Вариант 2.

Задание 1.

Дан треугольник ABC: A(6;3), B(3;–1), C(9;2). Найти:

1) длину стороны AB;

2) внутренний угол A с точностью до градуса;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4) точку пересечения высот;

5) уравнение медианы, проведенной через вершину C;

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Сделать чертеж.

Решение.

1) Длина стороны AB.

2) внутренний угол A с точностью до градуса;

Найдем длины сторон

Найдем угол A по теореме косинусов.

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

Найдем уравнение стороны AB.

–4x+24=–3y+9

4x–3y–15=0

Общее уравнение перпендикуляра к этой прямой 3x+4y+C₁=0, где C₁ – некоторая постоянная.

C₁ найдем из условия, что прямая проходит через точку C.

27+8+C₁=0

C₁=–35

Искомое уравнение 3x+4y–35=0

 Точка пересечения стороны AB и высоты, опущенной из точки C.

25x–165=0

25x=165

x=6.6

19.8+4y–35=0

4y=15.2

y=3.8

Точка пересечения K(6.6;3.8).

Длина высоты CK.

4) точку пересечения высот.

Для нахождения точки пересечения высот найдем высоту, проходящую через точку A.

Уравнение стороны BC.

3x–9=6y+6

3x–6y–15=0

x–2y–5=0

Уравнение перпендикуляра к стороне BC 2x+y+C₁=0. C₁ найдем из условия, что эта прямая проходит через точку A.

12+3+C₁=0

C₁=–15

Уравнение высоты, проходящей через точку A – 2x+y–15=0

Точка пересечения высот.

5x–25=0

x=5

10+y–15=0

y=5

H(5;5) – точка пересечения высот.

5) уравнение медианы, проведенной через вершину C;

Найдем середину стороны АВ

L(4.5;1)

Уравнение медианы найдем из условия, что она проходит через точки C и L.

–x+9=–4.5y+9

x–4.5y=0

2x–9y=0

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Уравнение стороны AB: 4x–3y–15=0

Уравнение стороны BC: x–2y–5=0

Уравнение стороны AC:

–x+6=3y–9

x+3y–15=0

Задание 2.

Даны векторы a₁, a₂, a₃, a₄,b. Доказать, что векторы a₁, a₂, a₃, a₄ образуют базис четырехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.

a₁(2,0,3,–1), a₂(–1,2,–1,2), a₃(1,2,0,1), a₄(0,–1,–1,3), b(–1,8,0,–1).

Решение

Найдем определитель матрицы со столбцами, состоящими из координат векторов.

 ~  ~  =  =  ~  =  =  = –30≠0, следовательно, вектора линейно независимы и образуют базис четырехмерного пространства. Найдем координаты вектора b в этом базисе.

Обозначим искомые координаты x₁,x₂,x₃,x₄.

x₄=3x₁–x₂

Вычтя первое уравнение из третьего, получим:

6x₁=0

x₁=0

x₂=2

x₃=1

x₄=–2

В итоге получили разложение:

b=2a₂+a₃–2a₄

Задание 3.

Найти производные функций:

а)

 =  =

б) y=ln ctg5x

y’ =  =  =

в)

y’ =  =

г)

y’ =  =

Задание 4.

Исследовать функцию и построить ее  график.

Решение.

1. Областью определения данной функции будет вся числовая прямая за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в ноль.

Найдем нули знаменателя.

x⁴–1=0

x⁴=1

x=–1;1

Следовательно, областью определения данной функции будет .

2. x=–1;x=1 – вертикальные асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты.

y=kx+b

 =  =  =  = 0

 =  =  =  = 0

y=0 – наклонная асимптота.

3. , следовательно, функция нечетна.

4. y(0)=0 – График проходит через начало координат.

5.  =  =

Производная не существует в точках x=–1;x=1.

Производная равна 0 в точке x=0

x	(–∞;–1)	–1	(–1;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
y'	–	0	–	не сущ.	–	0	–
y	убыв.	не сущ. экст. нет	убыв.	0 экст. нет	убыв.	не сущ. экст. нет	убыв.

6.  =  =  =  =

Вторая производная не существует в точках x=–1;x=1

Вторая производная равна нулю при x=0.

x	(–∞;–1)	–1	(–1;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
y"	–	не сущ.	+	0	–	не сущ.	+
y	выпукла	не сущ. т. перегиба	вогнута	0 т. перегиба	выпукла	не сущ. перегиба нет	вогнута

Задание 5.

«Неопределенный интеграл»

а) Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

 =  =

Проверка.

 =  =

б) Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

 =  =

Проверка.

 =  =

в) Применяя метод интегрирования по частям найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

 =  =  +  = =  +  + C

 =  +  +  =

г) Применяя метод интегрирования рациональных функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Преобразуем подынтегральное выражение.

x³–4 = (x²–x–6)(x+1)+7x+2

 =  =

B=7–A

2A–21+3A=2

5A=23

A=4.6

B=7–4.6=2.4

В итоге получаем

 = x+1+

 =  =

Проверка.

 =  =  =  =  =  =  =

Задание 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=f₁(x), y=f₂(x), где f₁(x)=2x²–2x+1, f₂(x)=x²–x+1.

Решение.

Точки пересечения графиков.

x²–x=0

x₁=0; x₂=1

f1(0.5)=0.5

f2(0.5)=0.75

Искомая площадь равна:

 =  =  =  =