1.    Постановка задачи

1. Количество аномальных единиц наблюдения – 2, согласно табл.2: предприятие № 31 со среднегодовой стоимостью производственных фондов - 3695 млн.руб., и выпуском продукции – 945 млн.руб., и предприятие №12 со среднегодовой стоимостью производственных фондов – 1160 млн.руб., и выпуском продукции – 2925 млн.руб.

         2. Рассчитанные выборочные показатели представлены в таблицах 3 5. Сформируем на основе этих таблиц единую таблицу значений выборочных совокупностей:

              3. На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценим:

а) степень колеблемости значений признаков в совокупности;

Для этого необходимо оценить коэффициентом вариации V_s

Принята следующая оценочная шкала колеблемости признака:

0%<V_s40%      -    колеблемость незначительная;

40%< V_s60%   -    колеблемость средняя (умеренная);  (6)

V_s>60%              -    колеблемость значительная.

Вывод: В данной задаче:

V_s1=17,04883907%<40% - колеблемость незначительная;

V_s2=21,74952089%<40% - колеблемость незначительная.

б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам. Для нормальных и близких к нормальному распределений показатель V_s служит индикатором однородности совокупности: принято считать, что при выполнимости неравенства

V_s33%                                                   (7)

совокупность является количественно однородной по данному признаку.

Вывод: Изучаемая совокупность является качественно однородной по обоим признакам, так как для них выполняется условие V_s33% (для первого признака V_s =17,04883907 дл второго V_s =21,74952089)

в) устойчивость индивидуальных значений признаков;

Устойчивость индивидуальных значений признаков оценим на основе сопоставления средних отклонений – квадратического и линейного . В условиях распределений, близких к нормальному, между показателями и  имеет место равенство:  поэтому отношение показателей и  может служить индикатором устойчивости данных.

По первому признаку: =  0,804566

По второму признаку:  =0,770335

Вывод: Поскольку индикатор устойчивости данных для признака «среднегодовая стоимостью производственных фондов» больше 0,8, то делаем вывод, что значение данного признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы. Поэтому, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц  наблюдений, некоторые аномалии в первичных данных продолжают сохраняться. По второму признаку делаем вывод об устойчивости  значений признака.

г) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны (), (), (). Сформируем следующую таблицу:

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

Сопоставление полученных процентных соотношений рассеяния значений признаков по диапазонам с ожидаемым по правилу «трех сигм» показывает, что в первый диапазон попадает меньше значений. Соответственно по первому признаку – 66,7%, по второму – еще меньше 63,3% против ожидаемых 68,3%. Во второй диапазон по обоим признакам попадает по 93,3% значений, что также меньше вероятностной оценки - 95,4%. В третьем диапазоне появляются все значения по обоим признакам (ожидаемое – 99,7%).

Вывод: распределение данных по диапазонам близко к нормальному.

4.     Дадим сравнительную характеристику распределений единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) Вариации признаков. Сравнение показателей вариации для двух изучаемых признаков показывает, что по второму признаку (выпуск продукции) величины всех показателей вариации выше:

ü  размах вариации 2340 против 1950 млн. руб.;

ü  дисперсия 306017,1725 против 215044,05;

ü  среднее линейное отклонение 426,14 против 373,1 млн.руб.;

ü  среднее квадратическое отклонение 553,188189 против 463,7284227 млн.руб.;

ü  коэффициент вариации 21,74952089 против 17,04883907%.

Вывод: степень колеблемости значений второго признака выше.

б) Количественной однородности единиц. Величина коэффициента вариации по  признаку хотя и больше, но она не превышает 33%, следовательно, в обеих совокупностях единицы количественно однородны.

в) Надежности (типичности) средних значений признаков. Количественная однородность единиц первой совокупности означает, что индивидуальные значения среднегодовой стоимости основных фондов мало отличаются друг от друга и средняя арифметическая величина =2720 млн. руб. является надежной характеристикой данной совокупности. Точно также и средняя величина выпуска продукции =2543,45 млн. руб. является типичной для своих индивидуальных значений.

г) Симметричности распределений в центральной части ряда.

Для этого сравним величины структурного коэффициента асимметрии К.Пирсона (As_п) между собой и с оценочной шкалой асимметричности (13)

|As|0,25             - асимметрия незначительная;

0,25<|As|0,5     - асимметрия заметная (умеренная);       (13)

|As|>0,5               - асимметрия существенная.

Вывод: По первому признаку As_п=-0,21. Следовательно, имеет место незначительная левосторонняя асимметрия (As_п <0 и по модулю не превышает 0,25).

По второму признаку As_п=0,015 (As_п>0 и по модулю не превышает 0,25). Следовательно, асимметрия правосторонняя, но ничтожно малая. Распределение можно считать симметричным.

Кроме того, для первого признака справедливо неравенство:

, 2720<2749,25<2817,5

Это также указывает на левостороннюю асимметрию, т.е. вершина кривой распределения немного сдвинута вправо, а левая ветвь кривой оказывается длиннее правой. Для второго признака все три характеристики центра распределения очень близки между собой, поэтому можно записать: , 2543,452525,252535. Это подтверждает вывод о симметричности распределения.

          5. Анализ полученного интервального вариационного ряда и формы гистограммы показывает, что эмпирическое распределение имеет сходство (хотя и не строгое) с нормальным распределением. Проявляется оно в том, что крайние значения признака (близкие к X_max и X_min) встречаются много реже, чем серединные, гистограмма имеет одновершинную форму, она приблизительно симметрична, так как ее «хвосты» не очень длинны (за пределами интервала лежат по 6,7% вариантов), а в диапазоне располагается основная масса единиц – 66,7%. Таким образом, характер (тип) распределения единиц совокупности по признаку «среднегодовая стоимость основных производственных фондов» можно считать близким к нормальному (наблюдается незначительная левосторонняя асимметрия, что установлено в задании 4г.)

              Для получения интервального ряда значение моды рассчитаем по формуле:

              Модальный интервал 2525-2915, следовательно x_Mo=2525, величина модального интервала h=2915-2525=390, частота модального интервала f_Mo=11, частота предмодального интервала f_Mo-1=5, частота послемодального интервала f_Mo+1=7.

              Таким образом, после расчета, Mo=2759 млн.руб. Показатель моды, рассчитанный для интервального ряда данных (2759 млн.руб.) не совпадает с аналогичным показателем для несгруппированных данных (2817,5 млн.руб.). Это объясняется разной методикой расчета.

По несгруппированным данным модой является наиболее часто встречающийся вариант. Им оказалось значение признака 2817,5, которое встретилось в совокупности три раза, другие значения присутствовали в единственном числе. По сгруппированным данным величина моды зависит от нижней границы, размера и частоты модального интервала, а также от предмодальной и послемодальной частот.

Статистический анализ  генеральной совокупности

         1. На основании таблицы 3 сформируем  таблицу 10 для генеральных показателей совокупности:

Таблица 10

Описательные статистики генеральной совокупности

Степень расхождения между   устанавливается по формуле (16):

.

Поправочный коэффициент n/(n-1)=30/(30-1)=30/29=1.034482758. Его значение близко к единице, следовательно, степень расхождения между  и  незначительная. Степень расхождения между  и  еще меньше и составляет 1,017095255.

Определим прогнозное значение размаха вариации признака в генеральной совокупности:

          Степень расхождения между  и  

по первому признаку =2829,93581/1950 = 1,451249164;

по второму признаку = 3375,870494/2340=1,442679698.

         Вывод: Прогнозное значение  по первому признаку превосходит  в 1,45 раза, по второму – в 1,44 раза, т.е. степень расхождения между  и  следует считать существенной.

2. Для изучаемых признаков рассчитать:

а) Средние ошибки выборки (параметр Стандартная ошибка) рассчитаны и приведены в табл. 3. «Описательные статистики»

б) Оценки предельных ошибок выборки имеются в табл.3,4а, 4б. На основе этих оценок и формулы (15) определим ожидаемые границы для генеральных средних, результаты представим в таблице 11.

Таблица 11

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральной совокупности

Ожидаемые границы для генеральных средних вычисляются как среднее по признаку ± предельные ошибки выборки для каждой доверительной вероятности

              3. Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок  сделать вывод о степени близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному распределению.

              Поскольку распределение единиц выборочной совокупности по каждому признаку близко к нормальному, выборка является репрезентативной (значение показателей  и  расходятся незначительно) и при этом коэффициент асимметрии по обоим признакам меньше 0,25 (табл.3). Т.е. есть основание полагать, что распределение единиц генеральной совокупности близко к нормальному распределению.

              Коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений. В нашем случае для обоих признаков он <0, следовательно вершина кривой эмпирического распределения лежит несколько ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от X_max до X_min.

Экономическое содержание задач

статистического исследования

1.     Типичны ли образующие выборку предприятия по значениям изучаемых экономических показателей?

В результате визуального анализа диаграмму рассеяния значений показателей, были выделены 2 предприятия с резко выделяющимися характеристиками (см. табл.2): №31 с максимальной стоимостью основных производственных фондов (3695млн. руб.) и минимальным выпуском продукции (975 млн. руб.) и №12 - с минимальной стоимостью основных производственных фондов (1160 млн. руб.) и достаточно высоким выпуском продукции (2925 млн. руб.). Остальные, образующие выборку предприятия, типичны по значениям изучаемых экономических показателей.

         2. Типичный уровень для предприятий среднегодовой стоимости основных фондов – 2720млн. руб., а типичный уровень выпуска продукции – 2543,45 млн.руб.

Наиболее характерные для предприятий значения показателей представлены в таблице:

В 1 признак входят 20 предприятий (№№2,3,4,6,7,9,10,13,14,17,18,19,20,22,24,25,26,28,29,30), во 2 признаке 19 предприятий (№№1,2,3,4,6,8,9,13,14,17,18,20,24,25,26,28,

29,30,32).

3. Насколько сильны различия в экономических характеристиках предприятий выборочной совокупности? Можно ли утверждать, что выборка сформирована из предприятий с достаточно близкими значениями по каждому из показателей?

Предприятия достаточно однородны по обоим изучаемым экономическим характеристикам, т.к. коэффициент вариации не превышает 33%. При этом по первому признаку выборка сформирована из предприятий с более близкими значениями (Vσ=17,04883907%), чем по выпуску продукции (Vσ=21,74952089%). Максимальное расхождение в значениях показателей:

·        по первому признаку – 1950 млн.руб.

·        по второму признаку – 2340 млн.руб.

4. Какова структура предприятий выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных фондов? Каков удельный вес предприятий с наибольшими, наименьшими и типичными значениями данного показатели? Какие именно это предприятия?

Структура предприятий выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных фондов представлена в таблицы 7.

Удельный вес предприятий с типичными значениями рассматриваемого показателя – 36,7%. Модальный интервал – 2525-2915 млн.руб. В него вошли 11 предприятий (№№3,4,6,7,9,13,14,17,25,26,28).

В группу с наименьшей стоимостью основных фондов 1745-2135 млн.руб. входят 4 предприятия (13,3%) (№№1,5,23,27).

В группу с наибольшей стоимостью основных фондов 3305-3695млн.руб. входят 3 предприятия (10%) (№№11,16,21).

          На основе анализа можно сделать вывод о том, что большинство предприятий сосредоточены в модальном интервале, то есть в интервале с наиболее типичными значениями изучаемого показателя.

         5. Носит ли распределение предприятий по группам закономерный характер и какие предприятия (с более высокой или более низкой стоимостью основных фондов) преобладают в совокупности?

         Гистограмма ряда распределения по среднегодовой стоимости основных фондов представлена на рисунке 1.        По гистограмме визуально можно установить, что распределение предприятий по группам носит закономерный характер. Судя по величине показателя асимметрии = -0,21025237, имеет место незначительная левосторонняя асимметрия (<0 и по абсолютной величине не превышает 0,25). Это означает, что в совокупности чаще встречаются предприятия с более низкой стоимостью основных фондов. Действительно, в 1-ой группе на одно предприятие больше, чем в 5-ой.

6. Каковы ожидаемые средние величины среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции на предприятиях корпорации в целом? Какое максимальное расхождение в значениях показателя можно ожидать?

         Максимальное расхождение в значениях первого показателя можно ожидать в размере 2829,93581 млн.руб., второго – 3375,870494 млн.руб.