Задание 1

F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2= 0,8597,

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F(-2)=[Y(2)/Yp(2)+Y(6)/Yp(6)]/2=1,0792;

F(-1)=[Y(3)/Yp(3)+Y(7)/Yp(7)]/2=1,2791;

F(0)=[Y(4)/Yp(4)+Y(8)/Yp(8)]/2=0,7800;         

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1-4.

Расчет значений Yp(t), a(t), b(t) и F(t) был сделан с помощью MS Office Excel и приведены в таблице 3.

Таблица 3

2. Для того, чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда Е(t) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки точности модели построим таблицу 4.

Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 17,63, что дает среднюю величину 17,63/16=1,10%.

Т.к. 1,10%<5%, следовательно,  условие точности выполнено.

Таблица 4

3. Проверка условия адекватности построенной модели.

Для того, чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней.

Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=10 (таб. 5).

Рассчитаем значение q при N=16:

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p=10 > q=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели      Таблица 5

Проверка независимости уровней ряда остатков.

Проверку проводим двумя способами:

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

В нашем случае d>2, т.е. имеет место отрицательная автокорреляция, следовательно находим d’=4-d=1,58. Из условия задачи d1=1,10, d2=1,37,  т.о. d2<d0<2. Уровни ряда остатков являются независимыми.

б) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения   r(1)<rтабл., то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче |r(1)|=0,23<r_таб=0,32 – условие независимости  выполняется.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию

Рассчитаем значение RS:

RS=(E_max – E_min)/S,

где E_max - максимальное значение уровней ряда остатков E(t),

E_min - минимальное значение уровней ряда остатков E(t),

S - среднее квадратическое отклонение;

Так как 3<3,96<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения.

Таким образам, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.

4. Построение прогноза.

Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20).      

Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16.          Рассчитав значения a(16), b(16) можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t) (таб. 6).

Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+1*b(16)]*F(16+1-4)   

Yp(18)=Yp(16+2)=[a(16)+2*b(16)]*F(16+2-4)

Yp(19)=Yp(16+3)=[a(16)+3*b(16)]*F(16+3-4)

Yp(20)=Yp(16+4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16+4-4)

Таблица 6

5. построение графика

Рис 1

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

·        экспоненциальную скользящую среднюю;

·        момент;

·        скорость изменения цен;

·        индекс относительной силы;

·        %R, %K и %D .

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных (табл. 5).

      Таблица 7

Исходные данные о ценах открытия и закрытия

Решение.

1.     Расчет экспоненциальной скользящей средней.

При расчете экспоненциальной скользящей средней (EMA) учитываются все цены предшествующего периода, однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

EMAt=k*Ct+(1-k)*EMA(t-1)

где k = 2/(n+1);

C_t   - цена закрытия t-го дня;

EMAt  - значение  EMA текущего дня t.

Начальное значение EMA рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество (n = 5)   предшествующих дней по формуле:

MAt = (Ct-n+1 + Ct-n+2 +…+Ct)/n,

где C_t – цена закрытия  t-го дня;

MAt  - значение скользящего среднего текущего дня  t.

Расчеты представим в таблице (табл. 8) и изобразим на ценовом графике (рис. 2) экспоненциальную скользящую среднюю.

Необходимые расчеты проводим в Excel                                             Таблица 8

Рис 2

Вывод: наблюдается восходящий тренд и тенденция повышения цен c 4 по 10 день; графики не пересекаются, то есть не ожидается разворота тренда; поэтому рекомендуется покупать с 4 по 10 день.

2) Расчет момента (MOM).

Момент – это разница между конечной ценой текущего дня C_t  и цены n дней тому назад C_t-n

MOMt=Ct-Ct-n

Где n = 5,  t = 5.

Дополним расчетную таблицу (табл. 9) столбцом (MOMt) и изобразим на графике результаты расчетов (рис. 3).

Таблица 9

Рис 3

Вывод: положительные значения MOM с девятый по десятый день свидетельствуют об относительном повышении цен; график МОМ не пересекает нулевой линии, следовательно, нет сигнала к развороту тренда, рекомендуется покупка с девятого по десятый день.

3) Расчет скорости изменения цен.

Скорость изменения цен (ROC) – это отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

ROCt=(Ct/Ct-n)*100

где C_t - цена закрытия t–го дня;

ROC_t - значение ROC текущего дня t.

Дополним расчетную таблицу (табл. 10) столбцом (ROCt) и изобразим на графике результаты расчетов (рис. 4).

Таблица 10

Рис 4

Вывод: в рассматриваемой задаче наблюдается 100 % <  ROC с 5 по 10 день, поэтому рекомендуется покупать во все дни (5, 6, 7, 8, 9, 10); пересечения с уровнем 100 % нет, поэтому отсутствует сигнал разворота тренда.

4) Расчет индекса относительной силы.

Для расчета индекса относительной силы (RSI) применяют формулу:

RSIt=100-100/(1+AU/AD),

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

  AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.

 Дополним расчетную таблицу (табл. 11) и изобразим на графике результаты расчетов (рис. 5).

Таблица 11

Рис 5

Вывод: в шестой и в седьмой день график не достиг еще верхней критической зоны (перекупленности), что является сигналом к покупке в шестой и в седьмой дни; в восьмой, девятый и десятый день график  входит в верхнюю критическую зону (зону перекупленности), поэтому рекомендуется в 8, 9, 10  дни воздержаться от покупки.

5) Расчет стохастических линий: %K, %D, %R.

При расчете стохастических линий используется более полная информация (максимальные, минимальные цены и цены закрытия).

%K=100*(Ct-L5)/(H5-L5)

где % K_t  - значение индекса текущего дня t;

C_t – цена закрытия текущего дня t;

L₅  и H₅ – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Похожая формула используется для расчета % R:

%R=100*(H5-Ct)/(H5-L5)

где % R_t  - значение индекса текущего дня t;

C_t – цена закрытия текущего дня t;

L₅  и H₅ – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Индекс % D рассчитывается аналогично индексу % K, с той лишь разницей, что при его построении величины (C_t –L₅) и (H₅–C₅) сглаживают, беря их трехдневную сумму.

%D=100*Σ(Ci-Li5)/Σ(Hi5-Li5)

Расчеты представим в таблице (табл. 12) и изобразим их на графике (рис. 6)

Таблица 12

Таб.12

 Рис 6

Вывод: в данной задаче в шестой, восьмой и десятый дни стохастическая линия %K находится в верхней критической зоне (а  %R – в нижней критической зоне), что свидетельствует о перекупленности и рекомендуется воздержаться от покупки в течение 6, 8, и 10 дней; выход в пятый, седьмой и девятый дни %K и %R из критической зоны является сигналом к продаже в пятый, седьмой и девятый дни. Сигнал является достаточно сильным, так как подтверждается стохастической линией %D, которая находится в верхней критической зоне.

Задание №3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице 10. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Таблица 10

1.                     Банк выдал ссуду, размером 3 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 14.01.02, возврата – 18.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 35 % годовых. Найти:

·                          точные проценты с точным числом дней ссуды;

·                          обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

·                          обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:

I = S·n·i

где n = t/K

·                                         t=17+28+17+1=63

К = 365;  t = 63;  I = 3 000 000 · 63 / 365 · 0,35 = 181 232,88 руб.;

·                                         К = 360;  t = 53;  I = 3 000 000 · 63 / 360 · 0,35 = 183 750 руб.;

·                                         t = 16 + 30 + 18 = 64

К = 360;  t = 64;  I = 3 000 000 · 64 / 360 · 0,35 = 186 666,67 руб.

2                   Через  90 дней после подписания договора должник уплатит 3 000 000 руб. Кредит выдан под 35% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение:

 - первоначальная сумма;

D = S – P - дисконт.

2 758 620,69 руб.

D = 3 000 000 – 2 758 620,69 = 241 379,31 руб.

3                                           Через 9 дней предприятие должно получить по векселю 3 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 35% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

D = S·n·d - дисконт;

P = S – D - полученная сумма.

D = 3 000 000 · 0.35 · 90 / 360 = 262 500 руб.

P = S – D = 3 000 000 – 262 500 = 2 737 500 руб.

4       В кредитном договоре на сумму 3 000 000 руб. и сроком 5 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 35% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

S = P(1+i)ⁿ

S = 3 000 000 · (1 + 0.35)⁵ = 13 452 099 руб.

5                                           Ссуда, размером 3 000 000 руб. предоставлена на 5 года. Проценты сложные, ставка – 35% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

S = P(1+j/m)^N

Число периодов начисления в году m=4

S = 3 000 000 · (1+0,35 / 4)²⁰ = 16 058 552 руб.

6                                           Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в году, исходя из номинальной ставки 35% годовых.

Решение:

i_э = (1+j/m)^m – 1

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.

i_э = (1+0,35/4)⁴ – 1 = 0,3986  или 39,86%

7                                           Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 35% годовых.

Решение:

j = m[( 1+i_э )^1/m – 1]

j = 4·[( 1+0.35)^1/4 – 1] = 0,3116         т.е. 31,16%

8                                           Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 3 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 35% годовых.

Решение:

669 040,5 руб.

9                                           Через 5 года по векселю должна быть выплачена сумма 3 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 35% годовых. Определить дисконт.

Решение:

P = S(1 - d_сл)ⁿ

где d_сл – сложная годовая учетная ставка

P = 3 000 000 · (1 – 0,35)⁵ = 348 087 руб.

D = S – P = 3 000 000 – 348 087 = 2 651 913 руб.

10                                       В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 3 000 000,  на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 35%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

 32754831,5  млн. руб.