Полученное решение означает, что предприятию необходимо ежемесячно производить 75 единиц продукции А  и 61 единиц продукции Б, что позволит ему получать максимальную месячную выручку в размере  21965 рублей.

1.3. Построение двойственной задачи

Найти неизвестные значения переменных u_1, u₂, u₃ , удовлетворяющих ограничениям:

и доставляющих минимальное значение целевой функции

W = 273u₁ + 112u₂ + 192u₃ ® min.

1.4. Нахождение оптимального решения двойственной задачи

Для рассматриваемой нами задачи условия «дополнительной нежесткости» имеют вид:

u₁ (273 - x₁- 2x₂ )= 0                    x₁(u₁ + 3u₂ + 4u₃ - 248 )= 0

u₂(112 - 3x₁ – 5x₂)= 0                    x₂(2u₁ + 5u₂ + 6u₃ - 293) = 0

u₃(192 - 4x₁ – 6x₂)= 0   

u₁ ³0, u₂ ³0,  u₃ ³ 0,

Подставляя в них найденные значения х₁* = 75, х₂*= 61, получим:

так как х₁* = 75,  то  u₁ + 3u₂ + 4u₃ - 248 = 0;

так как х₂* = 61,  то  2u₁ + 5u₂ + 6u₃ - 293= 0;

так как 273 - x₁*- 2x₂* =273 - 75- 2´61 = 0, то u₁^* ¹ 0;

так как 112 - 3x₁* – 5x₂*= 112 - 3´75 – 5´61=0, то u₂^* ¹ 0;

значит u₃^* = 0; проверим это:

так как 192 - 4x₁* – 6x₂*=192 - 4´75 – 6´61¹ 0, то действительно u₃^* = 0.

Получаем систему уравнений:

u₁ + 3u₂ + 4u₃ - 248 = 0

2u₁ + 5u₂ + 6u₃ - 293 = 0

u₃=0

Решая эту систему, находим оптимальные значения переменных двойственной задачи:

u₁* = 55, u₂* = 21, u₃* = 0.

Вычислим оптимальное значение целевой функции двойственной задачи:

W = 273 × 55 + 112 × 21 + 732 × 0 = 21965,  т.е. Z* = W* = 21965, что соответствует первой теореме двойственности.

1.5. Экономическая интерпретация переменных и оптимального решения двойственной задачи

Для исследуемой задачи оптимизации производственной программы получим

u₁ – стоимостная оценка сырья, ее размерность [руб./1 кг сырья];

u₂ – стоимостная оценка времени работы оборудования, ее размерность [руб./1 ст.час];

u₃ – стоимостная оценка трудовых ресурсов, [руб./1 чел.-час];

u₁* = 55 означает, что при изменении месячного количества сырья с 55 единиц до 55 + Δm, изменение максимальной суммарной выручки составит u₁* Δп (руб.) = 55Δп (руб).

u₂* =  21 означает, что при изменении количества оборудования с 21 стан.-час до 21 + Δm, изменение максимальной суммарной выручки составит u₂* Δm (руб.) = 21Δm (руб).

u₃* = 0 означает, что ни увеличение, ни уменьшение размера трудоресурсов не приведет к изменению оптимального значения суммарной выручки.

1.6. Графический анализ устойчивости изменения используемых ресурсов. Анализ устойчивости сырья

Количество используемого сырья S=х₁ + 2x₂ .

Если SÎ[0; S(A)], то точкой максимума является точка E(0; x₂) пересечения оси Ох₂ и прямой ограничения по сырью (1).

Если SÎ[S(A); S(В)], то точкой максимума является точка R(x₁; x₂) отрезка AВ пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (3)

Если SÎ[S(В); ¥], то точкой максимума является точка В(x₁; x₂)  пересечения прямой (2) и прямой (3).

Координаты точки Е находятся из системы  уравнений

 5х₁ + 3х₂ = S                

 х₁  = 0

Решаем ее:

 х₁ = 0, х₂ = S/3.

 Z*(S) =422х₁^* + 520х₂^* =173,3S;  u₁ = 173,3; u₂= 0; u₃ = 0

Координаты точки R находим из системы  уравнений

 5х₁ + 3х₂ = S                

2х₁ + 4х₂ = 444

Решаем ее:

 х₁ = (4S-1332)/14, х₂ = (2220-2S)/14.

Z*(S) = 422х₁^* + 520х₂^* =422´(4S-1332)/14 + 520´(2220-2S)/14 = 46,3S+4236,9; 

u₁ = 46,3; u₂= 0; u₃ = 0.

Координаты точки B

 х₁ = 50, х₂ = 86.

Z*(S) = 422х₁^* + 520х₂^*  =65820 

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 0.

S(A)= 5х₁ + 3х₂ =0+3´97=111,

S(B)= 5х₁ + 3х₂ =5´50+3´86=508

Интервал устойчивости [508; ¥)

Анализ устойчивости времени работы оборудования

Количество используемого времени работы оборудования  M=5х₁ + 4х₂ .

Если MÎ[0; M(А)], то точкой максимума является точка G(0;x₂) пересечения оси Ох₂ и прямой ограничения по оборудованию  (2).

Если MÎ[M(A); M(K)], то точкой максимума является точка Q(x₁; x₂) отрезка AK пересечения прямой ограничения по оборудованию и прямой (3).

Если МÎ[М(K); ¥], то точкой максимума является точка K(x₁; x₂)  пересечения прямой (1) и прямой (3) .

Координаты точки G находятся из системы  уравнений

 5х₁ + 4х₂ = M                

 х₁  = 0

Решаем ее:

 х₁ = 4, х₂ = M/4.

 Z*(M) =422х₁^* + 520х₂^* =130M;  u₁ = 0; u₂= 130; u₃ = 0

Координаты точки Q находим из системы  уравнений

 2х₁ + 4х₂ = 444                

5х₁ + 4х₂ = M

Решаем ее:

 х₁ = (M-444)/3, х₂ =(2220-2M)/12.

Z*(M) = 422х₁^* + 520х₂^* =422´(M-444)/3 + 520´(2220-2M)/12  =54M+33744; 

u₁ = 0; u₂= 54; u₃ = 0.

Координаты точки К находим из системы  уравнений

 5х₁ + 3х₂ = 558

2х₁ + 4х₂  = 444

Решаем ее:

 х₁ = 64,3, х₂ = 78,9.

Z*(M) = 422х₁^* + 520х₂^* =68162,6

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 0.

M(A)= 5х₁ + 4х₂ =5´0+4´111=444,

M(K)= 5х₁ + 4х₂ =5´64,3+4´78,9=637,1

    Таким образом, решена задача определения функций u₂*(M) и  Z*(М) для всех возможных значений MÎ[0;+ ¥).

Интервал устойчивости месячного фонда времени работы– [444;637,1).

Анализ устойчивости трудовых ресурсов

Количество используемых Т=2х₁ + 4х₂ .

Если ТÎ[0; Т(D)], то точкой максимума является точка Q(x₁; 0) пересечения оси Ох₁ и прямой ограничения по трудовым ресурсам  (3).

Если ТÎ[Т(D); Т(C)], то точкой максимума является точка V(x₁; x₂) отрезка DC пересечения прямой ограничения по трудовым ресурсам  и прямой (1).

 Если ТÎ[Т(C); Т(E)], то точкой максимума является точка L(x₁; x₂) отрезка CE пересечения прямой ограничения по трудовым ресурсам  и прямой (2).

Если TÎ[T(E); ¥], то точкой максимума является точка E(0; x₂)  пересечения оси Ох₂ и прямой (2) .

Координаты точки Q находятся из системы  уравнений

 2х₁ + 4х₂ = T                

 х₂  = 0

Решаем ее:

 х₁ = T/2, х₂ =0.

 Z*(Т) =422х₁^* + 520х₂^* =211T;  u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 211.

Координаты точки V находим из системы  уравнений

 2х₁ + 4х₂ = T                

5х₁ + 3х₂ = 558

Решаем ее:

 х₁ = (2232-3T)/14, х₂ = (5T-1116)/14.

Z*(Т) = 422х₁^* + 520х₂^* =422´(2232-3T)/14  + 520´(5T-1116)/14 =95,3T+25827,4; 

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ =95,3.

Координаты точки L находим из системы  уравнений

 2х₁ + 4х₂ = T                

5х₁ + 4х₂ = 594

Решаем ее:

 х₁ = (594-T)/3, х₂ = (5T-1188)/12.

Z*(Т) = 422х₁^* + 520х₂^* =422´(594-T)/3   + 520´(5T-1188)/12 =76T+104076; 

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ =76.

Координаты точки E известны :

 х₁ = 0, х₂ = 148,5.

Z*(Т) = 422х₁^* + 520х₂^* =422´0+ 520´148,5 =77220

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 0.

Координаты точки C находим из системы  уравнений

 5х₁ + 3х₂ = 558                

5х₁ + 4х₂ = 594

Решаем ее:

 х₁ = 90, х₂ = 36

Т(D)= 2х₁ + 4х₂ =2´111,6+0=2214,1,

Т(C)= 2х₁ + 4х₂ =2´90+4´36=324

Т(E)= 2х₁ + 4х₂ =0+4´148,5=594

Таким образом, решена задача определения функций u₃*(T) и Z^*_P(Т) для всех возможных значений TÎ[0;+ ¥)

Интервал устойчивости месячного фонда трудовых ресурсов

[324;594).

На рисунке показаны функции предельной полезности и полезности сырья.

Задача 2

Малое предприятие намерено организовать в  следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих  на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и  затратами, связанными  с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой  t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда  t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли  и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 40 рублей за чел.-час. Найти  функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение.

2.1. Построение математической модели оптимизации выпуска продукции

Для построения модели введем следующие обозначения:

х₁ – объем выпуска продукции А,

х₂ – объем выпуска продукции Б,

S – потребность в трудовых ресурсах,

t – почасовая ставка оплаты труда,

V – размер кредита,

Z – выручка от реализации произведенной продукции,

P – прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию сырья:

4x₁ + 2x₂ £ 1600;

Ограничения по использованию оборудования:

4x₁ + 4x₂ £ 1920;

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах х₁ и х₂:

S = 5x₁ + 2x₂ .

Размер необходимого кредита определяется, исходя из потребности в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е.

V=tS = t(5x₁ + 2x₂).

Выручка от реализации произведенной продукции:

Z = 2135x₁ + 1040x₂

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

         40%        3

V + (¾¾ ´ ¾¾¾)V = V + 0.1V = 1.1V.

12               100%

Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.

Р = Z – 1.1V.

Подставляя в эту формулу выражения для Z и V, получим

Р = (2135x₁ + 1040x₂ )– 1,1 t(5x₁ + x₂) = (2135 – 5,5t)х₁ + (1040 – 1,1 t)х₂

Следовательно,  математическая модель оптимизации выпуска продукции с привлечением кредитных ресурсов для оплаты труда рабочих  принимает следующий вид:

Найти неизвестные значения объемов выпуска х₁, х₂, удовлетворяющих ограничениям

4x₁ + 2x₂ £ 1600

4x₁ + 4x₂ £ 1920             (1)

х₁³0, х₂³0,

и доставляющих максимальное значение целевой функции:

Р = (2135 – 5,5t)х₁ + (1040 – 1,1 t)х₂ → max.

При этом необходимый размер кредита V  определяется по формуле:

V = tS = 5tx₁^* + 2tx₂*,

где х₁*, х₂* - оптимальное решение задачи (1). Модель (1)  представляет собой задачу параметрического линейного программирования, так как в ее условиях содержится параметр t, от значения которого зависит оптимальное решение.

2.2. Определение оптимальной программы выпуска продукции

При фиксированной ставке оплаты труда t = 10 руб./чел.-час. математическая модель (1) примет вид:

4x₁ + 2x₂ £ 1600

4x₁ + 4x₂ £ 1920

х₁³0, х₂³0,

Р = 1258 х₁ + 309х₂ → max.

Графическое решение задачи изображено на рисунке ниже. Точкой максимума является точка В с координатами  х₁* = 80, х₂*= 120.

Максимальный размер прибыли:

Р* = Р = 1258´80 + 309´120= 137720 (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 5tx₁^* + 2x₂* = 5´10´80  + 2´10´120 =5200 руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´ 5200= 520руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 5x₁^* + 2x₂^* = 8´80 + 2´120 = 760 (чел.-час.).

2.3 Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы

Потребность в трудовых ресурсах  S   для обеспечения  оптимального выпуска в объемах х₁*, х₂* определяются соотношением:

S* = 5x₁^* + 2x₂^*,

Но оптимальный план выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*), зависит от почасовой ставки t оплаты труда. Следовательно, величина Sтакже зависит от t, т.е. потребность в трудовых ресурсов S есть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию. Для этого рассмотрим модель (1) и определим оптимальные планы выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*) при различных значениях t, используя графический метод решения задачи линейного программирования.

Пусть t достаточно мало (близко к нулю). Рассмотрим уравнение линии уровня целевой функции

Р = (2135 – 5,5t)х₁ + (1040 – 1,1 t)х₂= h.

При малых значениях t прямая с таким уравнением будет почти параллельна прямой с уравнением

Р = 2135х₁ + 1040х₂ = h.

Если «закрепить» линию уровня в т. В и начать  увеличивать значение параметра t, то точка Е пересечения линии уровня с осью Ох₂ начнет перемещаться вверх по оси Ох₂.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна ВС. Из равенства угловых коэффициентов получаем: (2135 – 5,5t)х₁ = (1040 – 1,1t)х₂ 

,  t =30

Следовательно, точка B (80;120) остается точкой максимума пока tÎ[0;30).

Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[0;30):

Р* =  (2135 – 5,5t)´80 + (1040 – 1,1t)´120  = 137720-572t  (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 5tx₁^* + 2x₂* = 5´t´80 +2´t´120 =520t руб., сумма уплаченных процентов:

0,1V* = 0,1´ 520t =52t руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 5x₁^* + 2x₂^* = 5´80 +1´120 = 520 (чел.-час.).

Если t=30, то оптимальное решение будет достигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(80;120) и C(1040;0).

Если «закрепить» линию уровня в т. C и начать  увеличивать значение параметра t, то линия уровня будет приближаться к прямой OC.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна OC. Из равенства угловых коэффициентов получаем:

;  t =238,73 > 30.

Если tÎ[20; 30] точкой максимума станет точка C(1040;0).

Найдем максимальный размер прибыли для  tÎ[30;40]:

Р* =(2135-5,5t)´1040 +0  = 420160 – 1760t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 5tx₁^* + 2tx₂* = 2´t´1040 + 0 =1040t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 32tруб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 5x₁^* + 2x₂^* = 5´1040 + 0 = 1600 (чел.-час.).

 Итоги решения задачи представим в таблице:

Задача 3

Лизинговая компания располагает капиталом в размере 70 млн.руб., предназначенным для приобретения объектов, передаваемых лизингополучателям по договорам лизинга. Предварительный анализ потребностей лизингополучателей позволил выделить три типа объектов, пользующихся наибольшим спросом:

Объект №1 – оборудование для производства мебели;

Объект №2 - оборудование для производства тетрапаков;

Объект №3 – токарные станки-полуавтоматы.

Лизинговой компании известны оценки ожидаемой доходности от передачи объектов лизингополучателям, которая зависит от  стоимости объекта. Например,  при передаче лизингополучателю объекта №1 стоимостью 20 млн.руб. годовой доход компании от этой сделки составит 3,70 млн.руб., а при передаче объекта №3 стоимостью 50 млн.руб. годовой доход составит 12,80 млн.руб. Информация об ожидаемом годовом доходе компании по всем трем объектам при всех возможных вариантах стоимости этих объектов приведена в таблице:

Задача лизинговой компании заключается в том, чтобы определить, какие объекты о на какую сумму следует приобрести, чтобы обеспечить получение максимального суммарного дохода от передачи этих объектов лизингополучателям.

1.                       Построить математическую модель оптимального использования имеющегося капитала на приобретение объектов лизинга и записать ее в форме задачи динамического программирования.

2.                       Найти оптимальное распределение капитала в 70 млн. руб. на приобретение объектов.

3.                       Определить оптимальное распределение капитала в 70 млн.руб. на приобретение объектов лизинга в случае возникновения потребности лизингополучателей в объекте №4, стоимостные характеристики которого приведены в следующей таблице:

Решение.

3.1. Построение математической модели

Под многошаговым процессом в данном случае понимаем процесс распределения капитала в 70 млн. руб. между объектами лизинга. Под k-м шагом понимается выделение некоторой суммы средств на приобретение k-го объекта лизинга, k=1,2,3. Определяем управляющие параметры и параметры состояния:

уравнение u_k на k-м шаге – это размер средств, выделенных на приобретение k-го объекта лизинга, k=1,2,3;

параметры состояния x_k на k-м шаге – это остаток капитала, подлежащий дальнейшему распределению после приобретения k первых объектов лизинга, т.е. х₀ – начальная сумма капитала в 70 млн.руб., х₁ – сумма капитала, которая осталась после приобретения 1-го объекта лизинга, х₂ – сумма капитала, которая осталась после приобретения 1-го и 2-го объектов лизинга и т.д.

Уравнения состояния определяются из содержательного смысла переменных uk, xk:

x₁ =x₀ – u₁,

x₂ =x₀ – u₁ – u₂ =x₁ – u₂,

x₃ =x₀ – u₁ – u₂ – u₃  =x₂ – u₃, т.е.

x_k =F_k(x_k-1 , u_k),

где F_k(x_k-1 , u_k) = x_k-1 - u_k.

Множество допустимых  управлений D_k на k-м шаге определяется из условия x_k³0 для всех k = 0, 1, 2, 3. Показатель эффективности управления на k-м шаге есть величина ожидаемого годового дохода от передачи объектов лизингополучателям, значения которого содержатся в таблице исходных данных. Поскольку доход зависит только от размера капитала, выделенного на приобретение объектов, то показатель эффективности управления fk на k-м шаге имеет вид f_k = f_k(u_k) и не зависит от состояния хk-1. Суммарный показатель эффективности Z равен сумме показателей для всех шагов.

Таким образом, математическая модель оптимального использования капитала на приобретение объектов лизинга примет вид:

Найти неизвестные значения управлений u₁, u₂, u₃, удовлетворяющих ограничениям

x₁ =x₀ – u₁,

x₂ =x₁ – u₂,

x₃ =x₂ – u₃,

x₀ = 70,

0£u_k£x_k-1, k = 1,2,3

и доставляющих максимальное значение целевой функции

Z = f₁(u₁) + f₂(u₂) + f₃(u₃) → max

Значения функций  f₁, f₂, f₃  содержатся в таблице исходных данных условия задачи.

3.2. Нахождение оптимального распределения капитала на приобретение трех объектов лизинга

   Запишем таблицу исходных данных как таблицу значений показателя эффективности управления на всех трех шагах.

Таблица 1

Введем условные  максимумы Z_k*(x_k-1):

                            Z₁*(x₀) =  max  (f₁(u₁) + f₂(u₂) + f₃(u₃))

                                                              ^u1,u2,u3

               Z₂*(x₁) =  max  (f₂(u₂) + f₃(u₃))

                                                                ^u2,u3

Z₃*(x₂) =  max  (f₃(u₃))

                                                                ^u3

 и запишем функциональные уравнения Беллмана

Z_k*(x_k-1) =  max  {f_k(u_k) + Z_k+1*(x_k-1)}, k = 1, 2,

                                           ^0£uk£xk-1

Z₃*(x₂) =  max  f₃(u₃),

                                                              ^0£u3£x2

Поскольку в соответствии с уравнением состояния x_k = x_k-1 - u_k, то уравнения (7) могут быть записаны следующим образом:

Z_k*(x_k-1) =  max  {f_k(u_k) + Z_k+1*(x_k-1-u_k)}, k = 1,2.

                                           ^0£uk£xk-1

Приступаем  к условной оптимизации и находим решение уравнения

Z₃*(x₂) =  max  f₃(u₃),

                                                              ^0£u3£x2

для всех возможных значений х₂.

Содержательный смысл решения этого уравнения заключается в том, что ты находим условное оптимальное управление на 3-м шаге, т.е. оптимальный размер капитала, который будет затрачен на приобретение 3-го объекта лизинга при условии, что на его приобретение осталось х₂ млн.руб. Поскольку нам заранее неизвестно, сколько средств затрачено на приобретение 1-го и 2-го  объектов,  то остаток средств х₂ может принимать любое значение от 0  до 70   млн.руб.

 Значения функции Z₃*(x2) совпадают с f₃(x₂), а  u₃*(x₂) совпадает с х₂, поскольку функция f₃(u) является монотонно возрастающей и, следовательно, на любом отрезке 0≤u≤x₂ достигает своего максимума в его правом конце х₂.

Таким образом,  найдены множества {Z₃*(x₂)} и {u₃*(x₂)} при всех возможных значениях х₂ = 0, 10, 20,…,70.

Переходим к нахождению множеств {Z₂*(x₁)} и {u₂*(x₁)} из уравнения (9) для k = 2:

Z₂*(x₁) =  max  {f₂(u₂) + Z₃*(x₁-u₂)},

                                                  ^0£u2£x1

Заполним две вспомогательные таблицы. Вспомогательная таблица для второго шага условной оптимизации представлена таблицей 2.

В столбце таблицы 2 выделены те значения u3,на которых достигается  max  {f₂(u₂) + Z₃*(x₁-u₂)}, т.е. выделены значения условных оптимальных управлений u₂*(x₁), соответствующих условным максимумам Z₂*(x₁). Найденные значения заносим в итоговую таблицу.

Таблица 2.

Для третьего шага условной оптимизации, т.е. для k = 1, вспомогательная таблица представлена таблицей 3.

Таблица 3.

В столбце «u1», таблицы 3 выделены значения условных управлений u₁*(x₀), соответствующих условным максимумам Z₁*(x₀). Найденные значения u₁*(x₀)  и Z₁*(x₀) заносятся в основную таблицу 4,  которая оказывается полностью заполненной и приведена ниже .На этом заканчивается этап условной оптимизации. Второй этап задачи – безусловная оптимизация.

Таблица 4

По определению максимальное значение показателя эффективности всего процесса есть Z₁*(x₀) для х₀ = 70. Из таблицы 2 находим Z₁(70) = 10,35, а u₁* = u₁*(70) = 0 – оптимальное управление на первом шаге. Так как х₁ = х₀ – u₁, то х₁* = х₀^* – u₁* = 70 – 0 = 70.

Далее по столбцам «х» и «u₂*(x₁)»  таблицы 2 находим u₂* = u₂*(x₁*) =u₂*(70) = 50 – оптимальное управление на втором шаге. Так как х₂ = х₁ – u₂, то х₂* = х₁^* – u₂* = 70 –50 = 20.

Далее по столбцам «х» и «u₂*(x₂)»  таблицы 2 находим u₃* = u₃*(x₂*) =u₃*(20) = 20 – оптимальное управление на втором шаге.

Таким образом, найдено максимальное значение целевой функции Z_max = 10,35 и оптимальные управления на каждом шаге u₁* = 0, u₂* =50, u₃* = 20. Содержательный смысл  найденного решения заключается в том, что на приобретение 1-го объекта лизинга следует выделить 0 млн.руб., 2-го объекта – 50 млн.руб., 3-го объекта – 20 млн.руб., что позволит получить 19,05 млн.руб. годового дохода от передачи приобретенных объектов лизингополучателям.

3.3 Нахождение оптимального распределения капитала на приобретение четырех объектов лизинга.

Решение этой задачи может быть легко получено на основе использования результатов решения предыдущей задачи, если номер шага k, соответствующий определению размера капитала на приобретение 4-го объекта лизинга будет назван «нулевым», а не четвертым. В этом  случае многошаговый процесс распределения капитала будет выглядеть следующим образом:

0-й шаг – определение размер капитала на приобретение 4-го объекта лизинга;

1-й шаг – определение размера капитала для 1-го объекта лизинга;

2-й шаг – для 2-го объекта;

3-й шаг – для 3-го объекта.

Функцию годового дохода от передачи  лизингополучателям 4-го объекта обозначим через f₀(u₀), где u₀ – размер капитала, выделяемый на приобретение 4-го объекта. Начальный размер капитала, обозначаемый ранее через х0, обозначим через х_-1, т.е. х_-1 = 70 млн.руб. Максимальный размер годового дохода лизинговой компании в данной задаче будет равен Z₀*( х_-1), т.к. по определению

Z-₁*(x₀) =  max  (f₀(u₀) + f₁(u₁) + f₂(u₂) + f₃(u₃)).

                                           ^u1,u2,u3

Воспользуемся функциональными уравнениями Беллмана и найденными ранее значениями {Z₁*(x₀)} для нахождения Z₀*(x_-1)

Z₀*(x_-1) =   max  {f₀(u₀) + Z₁*(x_-1-u₀)}= max  {f₀(u₀) + Z*(70-u₀)}=

                                                  ^{0£u0£x-1             0£u0£70}

=max { f₀(0) + Z*(70); f₀(10) + Z₁*(60); f₀(20) + Z₁*(50); f₀(30) + Z₁*(40); f₀(40) + Z₁*(30); f₀(50) + Z₁*(20); f₀(60) + Z₁*(10); f₀(70) + Z₁*(0)}=

=max{0+10.35, 5+9,1, 9,6+8,5, 13,8+7, 17,6+5,4, 21+3,14, 24+1,9, 26,6+0} = 26,6

т.е. Z₀*(x_-1) = Z₀*(70) = 21.4.

При этом максимум достигается при u₀* = u₀*(70) = 30. Тогда х₀* = х_-1* -u₀*= 70-30 =40, следовательно, u₁* = u₁*(x₀*) = u₁*(40) = 0 из табл.4. Далее х₁* = х₀* -u₁*= 40-0 =40, следовательно, u₂* = u₂*(x₁*) = u₂*(40) = 30 из табл.4. Наконец, х₂* = х₁* -u₂*= 40-30 =10, следовательно, u₃* = u₃*(x₁*) = u₃*(10) = 10 из табл.4.

Таким образом,  получено оптимальное распределение капитала в 70 млн. руб. на приобретение четырех объектов лизинга и соответствующее этому распределению максимальное значение годового дохода:

Максимальный доход Z_max(70) = 26,6 млн.руб.

На приобретение 1- го  объекта выделяется 0 млн.руб, 2-го объекта выделяется 0 млн.руб , на приобретение 3-го объекта выделяется 0 млн.руб, 4-го объекта – 70 млн.руб.

Итоговый ответ решения задачи представим в следующем виде

Для трех объектов:

Z_max(70) = 10,35 млн.руб.; U* = (u₁*, u₂*, u₃*) = (0;50;20)

Для четырех объектов:

Z_max(70) = 21,4 млн.руб.; U* = (u₁*, u₂*, u₃*, u₄*) = (0;0;0;70)

Задача 4

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме выполнения приведены в следующей таблице:

         Требуется:

1.                       С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.

2.                       Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

3.                       Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 4 дн. С какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона.

Решение.

3.1. Сетевой график построения работ

Упорядоченный  сетевой график строительства торговой павильона изображен на рис., где рядом с буквой, обозначающей работу, в скобках проставлено число, равное нормальному сроку ее выполнения.

3.2. Оптимальное распределение капитала на 3 объекта лизинга

Обозначим

 Т^кр – критическое время, т.е. наименьшее время выполнения всего комплекса работ.

Т^р_i – раннее время наступления i-й события, т.е. момент времени, раньше которого событие i не может наступить. Рассчитаем Т^р_i для всех событий сетевого графика, т.е. для i= 1,2,…6. Время наступления 1-го события сетевого графика будем считать равным нулю, т.е.    Т^р₁ = 0. Далее последовательно находим Т^р₂,…, Т^р₆.

дн

 дн;

 дн;

день.

дн

Стоимость всех работ

S = 95,4+52+116+72+225+28+21+24+261+90=1015

Критический срок Ткр = 75 дн

Критический путь Р=(V,Q,D).

3.4. Оптимальное распределение капитала на 4 объекта лизинга

Просматривая все полные некритические пути, убеждаемся, что при сокращении срока строительства на 4 дня, т.е. до 71 дня, критическими могут стать пути Р_5,  Р₇  и Р₈.

Сокращение сроков строительства торгового павильона

 Для пятого пути эффективно сократить работу D на 4 дня, тогда длины седьмого и восьмого путей станут 73 и 71 день соответственно. Сокращаем работу А на два дня.  Тогда у графика будут два критических пути:  P₅  и P₇. Путь P₈  не будет критическим, т.к. после сокращения работы D на 4 дня, его длина станет 69,9дней. Дополнительные затраты на сокращение времени:

4(дня) ´ 7,2(млн.руб./день) + 2(дня) ´ 6,3(млн.руб./день) = 41,4(млн.руб.)

Критическое время станет равным

Ткр = 75 – 4 = 71 (день).

Новая стоимость работ будет равной

S = 1015 +41.4=1057 (млн.руб.).

Критические пути (V,Q,D), (E, A).

Задача 5

Имеются данные по 15 субъектам Российской Федерации за январь-март 2001 года о денежных доходах и потребительских расходах на душу населения в среднем за месяц, которые приведены в  таблице:

На основе имеющихся данных требуется:

1. Построить поле рассеяния наблюдаемых значений показателей и на основе его визуального наблюдения выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости потребительских расходов у от денежных доходов х; записать эту гипотезу в виде математической модели.

2. Используя метод наименьших квадратов найти точечные оценки неизвестных параметров модели, записать найденное уравнение регрессии и построить график функции регрессии.

3. Найти коэффициент парной корреляции между денежными доходами и потребительскими расходами; проверить значимость найденного коэффициента корреляции. Найти коэффициент детерминации.

4. Проверить с помощью критерия Фишера значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости).

5. Найти точечный и интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ увеличится на 30%.

6. Привести содержательную интерпретацию полученных результатов.

Решение.

5.1. Построение математической модели. Оценка неизвестных параметров методом наименьших квадратов

Полем рассеяния называется множество точек на плоскости, координаты которых соответствуют наблюдаемым значениям исследуемых показателей. В нашем примере х_i – среднедушевые денежные доходы, y_i – среднедушевые потребительские расходы в i-м субъекте РФ, i = 1,…,15. Таким образом, поле рассеяния состоит из 15-ти точек с координатами (x_i,y_i), которые показаны на рис.

Визуальный анализ поля рассеяния позволяет выдвинуть гипотезу о линейной зависимости  потребительских расходов у от денежных доходов х и записать эту зависимость в виде линейной модели

у = α + βх + u,

где α, β - неизвестные постоянные коэффициенты, а u – случайная величина, характеризующая  отклонения реальных значений потребительских расходов от их теоретических значений α + βх. Случайная величина u называется случайным отклонением  или случайным возмущением модели. Ее включение в модель призвано отразить:

а) влияние не учтенных в модели факторов, влияющих на размер потребительских расходов;

б) элемент случайности и непредсказуемости человеческих реакций;

в) ошибки наблюдений и измерений.

5.2. Точечные оценки параметров модели

После формулировки математической модели основная задача состоит в получении оценок неизвестных параметров  α и β по результатам наблюдений над переменными х и у, т.е. задача состоит в получении так называемого уравнения регрессии

у = a + bх,                                                                                             являющегося некоторой реализацией модели, в котором коэффициенты а и b есть оценки неизвестных параметров α и β соответственно. Решение задачи нахождения оценок а и b основывается на применении метода наименьших квадратов (сокращенно  - МНК), суть которой в следующем.

Нахождение оценок а и b неизвестных параметров α и β сводится к следующей экстремальной задаче функции двух переменных  F(a,b):

F(a,b)/Σ(y_i – a - bx_i)² → min,

Которая в свою очередь сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и b:

 an + bΣx_i = Σy_i,

aΣx_i + bΣx_i² = Σx_iy_i.

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:

      Σy_i×Σx_i² – Σx_iy_i×Σx_i                nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i           

a = —————————,      b = ——————— .

          nΣx_i² – (Σx_i)²                          nΣx_i² – (Σx_i)²    

Обозначим через  х_ср = 1/n Σх_i, у_ср = 1/n Σу_i  выборочные средние наблюдаемых значений  переменных х и у. Таким образом, оценки а и b можно искать по следующим формулам:

       nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i            

b = ——————— ,         а = у_ср - bх_ср.                                                       (2)

        nΣx_i² – (Σx_i)²

Для удобства вычисления оценок искомых коэффициентов модели составляется табл.1, в которой столбцы    «у», «у - у», «(у - у)²» заполняются после нахождения уравнения регрессии.

Табл.1

Воспользуемся формулами (2) и значениями последней строки табл.1 для нахождения оценок а и b. Тогда

х_ср = Σх_i/15 =28,87/15 = 1,92 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых доходов;

у_ср = Σу_i/15 = 20,95/15 = 1,4 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых потребительских расходов.

Применяя формулы вычисления, находим значения коэффициентов уравнения линейной регрессии:

 b = 0,6063

 а = у_ср – bx_cp =  0,2297

Таким образом, искомое уравнение регрессии примет вид

ŷ = 0,2297 + 0,6063х

Найденное уравнение регрессии есть уравнение прямой, которая изображена на рис.

5.3. Нахождение коэффициентов корреляции и детерминации

Мерой зависимости между переменными х и у может служить выборочный коэффициент парной корреляции, который обозначается через r_xy  и определяется по формуле:

                      nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i

r_xy = ——————¾¾¾¾——¾— ,

          √nΣx_i² – (Σx_i)²    √ nΣу_i² – (Σу_i)²    

Подставляя соответствующие значения из последней строки табл.1, получаем

r_xy = 0.80494,  r_xy > 0 и близко к 1, следовательно, связъ сильная положительная, т.е. при увеличении доходов,  расходы растут.

Для того, чтобы с большей уверенностью делать вывод о наличии или отсутствии линейной взаимосвязи между переменными х и у, разработан критерий проверки того, существенно ли отличие коэффициента корреляции от нуля или, другими словами, значимо ли значение коэффициента корреляции. Если в результате проверки выясняется, что коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, то, несмотря даже на не очень близкое значение коэффициента к единице, делается вывод о наличии линейной взаимосвязи между переменными х и у. Если же подтверждается несущественное отличие r_xy  от нуля, то, не смотря на возможно достаточно большое значение коэффициента, делается вывод об отсутствии линейной взаимосвязи между переменными.

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме:                                                                                                                            .               

              │ r_xy  √ n-2    │

 если      │ ¾¾¾¾   │ > t_1-α/2,n-2 ,    

                    √1 – r_xy²

то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t_1-α/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента, α -  уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение α задается исследователем зависимости между х и у. Примем α = 0,05, тогда t_1-α/2,n-2 = t_0,9763 = 2,1604  

                                                                                                              .                              

   r_xy √ n-2      0,848´√15-2

              ¾¾¾¾   = ¾¾¾¾¾    = 5,77  >  t_0,9763

    √1 – r_xy²        √1- 0,848²

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у. Т.е.  если мы будем проводить многократное повторение эксперимента по исследованию зависимости между доходами и расходами, всякий раз выбирая различные группы из 15 субъектов РФ, то в 95% этих экспериментов будет обнаружена тесная линейная зависимость между х и у, т.е. в  95% случаев коэффициент корреляции r_xy будет существенно отличатся от нуля.

Определим коэффициент детерминации по формуле:

        S(ŷ_i - y_cp)²                                 S(y_i - ŷ_i)²   

R² = ¾¾¾¾¾   или     R² = 1 - ¾¾¾¾¾ .

        S(у_i - у_ср)²                                 S(y_i - y_cp)²   

где у_ср – выборочное среднее y_i – выборочные значения зависимой переменной, ŷ_i – значения зависимой переменной, вычисленные по уравнению регрессии ŷ_i = a +bx.

Очевидно, что 0£ R² £ 1. Значение R²  характеризует ту долю дисперсии переменной у, которая обуславливается уравнением регрессии ŷ_i = a +bx. Таким образом,  чем ближе значение R² к единице, тем точнее уравнение регрессии отражает имеющуюся зависимость между переменными.

Из последней строки табл. Получаем S(ŷ_i - y_cp)² = 0,5676.

Знаменатель в формуле для R² перепишем в виде

S(y_i - y_cp)²  = Sy_i² – ny_cp² = 31,28 - 15´1.4² = 1,88,

                         0.5676

тогда R² = 1 - ¾¾¾ = 0.6479

                         1,88

Так как R² достаточно близок  к единице, то уравнение регрессии достаточно точно отражает истинную зависимость между доходами и расходами.

5.4 Проверка значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера

Рассмотрим найденное уравнение ŷ = 0,2297 + 0,6063х и проверим его значимость.

1.         Определим общую вариацию Q = S(y_i - y_cp)²  = Sy_i² – ny_cp² = 31,2825 - 15´1.4² = 1,88.

2.         Определим остаточную вариацию Q₂ = S(ŷ_i - y_cp)² = 0,568

3.         Определим объясненную вариацию Q₁ = S(y_i - y_cp)² = Q – Q₂ = 1,88 – 0.568  = 1,312.

4. Определим отношение                         

                  Q₁                  1,312

F_факт. = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾ = 30,028.

                Q₂/(n-2)       0.568/(15-2)

1.         Зададим уровень значимости α =0,01 по таблице находим квантиль распределения Фишера F_0,05;1;13 = 4,67, где 1 – число степеней свободы.

2.                       F_факт. > F_0,05;1;13, т.к. 30,028 > 4.67.

Следовательно,  делается вывод о значимости уравнения регрессии при     α = 5% - м уровне значимости.

5.5  Нахождение точечных и интервальных прогнозов

Точечным прогнозом значения зависимой переменной у, соответствующего некоторому значению независимой переменной х = х₀, называется значение ŷ₀, получаемое путем подстановки в уравнение регрессии х = х₀, т.е.

ŷ₀ = ŷ(х₀)= a + bx₀ – точечный прогноз.

Найдем точечный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ в будущем периоде, что среденемесячные денежные доходы в этом субъекте  увеличатся на 30%, т.е.

х₀ = х₁₀ + 0,3´х₁₀   = 1,3´х₁₀ = 1,3´1,99,9= 2,887

ŷ₀ = 0,2297 + 0,6063´2,887 = 1,7982 (тыс.руб.).

Таким образом, если среднемесячные денежные доходы в 10-м субъекте РФ увеличатся на 30%, то  потребительские расходы в этом субъекте составят 1,7982 тыс.руб.

Интервальным прогнозом зависимой переменной у, соответствующим некоторому значению независимой переменной х = х₀, называется доверительный интервал, границы которого находятся по формуле: ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,

где у_в, у_н – соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала;

ŷ(х₀) – точечный прогноз;

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;

              /   1       (x₀ – x_cp)                                 S(ŷ_i - y_i)²                                    

S_ŷ  = S √  ¾  + ¾¾¾¾¾ ,    S = √S² , S² = ¾¾¾¾,

                n        S(x_i – x_cp)²                                   n-2     

Доверительный интервал – это такой интервал, в котором с заданной вероятностью будет находиться прогнозируемое значение зависимой переменной у.

Найдем интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-м субъекте РФ в будущем периоде предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте  РФ увеличатся на 30%.

Ранее вычислено ожидаемое значение денежных доходов х₀ = 2,887 тыс.руб.

Пусть α = 0,05, тогда 1-α = 0,95;   t_1-α/2,n-2 = t_0,9763 = 2,1604;

         S(ŷ_i - y_i)²      0,568                                                                                                                                      ^.            

S² = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = 0,044;  S = √ 0.052 = 0.209

           n – 2            13

(х₀ - х_ср)² = (2,887 – 1,97)² =   0,381

S(x_i - x_cp)² = Sх_i² – n(x_cp)² = 62,88 - 15´1.97² = 4,3665.

               _______________                   ____________

              /   1       (x₀ – x_cp)²                    / 1         0,381

S_ŷ  = S √  ¾  + ¾¾¾¾¾  = 0.209,9√ ¾  + ¾¾¾¾  = 0,082

                n        S(x_i – x_cp)²                    15        4,3665 

Следовательно, ŷ_н = 1,7982  – 0,082 = 1,7162.руб.)

ŷ_в  =  1,7982+0,082 = 1,8802 (тыс.руб.)                   

Это означает , что при увеличении среднедушевых среднемесячных денежных доходов на 30%, т.е. с 1,99,9тыс.руб. до 2,887 тыс.руб., размер среднедушевых среднемесячных потребительских расходов  с вероятностью 0,95 будет колебаться в пределах от 1,7162 тыс.руб. до 1,8802 тыс.руб.

5.6 Содержательная интерпретация полученных результатов

Рассмотрим найденное уравнение регрессии ŷ = 0,2297 + 0,6063х.

Коэффициент а = 0,2297 не имеет экономического смысла, поскольку формально соответствует размеру потребительских расходов при нулевом уровне денежных доходов. Коэффициент b = 0,6063  определяет прирост потребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов.

Содержательная интерпретация всех остальных понятий и формул, использованных в данной задаче была приведена по ходу решения.

В заключение впишем итоговые результаты.

1.         у = α + βх + u – математическая модель зависимости потребительских расходов от денежных доходов.

2.         ŷ = 0,2297 + 0,6063х – уравнение регрессии, количественно выражающее зависимость расходов от доходов.

3.         r_xy = 0.80494 – коэффициент корреляции между х и у, его значение свидетельствует о достаточно тесной линейной зависимости расходов и доходов.

4.         R² =0.6479,9– коэффициент детерминации, близость его к единице показывает, что уравнение регрессии достаточно точно отражает имеющуюся зависимость между расходами и доходами.

5.         F_факт. = 30,028 – значение критерия Фишера для найденного уравнения регрессии; F_факт. > F_0,05, что подтверждает значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости)  при 5% уровне значимости.

6. ŷ₀ (х₀) = 1,96  (тыс.руб.) – точечный прогноз;

ŷ_н  = 1,7162 (тыс.руб.)

ŷ_в = 1,8802 (тыс.руб.)  - интервальный прогноз  с 95% доверительной вероятностью.