Вариант № 13

Выполнил:

Проверил:

Тула, 2006 г.

Задание I.

Исходные данные:

1)      определить наличие тренда Y(t);

2)      построить линейную модель Y(t)=a₀+a₁t, параметры которой оценить с помощью МНК;

3)      оценить адекватность построенных моделей на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических используйте уровни d₁=1,08 и d₂=1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1)=0,36;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7;

4) для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;

5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности P=70% используйте коэффициент t=1,11)

Все расчеты проводились с использованием программы «Статэксперт», результаты которых представлены в виде таблиц и графиков.

1) Определение наличия тренда.

Определим статистики временного ряда:

Результаты проверки гипотезы об отсутствии тренда приведены в таблице:

Приведем графики.

2) Построим линейную модель.

Рассмотрим уравнение вида , где t – время. С помощью данной функции будем аппроксимировать функцию, заданную таблично с помощью метода наименьших квадратов, т.е. сумма квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:  (1).

Параметры модели , согласно методу наименьших квадратов находятся из решения системы уравнений из преобразования (1):

Решая эту систему, получим:

где  и  - средние значения соответственно моментов наблюдения и уровней ряда.

3) Оценим адекватность, точность и качество построенной модели.

4) Приведем характеристики остатков.

5) Построим прогноз на 3 шага вперёд

Приведем график прогноза:

Построим графики абсолютной и относительной ошибок:

Задание II.

1) построить матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X₁(t) и X₂(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной Y(t).

Исходя из следующих данных:

С помощью Excel рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции переменных. Для этого воспользуемся стандартной функцией:

1) в главном меню последовательно выбираем пункты Вставка / Функция;

2) в открывшемся окне Мастер функций выбираем Категория: Статистические / Функция: КОРРЕЛ;

3) заполняем Массив1 и Массив2 необходимым множеством данных (Y(t) и X₁(t), Y(t) и X₂(t), X₁(t) и X₂(t));

4) результаты вычислений – матрица коэффициентов парной корреляции – представлены на рис.2.1.

Рис. 2.1. Матрица коэффициентов парной корреляции

Коэффициент корреляции также можно вычислить по следующей формуле:

;

Для удобства вычисления коэффициента корреляции r_y,x1 предварительные расчеты сведем в таблицу:

В итоге при подстановке значений вычисляем r_y,x1:

По аналогии расчета коэффициента r_y,x1 вычисляем коэффициент парной корреляции r_y,x2 и r_x1,x2:

Полученные значения коэффициентов парной корреляции сведем в следующую таблицу:

Из таблицы видно, что значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь переменной Y(t) с коэффициентом X₂(t). Но в то же время коэффициент r_x1,x2 также имеет тесную межфакторную связь, которая превышает тесноту связи X₁(t) с Y(t). В связи с этим для улучшения данной модели можно исключить из нее фактор X₁(t) как малоинформативный, недостаточно статистически надежный.

2) Построить линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t)=а₀+а₁ X(t).

Для проведения регрессионного анализа воспользуемся EXCEL:

1) в главном меню последовательно выбираем пункты Сервис / Анализ данных;

2) в открывшемся окне Анализ данных выбираем Инструменты анализа: Регрессия;

3) заполняем Входной интервал Y и Входной интервал X множеством данных Y(t) и X₂(t);

4) отмечаем флажком Метки;

5) в поле Остатки отмечаем флажком Остатки, График остатков, График подбора;

6) результат регрессионного анализа представлен в табл. 2.1-2.3;

Таблица 2.1

Во втором столбце табл.2.1 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₁. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости Y(t) от X₂(t) имеет вид:  Y(t)= -3,7489+0,6725 ∙ X(t)

Таблица 2.2

Расчеты по модели регрессии

Оценка параметров модели без ПЭВМ.

Построим линейную однопараметрическую модель регрессии для X₂(t).

Y(t)= -3,7489+0,6725 ∙ X(t).

3) Оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;

Оценим качество построенной модели, исследуя адекватность.

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

а) при проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей (с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона).

Таблица 2.3

Данные для вычисления d-критерия

;     

 попало в интервал от d₂ до 2, значит модель уровня ряда остатков независима, автокорреляции нет, свойство независимости выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

б) проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.

В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

. Количество поворотных точек равно 5 (график остатков).

в) соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия.

,

где -максимальный уровень ряда остатков, равный 3,1936;

- минимальный уровень ряда остатков, равный -3,8590;

-среднеквадратическое отклонение,

,

Тогда:

Расчетное значение попадает в интервал (2,7…3,7), следовательно, свойство нормальности распределения выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

г) проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков осуществляется с использованием t-критерия Стьюдента.

,

где -среднее значение уровней остаточного ряда;

-среднеквадратическое отклонение уровней остаточного ряда.

В нашем случае =0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Для расширенной характеристики модели регрессии вычислим несколько дополнительных показателей: коэффициент детерминации R² и коэффициент множественной корреляции R:

Коэффициент детерминации:

R² показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, более 85,1 % вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора.

R – коэффициент множественной корреляции. R=0,9227 показывает тесноту связи зависимой переменной Y с факторами X, включенными в модель.

4) Для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и β-коэффициент.

а) Расчет коэффициента эластичности.

Он показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат Y от своей средней величины при изменении фактора Х на 1% от своего среднего значения:

Для линейной модели производная по функции равна коэффициенту при Х, т.е. а₁. Тогда получим:

Следовательно, при изменении Х на 1% от своего среднего значения величина Y в среднем изменится на 1,16%.

б) Расчет β-коэффициента.

β-коэффициент показывает, на какую часть сигмы изменяется результативный признак, при изменении факторного признака на величину его сигмы. Сравнение β-коэффициентов при различных факторах дает возможность оценить силу их воздействия на результативный признак. Он вычисляется по формуле:

,

Дисперсии определим по формулам:

,

Все необходимые вычисления сведем в таблицу:

,

Тогда:

- при изменении факторного признака на величину его сигмы результативный признак изменяется на 0,92 сигмы.

5) Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности Р = 70 % используйте коэффициент v = 1,11). Прогнозные оценки фактора X(t) на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня).

Для вычисления прогнозных оценок Y на основе построенной модели необходимо получить прогнозные оценки фактора X.

Получим прогнозные оценки фактора на основе величины его среднего абсолютного прироста САП.

;

;

Построим прогноз на 2 шага вперед. Для этого определим значение X на первом и втором шагах соответственно:

;

l=1;

;

l=2;

.

Для получения прогнозных оценок зависимой переменной подставим в модель:

Y(t)= -3,7489+0,6725 ∙ X(t)

найденные прогнозные значения фактора X:

Y(10)= -3,7489+0,6725 ∙ X(10)= -3,7489+0,6725 ∙53,125=31,98

Y(11)= -3,7489+0,6725 ∙ X(11)= -3,7489+0,6725 ∙56,25=34,08

Определим доверительный интервал прогноза, который будет иметь следующие границы:

- верхняя граница прогноза: Y(N+l) + U(l);

- нижняя граница прогноза: Y(N+l) – U(l).

Величина U(l) имеет вид:

,

где  - стандартная ошибка. Значение ошибки было определено при исследовании модели на точность и адекватность ( = 2,4367).

Необходимые вычисления для определения доверительного интервала сведем в таблицу:

Для прогноза на два шага имеем:

Результаты прогнозных оценок по модели регрессии представим в таблице:

Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.