РЕШЕНИЕ:

1). Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Таблица 1

№ набл	y	x
1	121	72
2	84	52
3	119	73
4	117	74
5	129	76
6	128	79
7	102	54
8	111	68
9	112	73
10	98	64

 

Для вычисления параметров модели следует воспользоваться функцией регрессии в М.Excel:

В полеченных «выводов итогов» видно: что

a = 15.93; b =  1.40

	Коэффициенты
Y-пересечение	15,9269103
Переменная X 1	1,403986711

1. следовательно при объеме капиталовложений = 0, объем выпуска продукции составляет 15,93 млн.руб.

2. следовательно при увеличении объема капиталовложений на 1 млн.руб. объем выпуска продукции увеличиться на 1,40 млн.руб.

2). Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

 

                                                                   и т.д.

Таблица 2

ВЫВОД ОСТАТКОВ
Наблюдение			Предсказанное,	Остатки,
1	72	121	117,01	3,99	15,92
2	52	84	88,93	-4,93	24,30
3	73	119	118,42	0,58	0,34
4	74	117	119,82	-2,82	7,95
5	76	129	122,63	6,37	40,58
6	79	128	126,84	1,16	1,35
7	54	102	91,74	10,26	105,27
8	68	111	111,40	-0,40	0,16
9	73	112	118,42	-6,42	41,22
10	64	98	105,78	-7,78	60,53
ИТОГО	685	1121	1120,99	0	297,61

Дисперсия остатков равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

 

3). Проверить выполнение предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.

 Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.[1]

3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

Используем данные табл. 3

Таблица 3

Наблюдение
1	3,99	15,92	-	-
2	-4,93	24,30	-8,92	79,57
3	0,58	0,34	5,51	30,36
4	-2,82	7,95	-3,4	11,56
5	6,37	40,58	9,19	84,46
6	1,16	1,35	-5,21	27,14
7	10,26	105,27	9,1	82,81
8	-0,40	0,16	-10,66	113,64
9	-6,42	41,22	-6,02	36,24
10	-7,78	60,53	-1,36	1,85
Сумма	0	297,61		467,62

,    

Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от d₂ до 2 (рис. 4.7). Свойство независимости выполняется. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Анализ независимости с помощью критерия Дарбина – Уотсона    Рис. 3

1)			2)		3)		4)
	d1	d2		2			4
свойство не выполняется	применять другой критерий	свойство выполняется	преобразовать dn=4-d
0	d1	d2		2			4
	1,08	1,36	1,5712
			|r(1)|<0,36

3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 – (16n-29)/90]

 Количество поворотных точек равно 6 (рис. 4).

Рис. 4

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:

, где

 - максимальный уровень ряда остатков,

  - минимальный уровень ряда остатков,

     - среднеквадратическое отклонение,

,  

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

3.5. Обнаружение гетероскедастичности.

Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Гольфельда-Квандта, необходимо упорядочить имеющиеся наблюдения по мере возрастания, разделить совокупности на две группы, определить уравнения регрессии (с помощью Excel), определить остаточные суммы квадратов для регрессии, вычислить отношение между ними и сравнить с F- критерием.

 

х1	У1	ŷ1	ε²1		х2	У2	ŷ2	ε²2
52	84	95,71	137,11		73	119	116,23	7,67
54	102	97,68	18,70		73	112	116,23	17,90
64	98	107,51	90,41		74	117	118,62	2,61
68	111	111,44	0,19		76	129	123,38	31,53
72	121	115,37	31,65		79	128	130,54	6,44
		сумма	278,06				сумма	66,15

Используя надстройки Excel, найдем F – критерий равный 6,389.

 

Наблюдаемое F = 4,203 меньше критического, что означает, что модель  гомоскедастична.

В таблице 4 собраны данные анализа ряда остатков.

Анализ ряда остатков                                     Таблица 4

Проверяемое свойство	Используемые статистики	Граница	Вывод
наименование	значение	нижняя	верхняя
Независимость	d – критерий Дарбина-Уотсона		1,36	2	адекватна
Случайность	Критерий пиков (поворотных точек)	6 > 2	2	адекватна
Нормальность	RS – критерий	2,96	2,7	3,7	адекватна
Среднее = 0 ?	t – статистика Стьюдента	0,000	-2,179	2,179	адекватна
Вывод: модель статистически адекватна

4). Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t – критерия (t – статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

                                        

Где

Расчетная таблица

Таблица 5

		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	а0	15,927	15,352	1,037
Объем капиталовложений, млн. руб.(X)	а1	1,404	0,222	6,315

 

Сравнивая расчетное значение с табличным значением (при n-2 и степеней свободы 0,05 табличное равно 2,306004). Делаем вывод о том, что фактор а₀ следует исключить из модели, так как расчетное значение t меньше табличного (при этом качество модели не ухудшится).

5). Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат (R²), называется коэффициентом детерминации.

 

Таблица 6

Расчет коэффициента детерминации

Наблюдение
1	15,92	8,9	79,21
2	24,30	-28,1	789,61
3	0,34	6,9	47,61
4	7,95	4,9	24,01
5	40,58	16,9	285,61
6	1,35	15,9	252,81
7	105,27	-10,1	102,01
8	0,16	-1,1	1,21
9	41,22	-0,1	0,01
10	60,53	-14,1	198,81
Сумма	297,61	0,0	1780,9

Чем ближе R²  к 1, тем качество модели лучше.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,29 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Для проверки значимости модели регрессии используется F – критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

                                                                               , где k – количество факторов, включенных в модель.

 

F > F_таб. =5, 32 для a = 0, 05; k₁ = 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:

, где

Таблица 7

Расчет относительной ошибки аппроксимации

Наблюдение	Y	Предсказанное Y
1	121	117,01	3,99	0,03
2	84	88,93	-4,93	0,06
3	119	118,42	0,58	0,005
4	117	119,82	-2,82	0,02
5	129	122,63	6,37	0,05
6	128	126,84	1,16	0,01
7	102	91,74	10,26	0,10
8	111	111,40	-0,40	0,00
9	112	118,42	-6,42	0,06
10	98	105,78	-7,78	0,08
Сумма	1121	1120,99	0	0,41

В среднем расчетные значения предсказанного у для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,13 %.

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.[2]

6). Осуществить прогнозирование среднего значения показателя  при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение Х = 79*80 % = 63,2

Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии                                                                           

ожидаемой величины фактора х.

 

Используя данные таблицы 2, найдем величину отклонения от линии регрессии.

Коэффициент Стьюдента         для m = 8 степеней свободы (m = n-2) и уровня значимости  равен 3,3554.

Таким образом, прогнозное значение                              будет находиться между верхней границей, равной 104,6588 + 21,8246 = 126,4834 и нижней границей, равной 104,6588 - 21,8246 = 82,8342.

Эластичность линейной модели равна

На 85,79% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора  X  (объемом капиталовложений) на один процент.

Преобразуем график подбора (рис. 1), дополнив его данными прогноза.

Рис. 5

8). Составить уравнения нелинейной регрессии:

·                   гиперболической;

·                   степенной;

·                   показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

8.1. Составить уравнения нелинейной регрессии гиперболической.

Уравнение гиперболической функции               

Произведем линеаризацию модели путем замены                В результате получим линейное уравнение

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 8.

Таблица 8

Гиперболическая модель
Наблюдение	x	y	X	yX	X^2						|ε/y|*100%
1	72	121	0,0139	1,6806	0,0001929	8,9	79,21	117,551	3,449	11,899	2,851
2	52	84	0,0192	1,6154	0,0003698	-28,1	789,61	87,861	-3,861	14,911	4,597
3	73	119	0,0137	1,6301	0,0001877	6,9	47,61	118,608	0,392	0,154	0,329
4	74	117	0,0135	1,5811	0,0001826	4,9	24,01	119,637	-2,637	6,953	2,254
5	76	129	0,0132	1,6974	0,0001731	16,9	285,61	121,613	7,387	54,564	5,726
6	79	128	0,0127	1,6203	0,0001602	15,9	252,81	124,390	3,610	13,030	2,820
7	54	102	0,0185	1,8889	0,0003429	-10,1	102,01	91,820	10,180	103,632	9,980
8	68	111	0,0147	1,6324	0,0002163	-1,1	1,21	113,010	-2,010	4,040	1,811
9	73	112	0,0137	1,5342	0,0001877	-0,1	0,01	118,608	-6,608	43,665	5,900
10	64	98	0,0156	1,5313	0,0002441	-14,1	198,81	107,902	-9,902	98,042	10,104
Сумма	685	1121	0,1487	16,412	0,0022573		1 780,9	1121,0	0,00	350,888	46,373
Среднее	68,5	112,1	0,01487	1,6412	0,0002257						4,637

                                                                                                                          Получим следующее уравнение                                                         гиперболической модели:

Определим индекс корреляции:

 

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 80,30% объясняется вариацией фактора  X  (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

F > F_таб. =5, 32 для a = 0, 05; k₁ = 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Средняя относительная ошибка

                                                    

В среднем расчетные значения       для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 4,64%.

Эластичность гиперболической модели равна

 

На 71,42% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора  X  (объемом капиталовложений) на один процент.

Рис. 6

Гиперболическая модель

8.2. Составить уравнения нелинейной регрессии степенной.

Уравнение степенной модели имеет вид:

 Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Таблица 9

Логарифмирование

Наблюдение	y	lg(y)	x	lg(x)
1	121	2,0828	72	1,8573
2	84	1,9243	52	1,7160
3	119	2,0755	73	1,8633
4	117	2,0682	74	1,8692
5	129	2,1106	76	1,8808
6	128	2,1072	79	1,8976
7	102	2,0086	54	1,7324
8	111	2,0453	68	1,8325
9	112	2,0492	73	1,8633
10	98	1,9912	64	1,8062
Сумма	1121	20,4630	685	18,3187
Среднее	112,1	2,0463	68,5	1,8319

Обозначим 

Тогда уравнение примет вид:                           линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 10.

Таблица 10

		Степенная модель
Наблюдение	y	Y	x	X	Y X	X^2			|ε/y|*100%
1	121	2,0828	72	1,8573	3,86842	3,4497	116,862	4,138	3,420	17,122
2	84	1,9243	52	1,7160	3,30207	2,9447	88,874	-4,874	5,802	23,754
3	119	2,0755	73	1,8633	3,86741	3,4720	118,226	0,774	0,650	0,599
4	117	2,0682	74	1,8692	3,86592	3,4940	119,587	-2,587	2,211	6,694
5	129	2,1106	76	1,8808	3,96963	3,5375	122,301	6,699	5,193	44,882
6	128	2,1072	79	1,8976	3,99870	3,6010	126,350	1,650	1,289	2,724
7	102	2,0086	54	1,7324	3,47969	3,0012	91,741	10,259	10,058	105,250
8	111	2,0453	68	1,8325	3,74807	3,3581	111,376	-0,376	0,338	0,141
9	112	2,0492	73	1,8633	3,81835	3,4720	118,226	-6,226	5,559	38,765
10	98	1,9912	64	1,8062	3,59651	3,2623	105,837	-7,837	7,997	61,425
Сумма	1121	20,4630	685	18,3187	37,5148	33,5923		1,621	42,52	301,355
Среднее	112,1	2,0463	68,5	1,8319	3,7515	3,3592

                                                

                                                                  Перейдем к исходным переменным x и y:

                                                                          Получим уравнение степенной модели регрессии:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,8308:

 

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,08% объясняется вариацией фактора  X  (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

 

F > F_таб. =5, 32 для a = 0,05; k₁ = 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Средняя относительная ошибка

           

В среднем расчетные значения       для степенной модели отличаются от фактических значений на 4,25%.

Эластичность степенной модели равна

 

На 84,0% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора  X  (объемом капиталовложений) на один процент.

Рис. 7

Степенная модель

8.3. Составить уравнения нелинейной регрессии показательной.

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

 

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 11.

 

Перейдем к исходным переменным, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

 

Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,7708.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 77,08% объясняется вариацией фактора  X  (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

 

F > F_таб. =5, 32 для a = 0,05; k₁ = 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Средняя относительная ошибка

           

В среднем расчетные значения       для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,82%.

Рис. 8

Показательная модель

Таблица 11

Показательная модель
Наблюдение	y	У	x	Ух	x^2								|ε/y|*100%
1	121	2,0828	72	149,96	5184	0,0365	0,0013	3,5	12,25	112,95	64,81	8,051	6,653
2	84	1,9243	52	100,06	2704	-0,1220	0,0149	-16,5	272,25	87,24	10,47	-3,236	3,852
3	119	2,0755	73	151,51	5329	0,0293	0,0009	4,5	20,25	114,42	21,00	4,582	3,851
4	117	2,0682	74	153,05	5476	0,0219	0,0005	5,5	30,25	115,91	1,20	1,095	0,936
5	129	2,1106	76	160,40	5776	0,0643	0,0041	7,5	56,25	118,94	101,24	10,062	7,800
6	128	2,1072	79	166,47	6241	0,0609	0,0037	10,5	110,25	123,64	19,03	4,363	3,408
7	102	2,0086	54	108,46	2916	-0,0377	0,0014	-14,5	210,25	89,52	155,78	12,481	12,237
8	111	2,0453	68	139,08	4624	-0,0010	0,0000	-0,5	0,25	107,26	13,97	3,738	3,368
9	112	2,0492	73	149,59	5329	0,0029	0,0000	4,5	20,25	114,42	5,85	-2,418	2,159
10	98	1,9912	64	127,44	4096	-0,0551	0,0030	-4,5	20,25	101,86	14,91	-3,861	3,940
Сумма	1121	20,4630	685	1406,04	47 675		0,0299		752,50		408,26	34,857	48,20
Среднее	112,1	2,0463	68,5	140,604	4 767,5						40,826		4,82

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов (табл. 12).

Таблица 12

параметры/модель	Коэффициент детерминации R^2	F - критерий Фишера	Индекс корреляции рxy	Средняя относительная ошибка
Линейная	0,8329	39,88	0,9126	4,13
Гиперболическая	0,8030	32,61	0,8961	4,64
Степенная	0,8308	39,29	0,9115	4,25
Показательная	0,7708	26,9	0,8779	4,82

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F – критерия Фишера и большее значение коэффициента R² имеет линейная модель. Её можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

---

[1] Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004. 

[2] Копр по ЭММ, http://62.117.66.200/repository/{1962E801-3231-4BB1-BE75-6D0AF7088CFB}/main3.htm