем:

-61,07 = 35,33 δ₁₁ + 28,67 δ₁₂;

229,47 =  28,67δ₁₁  + 104,83 δ₁₂             

 В результате решения получаем δ₁₁ = - 4,505   δ₁₂ = 3,421

С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:

у₁ = -4,505х₁ +3,421х₂ + u₁

Для 2-го уравнения ПФМ с помощью МНК определяем δ-коэффициенты:

Σ у₂x₁ =  δ₂₁Σх₁² + δ₂₂Σх₁х₂

Σ у₂x₂ = δ₂₁Σх₁х₂ + δ₂₂Σх₂²

Для дальнейших расчетов данные берем из этой же таблицы. Подставляя значения сумм из таблицы, получим:

174,6 = 35,33 δ₂₁ +28,67  δ₂₂;

161,9 = 28,67 δ₂₁  + 104,83 δ₂₂              (для 2-го уравнения)

В результате решения получаем δ₂₁ = 4,741 δ₂₂ = 0,248  

Второе уравнение ПФМ получаем в виде:

у₂ = 4,741 х₁ +0,248 х₂ + u₂

Выполним переход от приведенной формы к структурной форме модели, для чего из последнего уравнения ПФМ найдем х₂:

х₂ = (у₂ - 4,741 х₁)/ 0,248

Подставим значение х₂ в первое уравнение ПФМ:

у₁ = - 4,505х₁ +3,421(у₂ - 4,741 х₁)/ 0,248  = 13,794у₂ – 69,902х₁

Таким образом,     b₁₂ =13,794,     a₁₁ = - 69,902

Из первого уравнения ПФМ найдем х₁: х₁ = (у₁ +3,421х₂)/ -4,505

Подставим выражение для х₁ во второе уравнение ПФМ и найдем структурное уравнение:

у₂ = 4,741 х₁ +0,248 х₂ + u₂

у₂ =4,741(у₁ +3,421х₂)/ -4,505  + 0,248 х₂ = -1,052 у₁ – 3,352 х₂

Таким образом, b₂₁ = -1,052  a₂₂ = – 3,352

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

а₀₁ = у_1,ср – b₁₂y_2,ср – a₁₁x_1,ср = 51,53 +13,794*78,1 + 69,902*6,33 = 1571,321

а₀₂ = у_2,ср – b₂₁y_1,ср – a₂₂x_2,ср = 78,1 + 1,052*51,53 + 3,352*9,17  = 163,047

Записываем СФМ в окончательном виде:

у₁ = а₀₁ + b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + ε₁ =1571,321–13,794 у₂ - 69,902х₁ + ε₁

у₂  = а₀₂ + b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + ε₂ = 163,047 - 1,052  у₁ – 3,352х₂ + ε₂