Необходимо решить транспортную задачу – минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам  со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной ед. продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе.

Тарифы на перевозку единицы продукции, объемы запасов продукции на складах, а также объемы заказанной продукции представлены в таблице.

Экономико-математическая модель

Данная задача является открытой, так как мощность складов равная 145 ед. больше потребности клиентов равной 90 ед. на 55 ед.. Преобразуем ее в закрытую добавив дополнительный магазин. x_ij характеризует объем поставки от  i-го склада к j-му клиенту.

F = с_ijx_ij ®min

x_ij = a_i,

x_ij = b_{j ,}

x_ij ≥ 0, целое

Конкретно для данной задачи:

F = х₁₁ + 2х₁₃ + 2,5х₁₄ + 3х₂₁ +2,5х₂₂ + 1,4х₂₃ + 2х₂₄ + 2х₃₁ + х₃₂ + 4х₃₃ + 3х₃₄ + 1,7х₄₁ + 3х₄₂ + 3,5х₄₃ + 0,5х₄₄ ®min

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ + х₁₅ = 25

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ + х₂₄ + х₂₅ = 30

х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ + х₃₄ + х₃₅ = 40

х₄₁ + х₄₂ + х₄₃ + х₄₄ + х₄₅ = 50

                                            х₁₁ + х₂₁ + х₃₁ + х₄₁ = 20                    

х₁₂ + х₂₂ + х₃₂ + х₄₂ = 15

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ + х₄₃ = 25

х₁₄ + х₂₄ + х₃₄ + х₄₄ = 30

х₁₅ + х₂₅ + х₃₅ + х₄₅ = 25

x_ij ≥ 0, целое

Решение

1. Ввод исходных данных в ячейки

2. Создание матрицы перевозок. Для этого выполним резервирование места (в блок ячеек С13:G16), где будет после решения задачи находится план перевозок обеспечивающих минимальные транспортные затраты. Чтобы преобразовать данную открытую задачу в закрытую транспортную задачу необходимо добавить магазин.

3. Ввод ограничений условий.

Условие реализации мощности склада:   a_i =  x_ij 

где a_j – мощность i-го склада;                                                  

n  – количество клиентов;

Конкретно для данной задачи:

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ + х₁₅ = 25

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ + х₂₄ + х₂₅ = 30

х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ + х₃₄ + х₃₅ = 40

х₄₁ + х₄₂ + х₄₃ + х₄₄ + х₄₅ = 50

х₄₁ + х₄₂ + х₄₃ + х₄₄ + х₄₅ = 40

Так как заказов от потребителей больше чем запасов на складе.

Для этого:

- курсор в ячейку H13;

- используем функцию СУММ(C13:G13)

Аналогичные действия для ячеек H14 – H16.

Условие реализации потребности клиентов: b_j =  x_ij 

где b_j – мощность  потребности j-го клиента.

m – количество складов.

Конкретно для данной задачи:

х₁₁ + х₂₁ + х₃₁ + х₄₁ = 20

х₁₂ + х₂₂ + х₃₂ + х₄₂ = 15

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ + х₄₃ = 25

х₁₄ + х₂₄ + х₃₄ + х₄₄ = 30

х₁₅ + х₂₅ + х₃₅ + х₄₅ = 25

Для этого:

- курсор в ячейку С17;

- используем функцию СУММ(C13:C16)

Аналогичные действия для ячеек D17 – G17.

15.           Назначение целевой функции.

Суммарные транспортные затраты составят:  F = с_ijx_ij ®min

где с_ij – транспортные расходы доставки единицы груза j-му клиенту  из  i-ый склад.

F = х₁₁ + 2х₁₃ + 2,5х₁₄ + 3х₂₁ +2,5х₂₂ + 1,4х₂₃ + 2х₂₄ + 2х₃₁ + х₃₂ + 4х₃₃ + 3х₃₄ + 1,7х₄₁ + 3х₄₂ + 3,5х₄₃ + 0,5х₄₄ ®min

В задаче целевая функция представляет собой сумму произведения удельных транспортных расходов (C4:G7) и количества перевозок (C13:G16). Для этого:

- курсор в ячейку С19;

- используем функцию СУММПРОИЗВ(C4:G7;C13:G16)

16.                       Ввод зависимостей из математической модели

- адрес целевой ячейки $С$19, направление изменение целевой функции – минимизация;

- адреса изменяемых ячеек C13:G16;

- ввод ограничении:

C13:G16= целое – так как количественное значение перевозок целочисленное;

 $C$8:$H$8=$С$17: $H$17 и  $I$4:$I$7= $I$13:$I$16– из условия модели.

17.                       Ввод ограничений.

-         Щелкнуть Параметры;

-         Установит Неотрицательные значения, так как количество перевозок не может быть отрицательно величиной;

-         ОК;

-         Нажать выполнить.

18.                       Просмотр результатов и печать отчета

Вывод: транспортные издержки будут минимальны и составят 81,5 ден.ед. при следующем плане перевозок продукции:

Отчет по результатам

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

1.     Проверить наличие аномальных наблюдений.

2.     Построить линейную модель y=a₀+a₁t, определив ее параметры на основе метода наименьших квадратов.

3.      Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании RS-критерия взять табулирование таблицы  2,7-3,7).

4.      Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации

5.      По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие 2 недели (Р=70%)

6.     Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение с помощью «Пакет анализа» MS EXCEL

1.     Аномальные явления отсутствуют

2.     Проверка наличия тренда

Применение инструмента Регрессия (Анализ данных в EXCEL).

Для проведения регрессионного анализа выполните следу­ющие действия:

1.    Выберем команду Сервис => Анализ данных.

2.    В диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент Регрессия, а затем щелкним на кнопке ОК.

3.    В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим адрес одного диапазона ячеек, который представ­ляет зависимую переменную. В поле Входной интервал t вводим адреса диапазонов, которые содержат значения независимых переменных .

4.    Установите фла­жок Метки в первой строке.

5.   Выберите параметры вывода новый рабочий лист

6.    В поле Остатки поставим необходимые флажки.

7.    ОК.

Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффици­ентов уравнения регрессии приведены в столб­це «t-статистика» таблице протокола EXCEL- Пакета анализа «РЕГРЕССИЯ». Табличное значение t-крите­рия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.

Определение табличного значения t-критерия Стьюдента

Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимос­ти и степенях свободы (9 -1 -1 = 7) составляет 2,36. Так как |t_расп|>t_табл то коэффициенты а₀, а и а₁ уравнения значимы, то есть гипотеза о наличии тренда принимается.

Значения коэффици­ентов уравнения регрессии приведены в столб­це «Коэффициенты» таблице протокола EXCEL- Пакета анализа «РЕГРЕССИЯ». Линейное уравнение принимает вид: y=40,8+2,58t

3 Оценим адекватность полученной модели.

а) проверка гипотезы о случайности отклонений остаточной компоненты.

График остатков

Расчетное значение критерия пиков равно:

Из графика остатков видно, что количество поворотных точек равно 4, что больше 2 - критического числа поворотных точек. Модель по этому критерию адекватна. Тренд существует

б) проверка гипотезы о независимости уровней ряда остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона. Данные возьмем из таблицы Дисперсионный анализ таблице протокола EXCEL- Пакета анализа «РЕГРЕССИЯ».

4 - 2,77= 1,23 – автокорреляция отсутствует

в) проверка гипотезы о нормальности закона распределения уровней остаточной компоненты на основе RS критерия.

Среднеквадратическое отклонение: Sе =   =  = 1,67

.

Т.к. расчетное значение входит в заданные границы [2,7,  3,7] то гипотеза принимается.

г) проверка гипотезы о близости к нулю математического ожидания остатков.

Легко из представленной в п. а) таблицы убедится, что математическое ожидание ряда остатков равно нулю, т.е. |е_ср| = 0. Модель по этому критерию адекватна.

На основании четырех рассмотренных гипотез нельзя сделать однозначный сделать вывод об адекватности построенной модели исходному временному ряду.

4 Построим точечный и интервальный прогноз.

а) точечное прогнозирование.

у(10)= 40,9+2,6*10=66,7

у(11)= 40,9+2,6*11 =69,3

б) интервальный прогноз. Расчет доверительного интервала

Кр= 1,05 - табличное значение t-статистики Стьюдента. Соответствует 70% процентному пропаданию

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза: Yр(N+l)+ U(1)

Нижняя граница прогноза: Yр(N+l)- U(1)

Интервальный прогноз:

2. Решение с помощью Мастер диаграмм

Выберем приложение Мастер диаграмм

1)    Сгладить временной ряд методом простой скользящей средней.

Отобразим на графике рассчитанные значение простой скользящей средней аналогично предыдущему построению

2)    Определить наличие тренда:

Определим тип тренда - линейный

Построенный тренд практически полностью совпадает с фактическими значениями временного ряда

3) Построить линейную модель y=a₀+a₁t;

В параметрах тренда укажем пункты: показать уравнение и достоверность аппроксимации

Таким образом, линейное уравнение принимает вид: y=25,7+2,6

4)                R² =0,944 говорит о том, что 94,4% значений ряда объясняется анализируемым фактором.

5)    Построим прогноз на 2 шага вперед

В параметрах тренда поставим значение прогноза вперед на 2 единицы

Прогнозные значения

3. Решение с помощью СтатЭксперта

1.     Для начала создадим файл исходных данных:

·        Инсталируем среду Ecxel;

·        Введем значения уровней нашего временного ряда на Листе1 в виде таблице;

·        Заполним данные под своей фамилией.

2.     Инсталлировать программу «СтатЭксперт».

·        Кл. «Пуск» «Программы»  «Олимп»  «СтатЭксперт»;

·         «Включить макросы»  «Начало работы»  «ОК»

3.     Включить режим работы программы:

·        Активизировать файл исходных данных;

·        Включить цифровые данные файла;

·        «СтатЭкс»   «Временные ряды»

ПРЕДВАНИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

1.     Окно «Установка блока данных» (рис.1)

·        Ориентация таблицы: флажок в окно «по строкам»;

·        Наличие наименований: убрать флажки во всех окнах  Кл. «Утановить».

Рисунок 1.

2.     Окно «Обработка временного ряда» (рис. 2.)

·        Этапы обработки: флажок в окно «Предварительный анализ»  Кл. вычислить.

Рисунок 2.

3.     Окно «Предварительный анализ данных» (рис.3)

·        Выключить флажок в строке «Предварительный анализ» Кл. Вычислить.

·        При обнаружение аномальных данных в вашем ряду нажать клавишу «Да».

4.     Полученный отчет перенести в файл, сформированный в среде WORD (табл. 2,3):

·        Цвет заливки «Белый»

·        Цвет шрифта «Черный»

·        Копировать файл в среду WORD.

Таблица 2

Таблица 3

Для статистического анализа одномерных временных рядов экономических показателей вида у₁, у₂, …у_n  абсолютные уровни моментных и интервальных рядов, а также уровни из средних величин должны быть преобразованы в относительные величины. Их можно получить соотнесением уровней ряда с одним и тем же уровнем, взятым за базу сравнения – базисные показатели, либо последовательными сопоставлениями с предыдущим уровнем – цепные показатели.

Абсолютный прирост (Δу_i) – это разность между последующим уровнем ряда  и предыдущим (или базисным).

Абсолютный прирост:

Δу_i = y_i – y_i-k

где y_i  - i-ый уровень ряда;

k – определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования: при k = 1 получаются цепные показатели, при k = i – 1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного.

Темп роста:

Т_iпр = y_i/ y_i-k *100%

Темп прироста:

Т_iпр = (y_i – y_i-k)/ y_i-k *100%

Абсолютный прирост  – это разность между последующим уровнем ряда  и предыдущим (или базисным).

Темп роста – отношение уровней ряда динамики, которое выражается в коэффициентах и процентах.

Темп прироста показывает на сколько процентов уровень ряда одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого.

Таблица 4

Средняя арифметическая:

.

Средний темп роста:

где Т₁р, …. Т_nр, - средние темпы роста за отдельные интервалы времени

Средний темп прироста:

Средний абсолютный прирост:

Метод Фостера - Стьюарта. Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по срав­нению с предыдущим. Кроме тренда самого ряда (как говорят, тренда в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличива­ется, то ряд «раскачивается» и т. д.

Реализация метода также содержит четыре этапа.

На первом этапе производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:

0, в противном случае,

0, в противном случае

t = 2,3,...,n.

На    втором    этапе  вычисляются величины s и d

Нетрудно заметить, что величина s, характеризующая изменение временного ряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до п-1 (ряд монотонный). Величина d характеризует изменение дисперсии уровней 1 временного ряда и изменяется от - (п-1) (ряд монотонно убывает) до (п-1) (ряд монотонно возрастает).

Третий этап заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными

1)    отклонение величины s от величины μ— математиче­ского ожидания величины s для ряда, в котором   уровни расположены случайным образом,

2)    отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений f-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:  

где μ - математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным обра­зом;

σ₁ - среднеквадратическое отклонение для величины s;

σ₂ - среднеквадратическое отклонение для величины d.

На четвертом этапе расчетные значения t_s и t_d сравниваются с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости t_a. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть.

И так как в данном случае расчетное значение t больше табличного t_табл  то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда не принимается, т.е. тренд есть

Таблица 5

В этой таблице проверяется гипотеза об отсутствии соответствующего тренда, т.е . если гипотеза отвергается, то тренд есть.

Аномальное наблюдение – отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое , оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель.

Таблица 6

Типы кривых роста:

а) полиномиальные кривые роста:

 - полином первой степени

 - полином второй степени

- полином третьей степени

где - сглаженный по уравнению тренда уровень временного ряда;

а₁ – линейный прирост;

       а₂ – ускорение роста;

       а₃ – изменение ускорения роста;

б) экспоненциальные кривые роста:

- простая экспонента;

где а и b – положительные числа, при этом если b больше 1, то функция возрастает с ростом времени, в противном случае убывает.

- модифицированная экспонента;

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, k носит название асимптоты функции, т.е. значения функции неограниченно приближается снизу к величине k.

Кривая Гомперца - 

где а и b – положительные числа, при этом b меньше 1;

k -  асимптота функции

Логистическая крива или кривая Перла – Рида:

где а и b – положительные числа, при этом b меньше 1;

k – предельное значение функции при бесконечном возрастании времени

Критерии по которым  выбирается наилучшая модель:

·        среднее квадратическое отклонение

где k – число определяемых параметров (в этой задачи их три).

·        средняя относительная ошибка аппроксимации

·        коэффициент сходимости

·        коэффициент детерминации

R² =1 -

Таблица 7

Факт – y_t (изначально заданные уровни);

Расчет – (найденные уровни по наилучшей кривой роста)

Абсолютная ошибка - (разница между практическими и расчетными значениями)

Относительная ошибка -

Таблица 8

Трендовая модель конкретного временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней ряда остаточной последовательности, соответствие распределение случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.

Формулы для таблицы 8:

·        среднее значение - показывает среднюю относительную ошибку модели:

где - абсолютная ошибка

·        дисперсия:   - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней;

·        приведенная дисперсия:

·        средний модуль остатков показывает среднюю относительную ошибку модели по модулю:

·        средняя относительная ошибка:  - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности, определяется по формуле:

·        критерий Дарбина-Уотсона, т.к. d = 2,589 существует отрицательная связь, d` = 4 - d = 4 – 2,589 = 1,411, попадает в табличный интервал.

·        Уравнение значимо с р=0,95 – это значит, что с вероятностью 95% это уравнение отражает тенденцию развития данного временного ряда.

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

В окне «Olympsys.rus» нажать кл. «Data» это возвращение к исходному временному ряду.

1.     Окно «Обработка временных рядов»:

·        Этапы обработки: флажок в окно «Построение модели и прогнозирование».

2.     Окно « Построение модели и прогнозирование»

·        Класс моделей: «Кривые роста»;

·        Тип прогноза: «Прогноз вперед»;

·        Способ построения прогноза: «На основе одной лучшей модели»;

·        Структура отчета: все флажки;

·        Структура отчета: все флажки кроме «Статистики ретропрогноза»;

·        Период прогноза – 3;

·        Вероятность свершения прогноза – 80;

·        «Вычислить».

Таблица 9

Точечный прогноз – прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя.

Интервальный прогноз – сопровождение точечного прогноза двусторонними границами, т.е. указание интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой величины.

·        На графики наша модель будет иметь вид (рис.3) :