Постановка задачи

          99,7% значений признака появится в интервале   ± Зσ.

Соотношение (2) известно как правило «трех сигм».

Для выборочной совокупности значения      и  σ _п  рассчитаны и являются точными, поэтому, основываясь на правиле «трех сигм», можно точно оценить границы всех трех вероятностных интервалов отклонений значений признака от средней.

Ожидаемые границы вариации выборки для признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» соответствуют:

               ±σ с вероятностью Р=68,3%, т. е. ± 72,562;

±2σ с вероятностью Р=95,4%, т. е. ±145,124;

±3σ с вероятностью Р=99,7%, т. е. ±217,686.

Ожидаемые границы вариации выборки для признака «Выпуск продукции» соответствуют:

±σ с вероятностью Р=68,3%, т. е. ±86,560;

±2σ с вероятностью Р=95,4%, т. е. ±173,12;

±3σ с вероятностью Р=99,7%, т. е. ±259,68.

Для генеральной совокупности точно известна только величина σ_N, a величина   рассчитывается, поэтому прогнозные оценки попадания значений признака в тот или иной интервал является прогнозным и обычно задается в форме (2) с учетом известного значения  σ_N.  Ожидаемые границы вариации генеральной совокупности для признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» соответствуют:

               ±σ с вероятностью Р=68,3%, т. е. ± 72,562;

±2σ с вероятностью Р=95,4%, т. е. ±145,124;

±3σ с вероятностью Р=99,7%, т. е. ±217,686.

Ожидаемые границы вариации генеральной совокупности для признака «Выпуск продукции» соответствуют:

±σ с вероятностью Р=68,3%, т. е. ±86,560;

±2σ с вероятностью Р=95,4%, т. е. ±173,12;

±3σ с вероятностью Р=99,7%, т. е. ±259,68.

       Учитывая правило «трех сигм», в статистической практике величину Зσ считают в условиях нормального и близких к нему распределений максимально допустимой ошибкой наблюдения и отбрасывают результаты наблюдений для которых

                                         |х_i-х|>3σ                      (3)

Для нормального распределения справедливо равенство

                                                           R=6σ                  (4)

4. Дать сравнительную характеристику распределений единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) вариации признаков;

б) количественной однородности единиц;

в) надежности (типичности) средних значений признаков;

г) симметричности распределений в центральной части ряда.

Важная функция обобщающих показателей вариации , σ², σ,  - оценка надежности (типичности) средней величины. Для «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» значения показателей  = 57,4, σ² = 5089,8, σ = 72,562,  = 17,698 невелики, индивидуальные значения признака ряда мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны и, следовательно, среднее арифметическая величина является надежной характеристикой данной совокупности.

Для «Выпуск продукции» значения показателей  = 65,56, σ² = 7243,01, σ=86,560,  = 22,121 невелики, индивидуальные значения признака ряда мало отличаются друг от друга , единицы наблюдения количественно однородны и, следовательно, среднее арифметическая величина является надежной характеристикой данной совокупности.

  5.Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения.  Рассчитать моду Мо полученного интервального ряда и сравнить ее с показателем Мо несгруппированного ряда данных.

        Возможность отнесения кривой распределения эмпирических данных к типу кривых нормального распределения устанавливается путем анализа формы гистограммы вариационного ряда распределения с учетом оценок показателей особенностей формы распределения.

При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов значений признака по интервалам (группам).

Гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания считать выборку однородной по данному признаку, (рис.2 ).

Установив однородность совокупности, для дальнейшего анализа формы распределения используются описательные параметры выборки. Анализируются параметры  и σ_п, выступающие в качестве статистических оценок соответствующих параметров нормального распределения – математического ожидания М[] и стандартного отклонения  σ _n  генеральной совокупности.

Графический анализ позволяет судить о близости эмпирического распределения нормальному закону распределения.

Результаты визуального анализа не противоречат значениям полученных коэффициентов эксцесса и асимметрии, которые приведены в таблице:

Таблица 11.

Значения коэффициентов.

Для полученного интервального ряда значение моды М₀ рассчитывается по формуле:

                     f _Мо – f_Мо-1

М_о = Х_о + h -------------------------------      ,

                       (f_Мо – f_Мо-1)+ (f_Мо – f_Мо+1)

где Х_о – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f _Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

                         11-5

М_о = 380 + 60-------------------- = 395 млн.руб.     

                          (11-5)+(11+7)

Полученные значения (395 млн.руб.) отличаются от моды из   таблицы 8 (425 млн.руб.) на 30 млн.руб.

Статистический анализ  генеральной совокупности

1.   Рассчитать генеральную дисперсию , генеральное среднее квадратическое отклонение  и ожидаемый размах вариации признаков R_N. Сопоставить значения этих показателей для генеральной и выборочной дисперсий.

Генеральные показатели , , As, Ek рассчитаны с помощью инструмента Описательная статистика и их значение представлены в табл.3. Для этих показателей сформирована отдельная таблица 12.

Таблица 12.

«Описательные статистики генеральной совокупности».

                                                       R_N =6σ.

Прогнозное значение R_N  по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов больше, чем R_n  на 135,36.

Прогнозное значение R_N  по признаку Выпуск продукции больше, чем R_n  на 159,36.

Проверить выполнимость для показателей σ²n, ,равенства = σ²n

Для «Среднегодовой стоимости основных производственных фондов»

5265,310=(30/29)* 5089,8

5265,310= 5265,310

Для «Выпуск продукции» значения показателей

7492,768= (30/29)* 7243,01

7492,768= 7492,768

Равенство выполняется.

2.Для изучаемых признаков рассчитать:

а) среднюю ошибку выборки;

б) предельные ошибки выборки для уровней надежности P=0,683, P=0,954, P=0,997 и границы, в которых будут находиться средние значения признака генеральной совокупности при заданных уровнях надежности.

Средние ошибки выборки для средних значений  приведены в табл.3.

Значения предельных ошибок выборки имеются в табл.3, табл.4а и табл.4б. На основе этих данных следует сформирована таблица 13.

Таблица 13.

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних

3.Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок  сделать вывод о степени близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному распределению.

Значения коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ек представлены в таблице 11.

«Среднегодовой стоимости основных производственных фондов»

Вывод:

В данной лабораторной работе был осуществлен расчет целого ряда статистических показателей, вследствие группирования исходных данных по признаку «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» был получен ряд распределения, и по этому ряду распределения были построены гистограмма и кумулята. В результате проведенного графического анализа было установлено, что полученное эмпирическое распределение близко к нормальному закону распределения. Этот вывод получил подтверждение после расчета показателей As (коэффициента асимметрии) и Ек (коэффициента эксцесса). Рассчитанное значение коэффициента As свидетельствует о том, что асимметрия распределения является незначительной, а полученное значение коэффициента Ек говорит о том, что данное распределение по сравнению с кривой нормального распределения является пологим, т. е. значения признака рассеянны от x_min до х_maх.

2. Рабочий файл с результативными таблицами и графиками

Рис.1. Аномальные значения признаков на диаграмме рассеяния.

Рис. 2. Гистограмма и кумулята интервального ряда распределения для демонстрационного примера