Вариант №120

 Номер варианта V – три последних цифры шифра.

Задача 1 (расслоенная выборка).

В таблице содержатся данные о числе Y жителей N=40 городов страны. Города разделены на два слоя: в первом слое – 10 наиболее крупных, во втором – все остальные города. С помощью таблицы случайных чисел сформировать следующие выборки, состоящие из n=16 городов:

1.     расслоенную с пропорциональным размещением;

2.     расслоенную содержащую одинаковое число единиц каждого слоя;

3.     простую (нерасслоенную) случайную выборку.

Найти по каждой из этих выборок:

а) оценку среднего числа жителей всех 40 городов;

б) среднюю ошибку и 95% доверительный интервал для этой оценки;

в) оценку суммарного числа жителей всех 40 городов;

г) среднюю ошибку и 95% доверительный интервал для этой оценки;

Найти истинное значение среднего и суммарного значения по всем 40 городам. Какая выборка дала более точные результаты?

Слой 1.

Слой 2.

Т.к. V=120, то таблица примет вид:

Слой 1.

Слой 2.

1.     Расслоенная выборка с пропорциональным размещением.

т.к. в первом слое N₁ =10, во втором N₂=30,а всего выборка n=16, то пропорциональной будет выборка n₁=4 из первого слоя и n₂=12 из второго.

Слой 1.

Слой 2.

а) Оценка среднего числа жителей всех 40 городов (N) вычисляется по формуле:

      cpy_st=(1/N)*∑N_L*cpy_L,

где N_L–число единиц в L-ом слое совокупности, cpy_l – выборочное среднее значение числа жителей для слоя L.

      cpy₁=2398/4=599,500

    cpy₂=3382/12=281,83

cpy_st=(1/40)*(10*599,5+30*281,83)=361,250

б)

 Средняя ошибка σ_y:

    σ_y=√σ_y²,

   где σ_y² – несмещенная оценка дисперсии величины cpy_st равна:

    σ_y²=(1/N)*∑ N_L(N_L-n_L)*σ_L²/ n_L,

где выборочная дисперсия σ_L² каждого слоя L равна:

   σ_L²=(1/n_L-1)*∑(yⁱ_L- cpy_L)²,

n_L-число единиц в L-ом слое выборки.

    σ₁²=1/3*32329=10776,33

    σ₂²=1/11*33349=3031,73

Значит:

    σ_y²=1/40*(10*(10-4)*10776,33/4+30*(30-12)*3031,73/12)=7451,82

    σ_y=86,32

Доверительный интервал (95%-ый):

σ_y-∆<σ_y <σ_y+∆

t=2

∆=t (σ_y²/n*(1-n/N))^1/2=2*(7451,82/16(1-16/40))^1/2=33,43

52,89< σ_y<119,75

в) Оценка суммарного числа жителей всех 40 городов:

∑y_st=∑N_L*cpy_L  ,   

cpy₁ и cpy₂ из пункта а).

y_st =10*599,5+30*281,83=14449,9

г) Средняя ошибка σ_y:

    σ_y=√σ_y²,

   где σ_y² – несмещенная оценка дисперсии величины ∑y_st равна:

    σ_y²=∑ N_L(N_L-n_L)*σ_L²/ n_L,

величины σ₁² и σ₂² из пункта б)

    σ_y²= (10*6*10776,33/4+30*18*3031,73/12)= 298072,8

    σ_y=545,96

Доверительный интервал (95%-ый):

σ_y-∆<σ_y <σ_y+∆

t=2

∆=t (σ_y²/n*(1-n/N))^1/2=2*(298072,8/16*(1-16/40))^1/2=211,45

334,51< σ_y<757,41

2.     Расслоенная выборка содержащая одинаковое число единиц каждого слоя.

Т.к. вся выборка состоит из n=16 городов, то из каждого слоя выберем по n₁=n₂=8 городов:

Слой 1.

Слой 2.

а) Оценка среднего числа жителей всех 40 городов (N) вычисляется по формуле:

      cpy_st=(1/N)*∑N_L*cpy_L,

где N_L–число единиц в L-ом слое совокупности, cpy_l – выборочное среднее значение числа жителей для слоя L.

      cpy₁=4885/8=610,625

    cpy₂=2283/8=285,375

cpy_st=(1/40)*(10*610,625+30*285,375)=366,69

)

Аналогично пункту 1. рассчитаем σ_y² ( несмещенная оценка дисперсии величины cpy_st ) и среднюю ошибку σ_y:

    σ₁²=(1/n₁-1)*∑(yⁱ₁- cpy₁)2=1/7*187389,875=26769,98

    σ₂²=(1/n₂-1)*∑(yⁱ₂- cpy₂)²=1/7*13379,875=1911,41

    σ_y²=∑ N_L(N_L-n_L)*σ_L²/ n_L=1/40*(10*2*26769,98/8+30*22*1911,41/8)=5615,41

    σ_y=√σ_y² =74,94

Доверительный интервал (95%-ый):

σ_y-∆<σ_y <σ_y+∆

t=2

∆=t (σ_y²/n*(1-n/N))^1/2=2*(5615,41/16(1-16/40))^1/2=29,02

45,92< σ_y<103,96

в) Оценка суммарного числа жителей всех 40 городов:

∑y_st=∑N_L*cpy_L  ,   

cpy₁ и cpy₂ из пункта а).

y_st =10*610,625+30*285,375=14667,5

г)Средняя ошибка σ_y:

    σ_y=√σ_y²,

   где σ_y² – несмещенная оценка дисперсии величины ∑y_st равна:

    σ_y²=∑ N_L(N_L-n_L)*σ_L²/ n_L,

  величины σ₁² и σ₂² из пункта б)

    σ_y²= 10*2*26769,98/8+30*22*1911,41/8=224616,4

    σ_y=473,94

Доверительный интервал (95%-ый):

σ_y-∆<σ_y <σ_y+∆

t=2

∆=t (σ_y²/n*(1-n/N))^1/2=2*(224616,4/16*(1-16/40))^1/2=184,72

289,22< σ_y<658,66

3.     Простая (нерасслоенная) случайную выборка.

Выбираем города из общей совокупности в N=40.

а) Оценка среднего числа жителей всех 40 городов (N) совпадает с выборочной средней значения числа жителей:

      cpy_st=cpy

  cpy=5473/16=342,063

 cpy_st= cpy=342,063

б)

Средняя ошибка σ_y:

    σ_y=√σ_y²,

   где σ_y² – несмещенная оценка дисперсии величины cpy_st равна:

    σ_y²=(N-n)*σ²/ n,

   где выборочная дисперсия σ² равна:

   σ²=(1/n-1)*∑(yⁱ- cpy)²=1/15*506694,938=33779,66

Значит:

    σ_y²=(40-16)* 33779,66/16=50669,49

    σ_y=225,10

Доверительный интервал (95%-ый):

σ_y-∆<σ_y <σ_y+∆

t=2

∆=t (σ_y²/n*(1-n/N))^1/2=2*(33779,66/16(1-16/40))^1/2=87,18

137,92< σ_y<312,28

в) Оценка суммарного числа жителей всех 40 городов:

      ∑y_st=N*cpy=40*5473/16=13682,52

г)

Средняя ошибка σ_y:

    σ_y=√σ_y²,

   где σ_y² – несмещенная оценка дисперсии величины ∑y_st равна:

    σ_y²=N(N-n)*σ²/ n,

   где величина выборочной дисперсии σ² из п. б)

Значит:

    σ_y²=40*(40-16)* 33779,66/16=2026779,75

    σ_y=1423,65

Доверительный интервал (95%-ый):

σ_y-∆<σ_y <σ_y+∆

t=2

∆=t (σ_y²/n*(1-n/N))^1/2=2*(2026779,75/16(1-16/40))^1/2=551,38

872,27< σ_y<1975,03

Истинное значение средней численности городов:

    cpy=(1/N)*∑yⁱ_L=1/40*(5913+8572)=362,125 тыс. жит.

   т.к. ∑yⁱ₁=5913 и  ∑yⁱ₂=8572

Истинное значение суммарного числа жителей всех 40 городов:

   ∑y=5913+8572=14485 тыс. жит.

Обобщим расчеты:

1.     cpy_st=361,25

     ∑y_st=14449,9

2.     cpy_st=366,69

     ∑y_st=14667,5

3.     cpy_st=342,06

     ∑y_st=13682,52

Таким образом, расслоенная выборка с пропорциональным размещением (п.1) дала самые точные результаты.