Содержание

 

Введение. 3

Глава 1. Теоретические основы формирования самостоятельности младших школьников. 5

Глава 2. Пути и средства формирования самостоятельности младших школьников на уроках математики. 15

2.1. Подготовка учащихся к самостоятельной деятельности и ее отражение в организации работы на уроках математики. 15

2.2. Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы, и некоторые вопросы ее организации на уроках математики. 18

Заключение. 28

Список литературы.. 29

Введение


«Для того, чтобы уметь связывать теорию с практикой,

с  повседневной и всесторонней

работой на общую пользу,

для этого надо много и самостоятельно учиться».

Н.К. Крупская

 

Под самостоятельной учебной работой обычно понимают любую организованную учителем активную деятельность учащихся, направленную на выполнение поставленной дидактической цели в специально отведенное для этого время: поиск знаний, их осмысление, закрепление, формирование и развитие умений и навыков, обобщение и систематизацию знаний[1].

Основные виды самостоятельных работ:

1.     Работа с книгой

2.     Упражнения

3.     Выполнение практических работ

4.     Проверочные самостоятельные, контрольные работы

5.     Домашние задания

Типы самостоятельных работ:

1.     Воспроизводящие

2.     Реконструктивно-вариативные

3.     Эвристические

4.     Творческие

В статьях И.С. Якиманской, Н.А. Лошкаревой и И.А. Лурье, О.А. Борадина, Л.О. Денищевой, Г.Г. Масловой раскрываются общие вопросы, связанные с формированием умений самостоятельной работы. Показывая различные подходы к выделению общеучебных умений рассматриваются этапы их формирования; приводятся примеры описаний способов деятельности, обеспечивающих успешное овладение некоторыми убщеучебными умениями; даются методические рекомендации по обучению прикладным умениям. В статьях других авторов раскрываются названные выше вопросы на примерах обучения различным курсам математики: Ф.М. Барчунова, Н.Б. Мельникова, Н.А. Балкин, С.Т. Тхамафокова и Л.Ю. Чернышева показывают возможности курса математики.

Проблема методики формирования умений самостоятельной работы является актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для учителей математики. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного  овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации самостоятельной деятельности учащихся. Для этого необходимо четко определить систему умений и навыков, овладение которыми приводит к самостоятельному выполнению работ различного характера.

Цель представленной работы – изучить развитие самостоятельности у младших школьников в процессе обучения математике.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

1)                            рассмотреть теоретические основы формирования самостоятельности младших школьников;

2)                            определить пути и средства формирования самостоятельности младших школьников на уроках математики.

Глава 1. Теоретические основы формирования самостоятельности младших школьников


Теория и практика учебной деятельности создавалась Д.Б. Элькониным и В.В. Давыдовым как метод исследования возрастных возможностей школьников. В постсоветские времена из исследовательского метода эта образовательная система превратилась в социальную практику, а эта практика предъявила к исследователям учебной деятельности как формы развития школьников новые, неакадемические требования. В первую очередь речь идет о методической оснастке учебной деятельности – о создании учебников для школьников, пособий для их учителей и о разработке системы подготовки учителей для работы по новым учебникам. Методическое обеспечение учебной деятельности в начальной школе появилось стремительно, ибо к моменту общественного признания и социальной востребованности системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова для ее авторов были ясны логико-психологические основания новой дидактики и методики начальной школы. К сожалению, этого же нельзя сказать о средней школе: учебная деятельность в подростковом возрасте изучена недостаточно, в частности, не описаны возрастные возможности и границы развития теоретического сознания (новообразования учебной деятельности) от школьного детства к юности. Дальнейшая социальная судьба системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова существенно зависит от того, как в ней будет решен вопрос о переходе от начальной к средней школе. Для решения этого вопроса необходимо составить представление о зонах актуального и ближайшего развития новообразований учебной деятельности у детей, оканчивающих начальную школу. Прагматический смысл этого вопроса понятен: проектирование образования в следующем возрасте должно опираться на достижения предыдущего. Неясным может показаться исследовательский смысл постановки этого вопроса, изученного, казалось бы, гораздо основательней, чем множество других аспектов развития школьников.

В самом деле, зачем вновь и вновь к нему возвращаться? Ведь сегодня существует, по крайней мере, несколько сотен исследований, подтверждающих основную гипотезу В.В. Давыдова о том, что психическими новообразованиями учебной деятельности являются: а) рефлексия, анализ и планирование как основные способности теоретического сознания, б) умение учиться как результат освоения детьми самой формы совместно-распределенной учебной деятельности. Показано так же, как должна строиться учебная деятельность, чтобы стать формой развития этих способностей. Что же вынуждает меня возвращаться к, казалось бы, решенному вопросу о развивающих эффектах учебной деятельности? Отсутствие возрастной специфичности в ответах, достоверность которых у меня не вызывает сомнений. Возьмем, к примеру, наиболее доказанное утверждение: учебная деятельность является формой рефлексивного развития. Оно одинаково справедливо и для младших школьников, и для взрослых. В наших знаниях об учебной деятельности необходимо различить а) общевозрастное и б) особенное для каждого возраста.

Усилиями группы психологов и педагогов, разрабатывавших идеи Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова на протяжении 30 лет, удалось в первом приближении ответить на вопрос, поставленный в начале 60 г.г. – каковы возрастные возможности младших школьников, невостребованные традиционной системой школьного образования, а, следовательно, не развиваемые систематически, у большинства детей. Но пока что не существует ответа на вопрос о том, каковы возрастные ограничения младших школьников. Из-за того, что этот вопрос даже не был поставлен, некоторые особо ретивые поклонники учебной деятельности стремятся сформировать у 10-летних детей развитые формы теоретического сознания (и страдают, терпя неизбежные неудачи). А некоторые особо ретивые недоброжелатели, не обнаруживая у 10-летних школьников, обучавшихся по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, высших проявлений учебной самостоятельности, заявляют о несостоятельности этой системы.

Основанием для ответа на вопрос о том, чем кончается младший школьный возраст, полноценно прожитый в лоне его ведущей учебной деятельности, по-прежнему служит для нас возрастная периодизация психического развития детей, созданная Д.Б. Элькониным. Рассмотрим ее в большем увеличении, чем это делается обычно. На рис.1. представлен фрагмент периодизации, соответствующий младшему школьному возрасту. Он складывается из двух фаз, психологический смысл каждой из которых до сих пор не был обнаружен. Наше предположение состоит в том, что классические представления об учебной деятельности, известные одним по трудам В.В. Давыдова и его учеников, а другим – по живым событиям, наблюдаемым в сотнях классных комнат, соответствуют лишь первой фазе младшего школьного возраста. Вторая его фаза не проработана ни в терминах психологии развития, ни в терминах проектов образования. Полагаю, что именно этот разрыв в проекте непрерывного образования и является причиной значительных трудностей при создании концепции учебной деятельности для подростков: мы не замечаем возникшего разрыва, и пробуем перескочить через непрожитый детьми возрастной интервал – вторую фазу младшего школьного возраста.

Далее младший школьный возраст будет рассмотрен как период становления субъекта учебной деятельности, как переход от детской готовности стать школьником («Я хочу, чтобы меня учили») к детской способности к обучению себя («Я могу учить себя самостоятельно»). Самостоятельность, субъектность ребенка в учебной деятельности не следует отождествлять с взрослой самостоятельностью. (Если допустить, что к концу младшего школьного возраста в принципе достижим взрослый уровень самостоятельности в самообучении, то отпадает необходимость в институте средней школы. Здравый смысл подсказывает, что это ложно поставленная задача.)

Самостоятельное действие не тождественно индивидуализированному действию. Учебная самостоятельность развитого младшего школьника состоит в умении (или способности) инициировать совместное с взрослым и (или) сверстниками действие по поиску недостающих способов решения новых задач. Иными словами, самостоятельность, субъектность младшего школьника в учебной деятельности существует и обнаруживает себя лишь на уровне совместного действия класса под руководством взрослого, но не на интрапсихическом уровне. Что представляет собой развитая учебная общность, в рамках которой обнаруживается детская инициативность по изменению себя как человека (не)знающего, как решать задачи и (не)умеющего их решать? Укажу несколько эмпирически наблюдаемых признаков класса, работающего как развитая учебная общность.

1) Если в первом классе общеклассная дискуссия направляется учителем в каждой точке перехода от реплики к реплике, то к третьему классу можно наблюдать относительно продолжительные (реплик 8-10) эпизоды, когда дети обмениваются мнениями без помощи учителя, самостоятельно организуя обсуждение разных точек зрения. Иногда можно наблюдать забавные ситуации, когда дети, увлекшись спором, не замечают поднятойтоже выскажу свое руки учителя, и ему приходится буквально прорываться в разговор: «Можно я мнение?! Вас интересует моя точка зрения?»

2) Если в первом, а особенно во втором классе решение учебной задачи (открытие нового способа действия) вызывает сильнейшие эмоции, то в третьем классе особого «народного ликования» по поводу открытий не наблюдается. Искушенные школьники, открыв и зафиксировав в схеме нечто новое, практически сразу же задают вопрос об общности и границах применимости вновь открытого способа.

3) Установка на поиск границ любого знания обнаруживает себя не только в эмоциональной реакции на собственные открытия, но и в характере учебных действий. Ясное знание ребенка о собственном незнании, умение отделять известное от неизвестного диагностируется на уровне индивидуального действия. В ситуациях решаемой, нерешаемой и недоопределенной задачи ребенок ведет себя по-разному. Наиболее диагностичными являются недоопределенные задачи. К примеру, учитель просит определить, сколько весят два мешка картошки, если три мешка весят 15 кг. «Десять» – спешит с ответом наивный третьеклассник, любящий демонстрировать свое умение делить и умножать, но не замечающий скрытых допущений задачи. «Слава, а откуда тебе известно, что все мешки весят одинаково?» – такой вопрос ребенка свидетельствует о появлении гипотетического удвоения мысли: если мешки весят одинаково, то задача решается одним способом, если неодинаково, то другим …

4) Ясное знание границ своих возможностей (в решении задач) обнаруживается и на уровне детской самооценки. Оставаясь оптимистичной и положительной, детская самооценка к третьему классу становится все более дифференцированной и относительно адекватной. Неадекватность самооценок в классах, обучающихся по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, обнаруживается только у наименее успешных учеников, и мы горды этим обучающим эффектом. В интеллектуальной и только в интеллектуальной сфере наименее успешные дети по-прежнему завышают свои возможности, т.е. за три года они не обнаружили, что существенно отстают от своих одноклассников. Неадекватной завышенности интеллектуальных самооценок не наблюдается у учеников в традиционных классах: к концу начальной школы они уже ясно осознают себя как отстающих, худших.

Мы назвали некоторые легко узнаваемые черты развитой учебной общности как «питательного субстрата» для выращивания индивидуальных субъектов учебной деятельности. Все они свидетельствуют о позитивных тенденциях в развитии детей в направлении все большей учебной самостоятельности. Казалось бы, можно было бы продолжать чисто количественно усиливать эту линию развития, не драматизируя проблемы возрастных переходов. Однако к третьему классу возникает еще одна, увы, пренеприятная характеристика класса как коллективного субъекта учебной деятельности, сообща решающего учебные задачи: жесткая социальная стратификация класса. Уже в первые месяцы обучения в классе всегда выделяется так называемая «группа прорыва». Ее образуют дети, которые с особой готовностью и страстью включаются в общую работу класса именно тогда, когда ставится новая учебная задача, то есть, когда ученики убеждаются, что имеющихся у них способов действия недостаточно для действования в новых условиях. Именно усилиями детей из «группы прорыва», дерзающих высказывать догадки об отсутствующем способе действия, класс приходит к открытию нового способа действия. «Группа прорыва» почти вдвое увеличивается от первого к третьему классу, но далее не растет: для решения учебной задачи вовсе не нужно, чтобы в поиске неизвестного участвовал весь класс, более того – появление слишком большого числа разных точек зрения может слишком затянуть процесс поиска нового, лишить его эмоционального динамизма. Однако личное участие каждого ребенка в поисковой части учебной деятельности необходимо для развития у него основных новообразований учебной деятельности, и выход на плато основного показателя учебной деятельности – количества детей, активно участвующих в ее поисковой части, является грозным знаком необходимости качественных изменений в характере обучения.

Иными словами, когда в классе закрепляется состав и не растет численность «группы прорыва», это указывает на исчерпанность развивающих возможностей первой (классической) фазы становления учебной деятельности. Учебная общность, существующая в форме устной, эмоционально заразительной дискуссии, направленной на генерирование догадок по поводу новых, отсутствующих в навыковом репертуаре детей способов действия и на выяснение границ их применимости, построена. Класс как команда умеет учить себя с помощью учителя. Дети, принадлежащие к группе прорыва, стали подлинными субъектами учебной деятельности, т.е. они способны самостоятельно, по собственной инициативе развертывать учебное сотрудничество там, где, решая задачу, обнаруживают ограниченность собственных ресурсов.

Характер этой инициативы указывает на границы возможностей действия ребенка в ситуации решения новой задачи. Высказывая догадку о недостающем способе действия, ученик прибегает к помощи взрослого для развертывания эксперимента по проверке высказанного предположения. Дети пока еще владеют только одним, но универсальным и всеобщим средством проверки своих точек зрения – они обращаются к авторитету. Им еще предстоит от живого авторитета перейти к умелому вопрошанию его знаково-символических заместителей (таких как тексты, экспериментальные модели). Предположительно, это и составит содержание учебной деятельности подростков, но готовы ли младшие школьники, научившиеся умному спрашиванию учителей, войти многоголосие культурных текстов и искать в нем ответ на свои вопросы, не окажутся ли они в разрушительной, толкающей к изоляционизму (в частности, к отторжению школьного знания) ситуации вавилонского взаимонепонимания?[2]

Рассматривая индивидуально-типические компоненты продуктив­ного мышления, мы ставили перед собой задачу выделить те его особенности, от которых зависит легкость овладения однородными знаниями, темп продвижения в них, т. е. связывали его с понятием общих способностей. У школьников эти свойства их психики обуславливают успешность учебной деятельности, быстроту и легкость в овладении новыми знаниями, широту их переноса, т. е. выступают как их общие способности к учению. Для их обозначения в психологии широко используют термин «обучаемость».

Чем выше обучаемость, тем быстрей и легче приобретает человек новые знания, тем свободнее оперирует ими в относительно новых условиях, тем выше, следовательно и темп его умственного развития. Вот почему мы полагаем, что обучаемость, наряду с фондом действенных знаний, т. е. тех, которые человек применяет на практике, входит в структуру умственного развития.

Об умственных способностях человека судят не потому, что он может сделать на основе подражания, усвоить в результате подробного, развернутого объяснения. Ум человека проявляется в относительно самостоятельном приобретении, «открытии» новых для себя знаний, в широте переноса этих знаний в новые ситуации, при решении нестандартных, новых для него задач. В этой стороне психики находит свое выражение продуктивное мышление, его особенности проявляются в формирующихся у человека качествах ума, определяя уровень и специфику обучаемости личности. Эти особенности, свойства мыслительной деятельности учащихся, качества их ума и есть компоненты обучаемости, они входят в ее структуру, а своеобразие их сочетаний определяет многообразие индивидуальных различий в обучаемости учащихся.

Одно из важнейших качеств ума - его глубина. Это качество проявляется в степени существенности признаков, которые человек может абстрагировать при овладении новым материалом, при решении проблем, и в уровне их обобщенности. Противоположное качество - поверхностность ума. Оно видно по выделению внешних, лежащих как бы на поверхности наблюдаемых явлений признаков, по установлению случайных связей между ними, что отражает низкий уровень их обобщенности.

Продуктивное мышление предполагает не только широкое использование усвоенных знаний, но и преодоление барьера прошлого опыта, отхода от привычных ходов мысли, разрешение противоречий между актуализированными знаниями и требованиями проблемной ситуации, оригинальность решений, их своеобразие. Эту сторону мышления чаще всего обозначают как гибкость ума, динамичность, подвижность и т. д. Наиболее удачен первый термин (два других чаще употребляются в контексте психофизиологических работ). При гибком уме человек легко переходит от прямых связей к обратным, от одной системы действий к другой, если этого требует решаемая задача, он может отказаться от привычных действий и т. д. Инертность ума проявляется в противоположном: в склонности к шаблону, в трудности переключения от одних действий к другим, в длительной задержке на уже известных действиях, несмотря на наличие отрицательного подкрепления и т. д.

Г. П. Антонова, исследуя гибкость мышления при решении разнообразных задач, отмечает устойчивость этого качества и наличие весьма существенных различий по суммарному «показателю гибкости» мышления школьников одного и того же возраста: для крайних групп - наиболее и наименее развитых и исследованных ею школьников этот показатель равен соответственно 12,5% и 89%, т. е. один показатель превышает второй более чем в 6 раз!

Для творческого решения проблем важно не только выделить требуемые ситуацией существенные признаки, но и, удерживая в уме всю их совокупность, действовать в соответствии с ними не поддаваясь на влияние внешних, случайных признаков анализируемых ситуаций. Эту сторону мыслительной деятельности обозначали как устойчивость ума. Она проявляется в ориентации на совокупность выделенных ранее значимых признаков, несмотря на провоцирующее действие случайных признаков новых задач того же типа. Трудности в ориентации на ряд признаков, входящих в содержание нового понятия или закономерности, необоснованная смена ориентации, переход от одних действий к другим под влиянием случайных ассоциаций - показатель неустойчивости ума.

Открытие принципиально новых знаний, столь характерное для продуктивного мышления, представляет собой скачкообразный, циклический процесс, в котором в диалектически противоречивом единстве выступают как хорошо осознанные, словесно-логические компоненты, так и не находящие адекватного отражения в слове, подсознательные, интуитивно-практические компоненты. Включение интуиции в процесс поиска нового закономерно. Однако, чтобы найденные таким образом знания приобрели действенную силу, т. е. могли быть переданы другим, использованы для решения широкого круга задач, должны быть хорошо осознаны как их существенные признаки, так и способы оперирования этими знаниями. Вот почему одним из основных качеств ума, входящих в обучаемость, мы считаем осознанность своей мыслительной деятельности, возможность сделать ее предметом мысли самого решающего проблему субъекта. В близком значении употребляется термин «рефлексия».

Это качество ума проявляется в возможности выразить в слове или в других символах (в графиках, схемах, моделях) цель и продукт, результат мыслительной деятельности (существенные признаки вновь сформированных понятий, закономерностей), а также те способы, с помощью которых этот результат был найден, выявить ошибочные ходы мысли и их причины, способы их исправления и т.п. Неосознанность мыслительной деятельности проявляется в том, что человек не может дать отчета о решении задачи (даже если оно верное), не замечает своих ошибок, не может указать те признаки, на которые он опирался, давая тот или иной ответ, и т.д[3].


ВЫВОД:


В условиях высокого уровня развития науки и техники особые требования предъявляются к подготовке учащихся в школе. Задача учащихся не может сводиться только к вооружению учащихся определенной суммой знаний. Необходимо сформировать у них умение оперировать приобретенными знаниями, применять их в новых ситуациях, делать самостоятельные выводы и обобщения, находить решения в нестандартных условиях.



Глава 2. Пути и средства формирования самостоятельности младших школьников на уроках математики

2.1. Подготовка учащихся к самостоятельной деятельности и ее отражение в организации работы на уроках математики


Одним из условий успешной трудовой деятельности и самостоятельного овладения новыми знаниями является достаточно высокий уровень развития мышления и речи. Хотя мышление как процесс обобщенного и опосредованного познания действительности всегда включает в себя элементы продуктивности, удельный вес ее в процессе мыслительной деятельности может быть различным. Там, где удельный вес продуктивности достаточно высок, говорят о собственно продуктивном мышлении как особом виде мыслительной деятельности. В результате продуктивного мышления возникает нечто оригинальное, принципиально новое для субъекта, т.е. степень новизны здесь высока. Условие возникновения такого мышления - наличие проблемной ситуации, способствующей осознанию потребности в открытии новых знаний, стимулирующей высокую активность решающего проблему субъекта.

В результате продуктивного мышления происходит становление психических новообразований - новых систем связи, новых форм психической саморегуляции, свойств личности, ее способностей, что знаменует сдвиг в умственном развитии.

С новым теоретическим материалом ученики могут знакомиться путем получения информации от учителя или путем самостоятельного чтения текста учебника.

При изложении нового материала учителем желательно, чтобы ученикам не только сообщалась некоторая сумма фактов, но и раскрывалась значимость этих фактов, мотивировались примененные способы исследования, обосновывались пути выводов и т.п.

Другая форма изучения теоретического материала – это самостоятельное чтение учащимися текста учебника. Вообще говоря, текст учебника, предназначенный для чтения после объяснения учителя, и тот текст, который рассчитан на самостоятельное прочтение учащимися, должны различаться. В первом случае текст должен быть компактным, лаконичным, резюмирующим уже полученную информацию, во втором случае он должен быть более обширным, содержать подводящие примеры, дополнительные объяснения и т.п.

Следует помнить, что самостоятельное чтение математического текста – это очень сложная задача в силу того, что этот текст обычно носит много информации, приводимые в нем ссылки могут ускользать из поля зрения учащихся, отдельные замечания могут показаться им излишними. Поэтому при организации самостоятельного чтения, учителю необходимо «расставить некоторые вехи»: сформулировать наводящие вопросы, разбить текст на части, дать некоторые указания и т.п. После прочтения учащимися текста необходима беседа, в ходе которой проверяется понимание прочитанного. Такая беседа позволяет учащимся выяснить, какие моменты остались ими не понятыми или не замеченными.

В процессе изучения математики наряду с некоторыми теоретическим сведениями учащиеся овладевают определенными приемами решения задач. Обычно с такими приемами знакомит сам учитель, показывая решения нового образца. Наиболее эффективным при этом является такой подход, при котором учитель раскрывает перед учащимися технологию решения задачи, показывает, чем мотивировано применение некоторого применения метода решения, чем обусловлен выбор того или иного пути. Известный математик и методист Д. Пойа писал: «Учитель, стремящийся развить способности учеников к решению задач, должен пробудить в них известный интерес к этим задачам и обеспечить им широкие возможности для подражания и приобретения опыта. Решая задачу перед классом, он должен излагать свои мысли немного театрально, ставя те же вопросы, которые он предлагает ученикам. Руководимый указанным образом ученик овладевает в конце концов правильным употреблением этих вопросов и советов и тем самым приобретает нечто более ценное, чем знание какого-либо частного математического предложения»[4]. 

Для того, чтобы самостоятельное выполнение задания было эффективным, необходимо правильно определить содержание и объем этого задания. Если задание слишком сложно, то учащиеся просто не выполнят его и драгоценное время урока будет потрачено. Так, например, учащимся 3 класса было предложено решить самостоятельно задачу путем составления уравнений. По уровню сложности эта задача превосходила разобранные ранее на уроках. Хотя учитель поочередно подходил к учащимся и консультировал их, спустя 20 минут обнаружилось, что только три ученика из класса справились с работой. Остальные или не смогли составить уравнение по условию задачи, или, составив уравнение, не смогли его решить. Очевидно, что в этом случае учитель неправильно оценил степень готовности класса к решению задач подобного типа. Необходимо отметить, что включение в самостоятельную работу излишне сложных заданий, с которыми ученик не в состоянии справиться, может привести к тому, что он потеряет веру в свои силы, и эта неуверенность будет мешать ему при решении более легких задач. С другой стороны, выполнение слишком легкого задания, не требующее интенсивной мыслительной деятельности, мало подвергает ученика в плане развития мышления. Именно поэтому широкое распространение получило использование индивидуальных заданий для учащихся с учетом условия подготовки отдельных групп.

Следующим важным требованием к самостоятельной работе учащихся является своевременность предъявления заданий. Если задание для самостоятельной работы дано прежде, чем выработано соответствующее учебное умение, то при выполнении серии однотипных упражнений учащиеся могут повторять одну и ту же ошибку, которая в результате примет устойчивый характер.

Наконец, непременным условием эффективности самостоятельной работы

 На уроке является своевременная и правильная проверка результатов. Получила распространение такая форма проверки, когда ограничиваются показом готового решения, выполненного одним из учеников на закрытой доске. Такой способ проверки полезен для тех учеников, которые справились с задачей или допустили незначительные погрешности. Тем же, кто не знал, как решать задачу, рассмотрение готового решения мало что дает для овладения методом решения. Поэтому проверку нельзя ограничивать только показом решения, необходимо, чтобы учащиеся прокомментировали ход решения – с такой целью выполнено дополнительное  построение. При большом числе вариантов заданий прокомментировать можно один из них, а для остальных ограничиться проверкой ответов[5].


2.2. Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы, и некоторые вопросы ее организации на уроках математики


Принцип дифференциации обучения – положение, согласно которому педагогический процесс становится дифференцированным. Одним из основных видов является индивидуальное обучение.

Технология дифференцированного обучения представляет собой совокупность организационных решений, средств и методов дифференцированного обучения, охватывающая определенную часть учебного процесса. В своей деятельности педагог должен учитывать признаки технологии дифференцированного обучения:

Процессуальный двусторонний характер взаимосвязанной деятельности учителя и учащегося.

Наличие совокупности методов и приемов.

Проектирование и организация.

Наличие комфортных условий.

Технология дифференцированного обучения – процессуальная система совместной деятельности учителя и учащегося по проектированию, организации, ориентированию образовательного процесса с целью достижения конкретного результата при обеспечении комфортных условий учащихся.

Для того, чтобы использование технологии дифференцированного обучения принесло положительные результаты, необходимо провести диагностику учебной деятельности школьников. Что же должно стать объектом изучения?

Отношение ученика и класса к учебе. Изучая мотивацию (цели, потребности, интересы, эмоции, мотивы), которая в значительной степени определяет отношение ученика к учебной деятельности, необходимо иметь разные ее источники. Для одних учащихся источником является само знание, для других – процесс учения, для третьих- взаимоотношения с товарищами, учителями, для четвертых влияние семьи. Не случайно психологи выделяют 2 большие группы мотивов:

1) познавательные мотивы, связанные с содержанием учебной деятельности и процессом ее выполнения;

2)социальные мотивы, в основе которых взаимодействие, общение, сотрудничество школьника с другими людьми. Положительное, постоянное активное отношение к учебной деятельности наблюдается у тех учащихся, для которых характерно сочетание разных мотивов.

  Мотивация учебной деятельности обусловлена также индивидуальными особенностями личности школьника, его установками, склонностями, жизненными планами.

Направленность познавательного процесса. Устойчивый познавательный процесс -  важный мотив учения. Знать приоритетную направленность интересов учащихся крайне важно, чтобы целенаправленно развивать их, облегчить выбор того или другого профиля обучения.

Знания и умения. Диагностика учебной деятельности направлена прежде всего на выявление качественности гарантированных знаний, их глубины, обобщенности, систематичности, мобильности.

  Вторая не менее важная сторона – установление уровней знаний.

Принято выделять три основных уровня знаний: репродуктивный (ученик умеет лишь воспроизводить знания), реконструктивный (знания применяются в стандартных вариативных ситуациях), творческий (ученик оперирует знаниями в условиях переноса, в нестандартных ситуациях).

Особенности процесса самостоятельной работы, учебной деятельности учащихся. Чтобы эффективно управлять действиями школьников, необходимо знать их типичные и индивидуальные затруднения при выполнении заданий, потребность в руководстве учителя, сотрудничестве.

Активность, организованность, ответственность, самостоятельность учащихся.

Эффективность применяемых средств и стимулов учебной деятельности.

Обработка данных, в основном, показывает, что в большинстве своем ученики хотят учиться, чтобы получать новые знания (60%); нравится получать хорошие отметки (12%); нравится, когда хвалят (10%); нравятся некоторые предметы и учителя (11%); нравится быть лучше товарища по учебе (7%). Изучив учебные возможности учеников своего класса, учитель неоднократно  убеждалась в том, что достигнуть хороших результатов можно только используя технологию дифференцированного обучения. Наряду с  известными негативными сторонами технологии практикующие педагоги отмечают много положительных сторон: исключается неоправданная и нецелесообразная уравниловка детей; у учителя появляется возможность более эффективно работать с трудными учащимися, плохо адаптирующимися к общественным нормам, уделять внимание сильным; отсутствие в классе отстающих снижает необходимость в снижении общего уровня преподавания; реализуется желание сильных учащихся быстрее и глубже продвигаться в образовании; повышается уровень я-концепции: сильные утверждаются в своих способностях, слабые получают возможность испытывать учебный успех, избавиться от комплекса неполноценности; повышается уровень мотивации.

На уроках математики не должно быть равнодушных: сильные работают с максимальной нагрузкой, а средние и слабые тянутся за ними, не теряя веры в свои силы и возможности. А это, по убеждению учителя, является главным в обучении. Именно дифференцированная работа позволяет добиться высоких результатов в обучении и помогает научить ребенка самостоятельно работать.

Организация самостоятельной работы – это действия педагога и учащихся, направленные на создание педагогических условий, необходимых для своевременного и успешного выполнения задания. Установлен, что форма организации труда влияет на его результат. Форма организации – это определенная расстановка участников учебного процесса, способы взаимодействия учителя и учащихся, самих школьников между собой.

Классно-урочная система позволяет организовать познавательную деятельность одновременно со всеми учащимися. Это может быть и фронтальная беседа, и самостоятельная работа. Выполняемая в классе под руководством и наблюдением учителя.

Особенности фронтальной формы организации самостоятельной деятельности учащихся состоит в следующем:

все ученики выполняют общее для всех задание;

учитель дает инструктаж к выполнению заданий;

используются общие приемы организации и руководства действиями учащихся.

Главное преимущество фронтальных работ заключается в том, что здесь возможны коллективные устремления к общей цели, решение единичных задач, побуждающих учащихся к сотрудничеству. Промежуточные и конечные результаты самостоятельной работы  успешно обсуждаются всеми учащимися, подвергаются взаимному контролю. Это оказывает существенное влияние на качество знаний и умений учащихся, стимулирует познавательный интерес и активность.

Несмотря на то, что учащиеся получают общее задание, общий инструктаж, каждый ученик работает самостоятельно, индивидуально, стремится достичь цели прежде всего собственными усилиями. Если же это не удается. При анализе итогов работы в классе ученик имеет возможность послушать правильные ответы учащихся. Таким образом достигается сочетание коллективной и индивидуальной работы, в которую вовлекаются все учащиеся класса.

Фронтальная форма организации самостоятельной деятельности наиболее целесообразна тогда, когда важно создать определенный настрой, вызвать интерес к новой теме. Также полезна и важна она на начальном этапе формирования умений, когда учащиеся овладевают способами выполнения заданий по образцу.  Поэтому первыми используются типовые задачи, общие для всего класса, чтобы учащиеся, получая общий инструктаж учителя, быстрее осознали механизм применения знаний, усвоили основную схему действий. На этом этапе важную роль играет коллективный анализ типичных ошибок, допускаемых учащимися в процессе выполнения заданий.

Фронтальная самостоятельная работа эффективна, если результаты ее обсуждаются в процессе общеклассной беседы, т.е. включаются в коллективную деятельность. Каждый получает возможность проверить свой ответ, высказать свое мнение, уточнить, обогатить его суждениями других ребят.    

Под индивидуальной самостоятельной работой следует понимать  такую, которая предусматривает выполнение индивидуализированных  заданий  и исключает  сотрудничество с учащимися. Однако она открывает  огромные возможности для сотрудничества ученика  с учителем. Обязанности  учителя  при этом  не менее сложны и ответственны, чем ученика. Необходим  тщательный анализ  содержания учебного материала, на основе  которого  учитель умеет выделить  те же вопросы, которые  доступны отдельным учащимся  для самостоятельной проработки и важны для развития познавательного интереса.

В структуру урока  педагог включает  небольшие по объему работы, которые  предлагает отдельным ученикам или группам. Задания выполняются в то время, когда в классе проводится фронтальная работа. Проверяются они здесь же или после уроков.

На уроках математики  учительница предлагает  некоторым учащимся выполнить  небольшие индивидуальные задания на карточках (см. Приложение 1), поработать над теми ошибками, которые  допустили дети  в контрольных, классных или домашних работах.   Учитель старается разнообразить эти работы,  проводит их в виде игр «Почта»,  «Помоги Незнайке»,  «Проверь Незнайку», когда учащиеся получают письма, открытки с заданиями от литературных героев.

Каждый ученик заранее оформляет на карточке задание, которое он приносит на урок. Классу, таким образом, предлагаются индивидуальные задания,  составленные не учителем, а учеником. Проверяют и корректируют выполненную работу и учащиеся, и учитель. Это интересный прием сотрудничества учителя и ученика.

Кроме того,  педагог использует индивидуальные классные и домашние задания. А учащиеся выбирают эти задания на альтернативной основе. Так, на уроках математики в 3 классе  предлагается детям решить одно из 3 уравнений на оценку, причем эти уравнения неоднозначны: усложненные уравнения на нахождение множителя, уравнения на нахождение делимого с  многозначными числами и уравнения на нахождение делителя с двузначными числами. Каждый ученик   выбирает уравнение, посильное для себя.

Часто на уроках учительница дает опережающие задания поискового характера для группы сильных учащихся.  Так в 1 классе предлагает  не только решить неравенства, состоящие из двух примеров, но и самим придумать такие задания.

Индивидуальные самостоятельные работы имеют большое значение. Во-первых, возрастает роль  самого ученика  в определении содержания работы,  в  выборе способов ее выполнения. Во-вторых, возникает возможность сотрудничества учителя и ученика, особенно при выполнении учениками   заданий творческого характера.

Самостоятельные индивидуальные задания используются педагогом не только при повторении, но и при объяснении нового материала. Здесь очень важно правильно подобрать  дифференцированные задания  для каждого ученика. Дифференцированные задания – это система упражнений,  это система упражнений,  выполнение которых поможет глубже и осознаннее усвоить  правило  и выработать  вычислительный навык на его основе.  Упражнения должны отличаться простотой, краткостью и точностью. Начинать работу надо с более простых упражнений, постепенно продвигаясь к более сложным, требующим необходимых обобщений.

Дифференцированные задания  учитель готовит  к уроку заранее, записывая на доске, карточках. Их делят на два вида:

- обязательные задания.

Они способствуют умению правильно применять изученное правило, их должно быть огромное количество, они должны быть посильны для каждого ученика.

- дополнительные задания.   

Они рассчитаны для  тех детей,  которые справились с обязательными заданиями  и у них есть время  для самостоятельной работы. Эти задания повышенной трудности  на применение изученного материала,  требующие сравнения,  анализа, определенных выводов. Качество и количество упражнений может быть разным, но доступным  для усвоения правила на данном этапе урока[6].

Для успешного усвоения нового материала важны подготовленные упражнения. Это и диктанты, и игры, и самостоятельная работа.  Важно при их выполнении и проверке повторить  то правило, которое будет необходимо при объяснении новой темы.

При изучении темы по математике «Прибавление  числа к сумме»  подготовительные упражнения и нужные выводы  педагог выполняет со всеми детьми класса. При первом объяснении свойства или правила участвует весь класс. Одним учащимся выводы ясны после первого объяснения,  другим необходимо еще раз повторить. Поэтому  учитель отделяет группу детей, которые самостоятельно смогут сначала выполнить обязательные упражнения, а затем дополнительные. С остальными учащимися еще раз повторяет правило, выделяя главное. Затем все дети самостоятельно выполняют обязательные задания.

При изучении темы «Прибавление числа к сумме»   подготовительные упражнения проводятся  со всем классом. Они целевые. Особенное внимание уделяется их прочности и логичности. Формы проведения их разнообразны. Для подготовительных упражнений со всеми детьми класса используется  математический диктант:

Замени каждое число суммой разрядных слагаемых: 56, 73, 29, 81, 45.

Первое слагаемое 5, второе 6. Найди сумму.

Запиши сумму чисел 5 и 9. Вычисли ее.

Запиши пример,  в котором  сумме чисел 5 и 3 надо прибавить 2.

При проверке последнего задания делается запись на доске (5+3) + 2 и учитель предлагает:

назовите сумму в скобках;

назовите первое, второе слагаемое этой суммы;

назовите число, которое надо прибавить к сумме;

как можно вычислить результат этого выражения?

Дети объясняют, что сначала они нашли сумму, а потом к сумме 8 прибавили 2. Учитель делает вывод:  чтобы к сумме прибавить число, надо сначала вычислить сумму, а потом к ней прибавить число. Затем учитель говорит, что сегодня на уроке дети будут учиться прибавлять число к сумме другими способами. На доске укрепляются две изготовленные из картона корзины с кармашками.  Число белых грибов в корзине  будет изображать  1 слагаемое. Сколько белых грибов положили в корзину?  Учитель кладет макеты грибов  в карманы первой корзины. Число красных грибов во второй корзине  будет изображать 2 слагаемое. Сколько красных грибов положили во вторую корзину? Учитель кладет макеты красных грибов в карманы второй корзины. Дети нашли еще два груздя.  Учитель ставит их на полочку около корзин и говорит, что эти два груздя   будет изображать число 2, которое надо прибавить.  В какую корзину можно положить эти два груздя?  Положим в 1 корзину. Как узнать, сколько грибов стало? Запись на доске: (5+2)+3=7+3=10.

Дети рассуждают так: число 2 прибавили к 5, к первому слагаемому, потом к полученному результату  прибавили второе слагаемое. Учитель снова повторяет  ход рассуждения детей. Чтобы к сумме прибавить число, можно его сначала прибавить к первому слагаемому, а к полученному результату прибавить  второе слагаемое. Учитель просит одного  ученика повторить еще раз ход рассуждения второго способа прибавления числа к сумме.  Затем учитель  убирает 2 груздя из первой корзины и кладет во вторую корзину. Под диктовку детей на доске появляется запись: (5+3)+2=5+(3+2)=10. Учитель делает сам вывод хода рассуждения, а затем просит повторить одного из детей. Делается вывод, что  число к сумме можно прибавить тремя способами. Заканчивая первое объяснение, учитель еще раз повторяет выводы по каждому способу решения примера и просит детей закончить процесс рассуждения. Подробная запись трех способов прибавления числа к сумме  сохраняется на доске. Учитель предлагает части детей самостоятельную работу.

Обязательные задания.

Прочитай пример (4+3)+2 и реши его разными способами:

сначала вычисли сумму, а затем прибавь число 2;

сначала прибавь число 2 к первому слагаемому, а затем к результату прибавь второе слагаемое;

сначала прибавь число 2 ко второму слагаемому, а затем результат прибавь к первому слагаемому.

Закончи запись и догадайся, как легче решить пример:

          (40+5)+3=40+(…)=

         (40+3)+30=(40+30)+

         (50+1)+9=(50+(…)

         (70+8)+10=(70+…)

         (6+4)+3=

Дополнительные задания:

2.                          Найди результат самым удобным способом и догадайся, как  к каждому примеру применять правило:       

(6+4)+4       

(50+3)+6          

(20+6)+50         

(7+9)+1           

(7+3)+9

2. Вычисли:

(5+6)+4      

(9+3)+1        

(8+5)+2

Реши задачу: в колхозе 8 грузовых и 2 легковые машины. Колхоз купил еще 4 грузовые машины. Сколько всего машин в колхозе?[7]

ВЫВОД


Не следует переоценивать роль самостоятельного разбора теоретического материала по учебнику в плане подготовки учащихся к последующей творческой трудовой деятельности. Работа с текстом учебника после прослушивания в классе объяснения учителя позволяет учащимся правильно акцентировать внимание на наиболее важных вопросах, не упускать из поля зрения некоторые нюансы и т.п.

Заключение


Под индивидуальной самостоятельной работой следует понимать  такую, которая предусматривает выполнение индивидуализированных  заданий  и исключает  сотрудничество с учащимися. Однако она открывает  огромные возможности для сотрудничества ученика  с учителем. Обязанности  учителя  при этом  не менее сложны и ответственны, чем ученика. Необходим  тщательный анализ  содержания учебного материала, на основе  которого  учитель умеет выделить  те же вопросы, которые  доступны отдельным учащимся  для самостоятельной проработки и важны для развития познавательного интереса[8].

Учитывая, что самостоятельные работы на уроках математики применяются довольно часто,  представляется правильным практикуемое во многих школах создание специальных памяток, где ненавязчиво даются некоторые рекомендации по работе с математическим текстом и решению задач основных видов учебной деятельности при изучении математики (см. Приложение 2, 3).

Список литературы


1.                             Балкин Н.А., Тхамафокова С.Т. Организация самостоятельной работы по математике учащихся IV классов. М.: Просвещение, 1989.

2.                             Березин В.Н. Умения и навыки творческой работы при решении задач по математике. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

3.                             Бурдин А.О. Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы и некоторые вопросы ее организации в школе. М.: Педагогика, 2002.

4.                             Денищева Л.О. Вопросы формирования общеучебный умений при обучении математики. М.: Просвещение, 1991.

5.                             Изучение трудных тем по математике в I-III классах / Сост. Н.Г. Уткина. М.: Просвещение, 2002.

6.                             Кондрашенкова Т.А., Никольская И.Л. Формирование общелогических умений при обучении математике. М.: Наука, 1991.

7.                             Лодатко Е.А. Организация самостоятельной деятельности учащихся на уроках математики. М.: Просвещение, 1991.

8.                             Лошкарева Н.А., Лурье И.А. Формирование учебных умений учащихся младших классов. М.: Просвещение, 1983.

9.                             Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математики / Сост. С.И. Демидова, Л.О. Денищева. М.: Просвещение, 1985.

10.                        Якиманская И.С. Психологические особенности овладения учебными умениями в курсе математики. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.


Приложение 3

 

Задания для самостоятельной работы[9]

 

Карточка 1


1.                              Мальчик везет на велосипеде корзину с ягодами. Корзина легче велосипеда на 5 кг. Мальчик тяжелее велосипеда на 23 кг. Масса велосипеда 12 кг. Сколько килограммов груза везет велосипед?

2.                              Володя и Катя измерили одни и те же отрезки. Володя сказал, что один из них больше другого. Катя сказала, что один отрезок на 3 см длиннее другого. Что это за отрезки? Начертите их.

3.                              Я задумал число, увеличил его на 15 и сумму разделил на 6. В результате получилось 5. Какое число я задумал? Запишите его уравнение.


Карточка 2


1.                              Начертите отрезок больше, чем 3 см. Начертите другой отрезок, который меньше первого на 2 см.

2.                              Масса бидона, наполненного медом, 42 кг. Если наполнить медом половину бидона, то получится 27 кг. Найдите массу пустого бидона.

3.                              Каждое из чисел: 24, 45, 54 – сначала увеличьте в 4 раза, затем уменьшите в 2 раза. Как получить тот же результат более простым путем?




Карточка 3


1.                           Коля тяжелее Пети на 6 кг, Сережа тяжелее Коли на 3 кг. На сколько килограммов Сережа тяжелее Пети?

2.                           В двух комнатах 86 человек. Когда из одной комнаты вышло 30, а из другой комнаты – 40 человек, то людей в комнатах осталось поровну. Сколько человек было в каждой комнате?

3.                           Я задумал число, увеличил его в 5 раз и из произведения вычел 40. В результате получилось 20. Какое число я задумал? (Записать уравнение и решить).


Карточка 4


1.                          Волшебник приказал кузнецу сделать для дворца 9 замков и к каждому замку по 3 ключа: медный, серебряный и золотой. Сколько ключей должен сделать кузнец?

2.                          Если на одну чашу весов положить кирпич в 1 кг, на другую для равновесия положить гирю в 1 кг и полкирпича. Сделайте рисунок и сообразите, какова масса кирпича.

3.                          Два числа имеют одну и ту же последнюю цифру. Может ли их сумма оканчиваться той же цифрой?


Карточка 5


1.                            Каждая сторона прямоугольника в 2 раза длиннее стороны квадрата. Сторона квадрата 3 см. Найдите периметр шестиугольника.

2.                            Имеются 2 гири: одна массой 5 кг, а другая массой 3 кг. Как с их помощью найти массу 2 кг пшена и 14 кг пшена?

3.                            Придумайте число, которое:

А) делится на 2 и на 5;

Б) делится на 2 и не делится на 5;

В) делится на 5 и не делится на 2;

Г) не делится на 2 и не делится на 5.


Карточка 6


1.                             Как отмерить 2 л воды, если имеется: 1) ведро, трехлитровая и четырехлитровая банки; 2) трехлитровая и четырехлитровая банки?

2.                             Три слона носили бревна. Первый слон принес 31 бревно, второй – 25 бревен. Первый и второй принесли бревен в 2 раза больше, чем третий. Сколько бревен принес третий слон?

3.                             Одно слагаемое в 2 раза больше другого. Во сколько раз произведение больше меньшего слагаемого? Придумайте 2 примера.


Карточка 7


1.                            Взрослый человек может поднять груз не более 100 кг. Сумеет ли он поднять восьмилитровую банку ртути? Масса 1 л ртути равна 13 кг.

2.                            Волк, Лиса и Медведь делили рыбу. Медведь взял себе половину улова, Волк 7 кг, а Лисе досталось 9 кг. Сколько рыбы наловили звери?

3.                            Когда отцу было 30 лет, сыну было 6 лет. Теперь сыну 11 лет. Сколько лет отцу?

Приложение 2

 

Памятка работы с книгой

 

Книга является основным источником получения информации. Для плодотворной работы с учебником вам могут помочь следующие рекомендации:

1.                           Перед изучением незнакомого текста полезно составить мнение о его содержании, для чего нужно обязательно обратить внимание на заголовок, так как именно в нем  часто определяется предмет обсуждения, полезно бегло просмотреть текст и постараться увидеть излагаемую в нем идею.

2.                           Текст в учебниках математики часть требует неоднократного его прочтения. При первичном прочтении не нужно его заучивать, нужно стремиться лишь понять его, увидеть схему рассуждений. Поэтому при первичном чтении целесообразно выделять основные положения и их следствия, основные мысли, их обоснование: понятия, факты, законы, гипотезы, методы доказательства, выводы. Фиксацию основных положений можно осуществлять в уме фразами типа: «Так, это, видимо, здесь главное, а это просто дополнительное пояснение». Пока не следует долго задерживаться  на непонятных местах, а, отметив их, двигаться дальше. В противном случае труднее увидеть основную излагаемую идею и схему проводимых рассуждений.

3.                           При повторном чтении внимание следует обратить на разбор трудных мест и их запоминание. Для этого  выясните смысл всех непонятных выражений, так как именно в них может оказаться ключ к пониманию всего ранее не понятного материала. При разборе трудных мест полезно пользоваться предметно-именным указателем, оглавлением, словарями, полезно строить схемы, чертежи, графики, иллюстрирующие те или иные положения.

4.                           По завершении работы с текстом обратите еще раз внимание на определения: подумайте, что будет, если из них выкинуть какое-либо выражение или заменить его, на ваш взгляд, равноценным.

5.                           Для полного усвоения изучаемого материала необходимо выполнить ряд упражнений по теме, полезно самим придумать вопрос или задачу. Полезно выяснить возможную связь данного материала с ранее изученным.

Приложение 3

 

Памятка работы по решению задачи

 

Решение задач есть единственный способ овладения математикой. Повысить вероятность успешного решения задач может выполнение следующих рекомендаций:

1.                             Начинайте с выявления данных задачи и ее неизвестных, которые нужно найти. Если план решения сразу не возникает, а вспомнить аналогичную задачу, решение которой вам было бы известно, вы не можете, то изобразите структуру задачи с помощью чертежа, схемы и посмотрите, чего может не хватать, на ваш взгляд, для выполнения требования, попробуйте сделать предположение о результате задачи, если это возможно. Это позволит глубже понять структуру задачи и решить ее таким образом по частям.

2.                             Если выбранный план задачи не привел к желаемому результату, не отчаивайтесь, т.к. такая ситуация вполне обычное и нормальное явление при решении задач. Выбирайте другой план решения и приступайте к его реализации. Попытайтесь видоизменить задачу, упустив условия или заменив их временно более удобными для анализа данными.

3.                             Если задача не решается, то можно сделать перерыв, после чего приступать к задаче так, словно вы встретились с ней впервые.

4.                             После решения задачи сделайте ее перепроверку: сделайте подстановку  полученных результатов в условие задачи, или повторите ход рассуждений, или решите задачу другим способом.


[1] Лошкарева Н.А., Лурье И.А. Формирование учебных умений учащихся младших классов. М.: Просвещение, 1983. С. 8.


[2] Кондрашенкова Т.А., Никольская И.Л. Формирование общелогических умений при обучении математике. М.: Наука, 1991. С. 191-210.


[3] Денищева Л.О. Вопросы формирования общеучебный умений при обучении математики. М.: Просвещение, 1991. С. 66-67.


[4] Пойа Д. Как решать задачу. М.: Просвещение, 1959.

[5] Березин В.Н. Умения и навыки творческой работы при решении задач по математике. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. С. 128.


[6] Балкин Н.А., Тхамафокова С.Т. Организация самостоятельной работы по математике учащихся IV классов. М.: Просвещение, 1989. С. 102.


[7] Лодатко Е.А. Организация самостоятельной деятельности учащихся на уроках математики. М.: Просвещение, 1991. С. 302.


[8] Якиманская И.С. Психологические особенности овладения учебными умениями в курсе математики. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. С. 157-159.


[9] Изучение трудных тем по математике в I-III классах / Сост. Н.Г. Уткина. М.: Просвещение, 2002. С. 83-90.