Контрольная работа № 5

Задача 1.

Найти общее решение дифференциального уравнения xy’–y=x³sinx и его частное решение, определенное начальными данными y(π/2)=0.

Решение.

xy’–y=x³sinx

Найдем решение однородного уравнения.

xy’–y=0

lny=lnx+C

y=Cx

Решение исходного уравнения найдем методом вариации постоянной.

C=C(x)

y' = C+C’x

x(C+C’x)–Cx=x³sinx

Cx+C’x²–Cx=x³sinx

C’x² =x³sinx

C’ =xsinx

C = = = –xcosx + = –xcosx + sinx +C₁

y = Cx = –x²cosx + xsinx + xC₁

Найдем частное решение, определяемое начальными условиями.

y(π/2)=0

y(π/2) = –(π/2)²cos(π/2) + (π/2)sin(π/2) + (π/2)C₁ = π/2+(π/2)C₁ = 0

C₁ = –1

Получаем частное решение: y = –x²cosx + xsinx – x

Задача 2.

Найти общее решение дифференциального уравнения yy’’–y’²=yy’, и его частное решение, определенное начальными данными y(0)=1; y’(0)=1.

Решение.

Обозначим y' = p(y)

Тогда y”=pp’

Получим следующее:

ypp’ – p² = yp

yp’ – p = y

Найдем решение однородного уравнения.

yp’ – p = 0

lnp=lny+C

p=Cy

Решение уравнения yp’ – p = y найдем методом вариации постоянной.

C=C(y)

p' = C+C’y

y(C+C’y)–Cy=y

Cy+C’y²–Cy=y

C’y² =y

C = lny + C₁

p = Cy = ylny + C₁y

y’ = ylny + C₁y

ln(lny + C₁) = x+C₂

lny + C₁ = C₂e^x

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

y(0) = 1

y’(0) = 1

C₂ = 1

C₁ = e^–1

Получили частное решение:

Задача 3.

Найти общее решение дифференциального уравнения y’’+2y’–3y=e^x, и его частное решение, определенное начальными данными y(0)=0, y’(0)=2.

Решение

Найдем общее решение однородного уравнения.

Характеристическое уравнение.

k²+2k–3=0

k_1,2=–1,3

y(общее однородное)=c₁e^–^x+c₂e³^x

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

y = (Ax²+Bx+C)xe^x = (Ax³+Bx²+Cx)e^x.

y’ = (Ax³+Bx²+Cx)e^x + (3Ax²+2Bx+C)e^x = (Ax³+(B+3A)x²+(2B+C)x+C)e^x

y” = (Ax³+(B+3A)x²+(2B+C)x+C)e^x + (3Ax²+(2B+6A)x+(2B+C))e^x = (Ax³+(B+6A)x²+(6A+4B+C)x+2B+2C)e^x

y’’+2y’–3y = Ax³+Bx²+Cx + 2(Ax³+(B+3A)x²+(2B+C)x+C) – 3(Ax³+(B+6A)x²+(6A+4B+C)x+2B+2C) e^x = ((3B+9A)x²+(6A+6B+4C)x+2B+3C) e^x = e^x

Приравнивая множители при степенях х, получим систему уравнений

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y(частное неоднородное)= y = ((1/3)x³–x²+x)e^x

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

y=c₁e^–4x+c₂e^2x+((1/3)x³–x²+x)e^x

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

y' = –4c₁e^–4x+2c₂e^2x+((1/3)x³–x²+x+x²–2x+1)e^x = –4c₁e^–4x+2c₂e^2x+((1/3)x³–x+1)e^x

y(0) = c₁+c₂

y’(0) = –4c₁+2c₂+1

Получаем систему уравнений:

Получаем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

y=(–1/6)e^–4x+(1/6)e^2x+((1/3)x³–x²+x)e^x

Задача 4.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Найдем общее решение однородного уравнения.

y"+ Решение.

Найдем общее решение однородного уравнения.

y"+10y’+25y=0

Характеристическое уравнение.

k²+4k+25=0

k=–5, корень кратности 2.

Общее решение однородного уравнения

y_оо=(c₁+c₂x)e^–5^x

y₁=e^–5x y₂=xe^–5x

y₁’=–5e^–5x y₂’= e^–5x –5xe^–5x

Применяя метод вариации постоянной, получим:

c₁’ e^–5x +c₂’x e^–5x =0

–c₁’5 e^–5x +c₂’(e^–5x–5x e^–5x)=

Умножив первое уравнение на (–5) и вычтя из второго, получим:

= = –2x^–3+C₀₂ =

c₁’ e^–5x +c₂’x e^–5x =0

= = 3x^–3+C₀₁ =

Получаем общее решение дифференциального уравнения:

= =

Задача 5.

Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, определенными матрицей при начальных условиях неизвестных, определенных столбцом значений в нулевой начальный момент времени.