Постановка задачи

При проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий корпорации получены выборочные данные по 32-м предприятиям, выпускающим однородную продукцию  (выборка 10%-ная, механическая), о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и  о выпуске продукции за год.

В проводимом статистическом исследовании обследованные предприятия выступают как единицы выборочной совокупности, а показатели Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Выпуск продукции – как изучаемые признаки единиц.

Для проведения автоматизированного статистического анализа совокупности выборочные данные представлены в формате электронных таблиц процессора Excel в диапазоне ячеек B4:C35. Для демонстрационного примера (ДП) выборочные данные приведены в табл. 1-ДП.

Таблица 1-ДП

Исходные данные демонстрационного примера

В процессе исследования совокупности необходимо решить ряд статистических задач для выборочной и генеральной совокупностей.

Статистический анализ выборочной совокупности

1.     Выявить наличие среди исходных данных резко выделяющихся значений признаков («выбросов» данных) с целью исключения из выборки аномальных единиц наблюдения.

2.     Рассчитать обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам: среднюю арифметическую ( ), моду (Мо), медиану (Ме), размах вариации (R), дисперсию( ), средние отклонения – линейное ( ) и квадратическое (σn), коэффициент вариации (Vσ), структурный коэффициент асимметрии  К.Пирсона (Asп).

3.     На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценить:

а) степень колеблемости значений признаков в совокупности;

б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам;

в) устойчивость индивидуальных значений признаков;

г) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны ( ), ( ), ( ).

4.     Дать сравнительную характеристику распределений единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) вариации признаков;

б) количественной однородности единиц;

в) надежности (типичности) средних значений признаков;

г) симметричности распределений в центральной части ряда.

5.     Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения. Рассчитать моду Мо полученного интервального ряда и сравнить ее с показателем Мо несгруппированного ряда данных.

Статистический анализ  генеральной совокупности

1.                Рассчитать генеральную дисперсию , генеральное среднее квадратическое отклонение  и ожидаемый размах вариации признаков R_N. Сопоставить значения этих показателей для генеральной и выборочной дисперсий.

2.                Для изучаемых признаков рассчитать:

а) среднюю ошибку выборки;

б) предельные ошибки выборки для уровней надежности P=0,683, P=0,954, P=0,997 и границы, в которых будут находиться средние значения признака генеральной совокупности при заданных уровнях надежности.

3.                Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок  сделать вывод о степени близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному распределению.

Решение задачи в MS Excel

РЕШЕНИЕ

1.       Анализ показал, что в исходных данных имеются аномальные значения.

Для проведения анализа исключим эти аномальные значения признаков из совокупности.

2.       Анализ статистических показателей совокупности по показателю «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс.руб.» представлен в таблицах 3 – 5 файлов MS Excel.

Описательная (дескриптивная) статистика является инструментом статистического описания данных, представляющих всю наблюдаемую совокупность в целом. Цель описательной статистики – получение сводных (обобщающих) показателей, характеризующих исходную совокупность данных как генеральную (а не как выборку из некоторой другой совокупности большего объема).

Показатели, вычисляемые с помощью описательных статистик (так называемые описательные параметры), можно разбить на 3 группы - показатели положения вариантов значений признака, вариации признака и особенностей формы его распределения.

Показатели положения описывают положение в первичном ряде данных тех или иных вариантов значений признака, характеризующих ряд. К ним относятся:

·  максимальное x_max и минимальное x_min значения признака;

·  средняя арифметическая величина  (выступающая в качестве статистической оценки математического ожидания M[ ] средней величины признака);

·  мода Мо - наиболее часто встречающийся вариант значений признака или тот вариант, который соответствует максимальной ординате эмпирической кривой распределения;

·  медиана Ме - серединное значение ранжированного ряда вариантов значений признака;

·  нижний и верхний квартили Q₁ и Q₃, ограничивающие центральную зону ранжированного ряда, в которую попадают 50% вариантов значений признака: 25% вариантов значений меньших серединного значения Ме и 25% вариантов значений больших Ме

Среди показателей этой группы наиболее часто используются показатели центра распределения - , Mo и Me. При этом  рассчитывается для первичного ряда наблюдаемых данных, Mo и Me - для ранжированного (упорядоченного) ряда.

Для  и Me характерны свойства:

,                                

Показатели вариации (колеблемости) признака описывают степень рассеяния вариантов значений признака относительно своего центра  (или Ме). Различают показатели размера и интенсивности вариации. К показателям размера вариации относятся:

·                   размах вариации R= x_max - x_min, устанавливающий предельное значение амплитуды колебаний признака;

·                   межквартильный размах Q_3─Q_1, определяющий максимальную амплитуду колебаний в центральной зоне ряда (ограниченной квартилями Q₁ и Q₃);

·                   среднее линейное отклонение , вычисляемое как среднее арифметическое из абсолютных отклонений |x_i - |:

дисперсия s² (или D), рассчитываемая как среднее арифметическое из квадратов отклонений (x_i - ):

·                   среднее квадратическое (стандартное) отклонение s, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии s²:

Интенсивность вариации признака  измеряется относительными показателями

V_s=  , V_d=  , V_R=  , V_Me= .

Показатели R,  и s являются величинами именованными и выражаются в тех же единицах, что и изучаемый признак. Дисперсия s² считается безразмерной величиной. Относительные показатели интенсивности вариации, как правило, измеряются в процентах.

Показатели s², s, основанные на учете отклонений (x_i- ) индивидуальных значений признака x_i от средней арифметической , являются обобщающими характеристиками различия в значениях признака.

Дисперсия s²  оценивает средний квадрат отклонений (x_i - ). Величина s очень чутко реагирует на вариацию признака (за счет возведения отклонений в квадрат) и органически вписывается в аппарат математической статистики (дисперсионный, корреляционный анализ и др.). На расчете дисперсии основаны многие статистические показатели.

Среднее квадратическое отклонение s показывает, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака x_i от их средней величины . Размерность отклонения s совпадает с размерностью самого признака, поэтому этот показатель экономически хорошо интерпретируется. Отклонения, выраженные в s, принято считать стандартными.

Интенсивность вариации обычно измеряют коэффициентом вариации V_{s ,} который выражается в процентах и вычисляется по формуле

Величина V_s оценивает интенсивность колебаний вариантов относительно их средней величины. Принята следующая оценочная шкала колеблемости признака:

0%<V_s 40%     -    колеблемость незначительная;

40%< V_s 60% -    колеблемость средняя (умеренная);            (6)

V_s>60%              -    колеблемость значительная.

Для нормальных и близких к нормальному распределений показатель V_s служит индикатором однородности совокупности: принято считать, что при выполнимости неравенства

V_s 33%                                                  

совокупность является количественно однородной по данному признаку.

Коэффициент вариации V_s часто используется для сравнения колеблемости признаков в различных рядах распределения, когда сравнивается вариация разных признаков в одной и той же совокупности или же вариация одного и того же признака в различных совокупностях, имеющих разные средние .

Показатели особенностей формы распределения. Для определения типа закономерности эмпирического распределения оно приближенно описывается подходящим теоретическим (вероятностным) распределением, форму кривой которого называют формой распределения. В тех случаях, когда форма распределения анализируется на ее близость к нормальной форме, расхождение между ними оценивается показателями асимметрии и эксцесса.

Показатели асимметрии оценивают смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.

В симметричном распределении максимальная ордината прямой располагается точно в середине кривой, а соответствующие ей характеристики центра распределения совпадают:

=Mo=Me         

В случае асимметричного распределения вершина кривой находится не в середине, а сдвинута либо влево, либо вправо

Если вершина сдвинута влево, то правая часть кривой оказывается длиннее левой, т.е. имеет место правосторонняя асимметрия, характеризующаяся неравенством

>Me>Mo,                                                      

что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака.

Если же вершина кривой сдвинута вправо и левая часть оказывается длиннее правой, то асимметрия левосторонняя, для которой справедливо неравенство

<Me<Mo,                                                      

означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака.

Чем больше величина расхождения между , Me, Mo, тем более асимметричен ряд. Разности  являются простейшими показателями асимметрии в рядах распределения.

В нормальном и близких к нему распределениях основная масса единиц (почти 70%) располагается в центральной зоне ряда, в диапазоне ( ). Для оценки асимметричности распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона:

.                                       

При правосторонней асимметрии As_п>0, при левосторонней As_п<0. Если As_п=0, вариационный ряд симметричен.

Наиболее точным показателем асимметрии распределения является коэффициент асимметрии As, вычисляемый по формуле

,                                               

где n – число единиц совокупности. Как и в случае коэффициента Пирсона, при As>0 имеет место правосторонняя  асимметрия при As<0 – левосторонняя. В симметричных распределениях As=0.

Чем больше величина |As|, тем более асимметрично распределение. Установлена следующая оценочная шкала асимметричности:

|As| 0,25             - асимметрия незначительная;

0,25<|As| 0,5     - асимметрия заметная (умеренная);      

|As|>0,5               - асимметрия существенная.

Поскольку коэффициенты As_п и As являются относительными безразмерными величинами, они часто применяются для сравнительного анализа асимметричности различных рядов распределения.

Показатель эксцесса характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой.

Для оценки расхождений в степени крутизны кривых (при одинаковой силе вариации) применяется коэффициент эксцесса Ek:

                                      .                                

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений. Это объясняется тем, что за базу сравнения принята кривая нормального распределения, являющаяся симметричной. Относительно вершины нормальной кривой и определяется выпад вверх или вниз вершины теоретической кривой эмпирического распределения. При этом:

·        если Ek>0, то вершина кривой распределения располагается выше  вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений близких к средним;

·        если Ek<0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin.

Для нормального распределения Ek=0, поэтому чем больше абсолютная величина |Ek|, тем существеннее распределение отличается от нормального. В частности большая отрицательная величина Ek означает преобладание у признака крайних значений, причем одновременно и более низких, и более высоких. При этом в центральной части распределения может образоваться «впадина», превращающая распределение в двухвершинное (U – образной формы), что является индикатором неоднородности совокупности.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

·     Средняя арифметическая признака равна 23370 тыс.руб.

·     Стандартное отклонение – 737,47 тыс.руб.

·     Мода –24205 тыс.руб.;

·     Медиана – 23620,5 тыс.руб.

·     Дисперсия -16316026,69 тыс.руб.;

·     Среднее квадратическое отклонение – 4039,31 тыс.руб.;

·     Коэффициент вариации – 16,99%;

·     Коэффициент ассиметрии - -0,15.

·     Эксцесс – -0,34

Для показателя среднегодовой стоимости основных производственных фондов средняя арифметическая равна 23370 тыс.руб. Наиболее часто встречаются предприятия со среднегодовой стоимостью в размере 24205 тыс.руб. Половина предприятия имеют среднегодовую стоимость основных фондов больше 23620,5 тыс.руб., а у половины – меньше этого значения.

Значение коэффициента вариации составляет 16,99%, то есть меньше 33 %, что свидетельствует, что колеблемость признака незначительна, распределение признака близко к нормальному, совокупность является количественно однородной по данному признаку.

Значение коэффициента ассиметрии по модулю меньше 0,25, что свидетельствует о том, что ассиметрия незначительна.

Учитывая, что х (23370) < Me (23620,5) < Mo (24205), то можно говорить о том, что имеет место левосторонняя ассметрия. То есть  вершина гистограммы сдвинута вправо и левая часть графика длиннее правой.

Анализ статистических показателей совокупности по показателю «Выпуск продукции, тыс.руб.» (таблицы 3 - 5) позволяет сделать следующие выводы:

·     Средняя арифметическая признака равна 21782,37 тыс.руб.

·     Стандартное отклонение – 879,74тыс.руб.

·     Мода – 21710 тыс.руб.;

·     Медиана – 21626,50 тыс.руб.

·     Дисперсия -23218425,96 тыс.руб.;

·     Среднее квадратическое отклонение – 4818,55 тыс.руб.;

·     Коэффициент вариации – 21,75%;

·     Коэффициент ассиметрии – +0,04.

·     Эксцесс – -0,21.

Для показателя выпуска продукции средняя арифметическая равна 21782,37 тыс.руб. Наиболее часто встречаются предприятия с выпуском продукции в размере 21710 тыс.руб. Половина предприятия выпускают продукции на сумму большую  21626,50 тыс.руб., а у половины – меньше этого значения.

Значение коэффициента вариации составляет 21,75%, то есть меньше 33 %, что свидетельствует, что колеблемость признака незначительна, распределение признака близко к нормальному, совокупность является количественно однородной по данному признаку.

Значение коэффициента ассиметрии по модулю меньше 0,25, что свидетельствует о том, что ассиметрия незначительна.

3. На основе рассчитанных показателей оценим:

Для показателя «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс.руб.»

а)     показатель колеблемости признака незначительна, т.к. коэффициент вариации равен 16,99 % т.е.  находится в пределах 0 – 40 %.

б)    совокупность признаков однородна, так как коэффициент вариации вариации равен 16,99 %, т.е. меньше 33 %. Таким образом можно говорить о высокой надежности среднего значения признака.

в)    Об устойчивости индивидуальных значений признака свидетельствует  отношение линейного и квадратического отклонений.

Для совокупности признака: d / σ = 0,80

Индивидуальные значения признака устойчивы, то есть в рассматриваемой совокупности отсутствуют аномальные значения признаков.

г)     Посчитаем количество индивидуальных значений признаков, попадающих в диапазоны:

Таким образом, соблюдается правило трех σ – в пределах этого диапазона находится 100 % рассматриваемого признака.

Для показателя «Выпуск продукции, тыс.руб.»

а)     показатель колеблемости признака незначительна, т.к. коэффициент вариации равен 21,75, т.е.  находится в пределах 0 – 40 %.

б)    совокупность признаков однородна, так как коэффициент вариации равен 21,75, т.е. меньше 33 %. Таким образом можно говорить о высокой надежности среднего значения признака.

в)     Об устойчивости индивидуальных значений признака свидетельствует  отношение линейного и квадратического отклонений.

Для совокупности признака: d / σ = 0,77

Индивидуальные значения признака устойчивы, то есть в рассматриваемой совокупности отсутствуют аномальные значения признаков.

г)     Посчитаем количество индивидуальных значений признаков, попадающих в диапазоны:

Таким образом, соблюдается правило трех σ – в пределах этого диапазона находится 100 % рассматриваемого признака.

4. Сравнительная характеристика распределений.

4.1. Показатели колеблемости выше у показателя «Выпуск продукции, тыс.руб.», так как коэффициент вариации этого признака равен 21,75% (по сравнению с 17,07 %).

4.2. Совокупность признаков «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс.руб.» более однородна, так как коэффициент вариации этого признака меньше и равен 16,99 % (по сравнению с 21,75 %).

4.3. Индивидуальные значения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс.руб.» более устойчивы, т.к. отношение линейного и квадратического отклонений у этого признака болеьше (0,8 по сравнению с 0,77).

4.4. Показатели симметрии лучше у показателя «Выпуск продукции, тыс.руб.». Так, коэффициент ассиметрии у данного признака 0,04, т.е. график распределения практически симметричен. Для признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс.руб.» имеет место левосторонняя ассметрия (т.к. х < Me < Mo), то есть  вершина гистограммы сдвинута вправо и левая часть графика длиннее правой.

5. Построим интервальный вариационный  ряд и гистограмму распределений единиц совокупности по признаку «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс.руб.».

х_мо = 21700 тыс.руб.