1.     Вычислить определитель.

Решение:

Определитель будем вычислять с помощью свойств определителя.

Ответ: 1056

2.     Найти произведение матриц.

а)        б)

Решение:

а)

б)

3.     Решить систему методом Крамера.

Решение:

Будем искать по формулам Крамера:

Найдем определители  по методу треугольника.

Тогда

Ответ:

4.     Решить систему с помощью обратной матрицы.

Решение:

Запишем систему в матричном виде:

где

Тогда решение X будем искать по формуле:

Найдем обратную матрицу :

Вычислим определитель  и алгебраические дополнения:

Составим присоединенную матрицу :

Обратную матрицу вычислим по формуле:

Теперь найдем решение системы:

5.     Решить систему методом Гаусса.

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и приведем к ступенчатому виду:

Ответ:

6.     Решить две системы с одинаковыми главными матрицами.

           

Решение:

Найдем решение системы с помощью метода Гаусса:

Решение первой системы:

За базисные неизвестные примем x и y, за свободную z. Выразим через свободные неизвестные базисные:

Тогда общее решение системы:

Аналогично решим вторую систему:

За базисные неизвестные примем x и y, за свободную z. Выразим через свободные неизвестные базисные:

Тогда общее решение системы:

7.     Ниже даны координаты трех точек на плоскости А, В, С.

Выполнить следующие действия:

а) Написать уравнение прямой АВ;

б) Вычислить угол между прямой АВ и прямой ;

в) Через точку С провести прямую, параллельную прямой АВ;

г) Через точку С провести прямую, перпендикулярную прямой АВ;

д) Найти проекцию точки С на прямую АВ;

е) Найти координату точки D, симметричной точке С относительно прямой АВ;

ж) Вычислить площадь треугольника АВС.

Решение:

а) Напишем уравнение прямой АВ:

б) Угол между прямыми найдем по формуле

в) Воспользуемся условием параллельности двух прямых:

Угловой коэффициент прямой АВ равен:

Составим уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С:

г) Воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых:

Тогда

Аналогично составляем уравнение прямой, перпендикулярной АВ:

д) Найдем координаты точки Н, точки пересечения прямой АВ и СН:

Координаты точки Н(-3;-8)

Тогда проекция равна:

е) Точка H является серединой отрезка СD:

 

Ответ: D(-8;-15)

ж) Вычислим площадь АВС:

8.     Ниже даны координаты вершин пирамиды ABCD.

Найти:

а) Длину ребра АВ;

б) Косинус угла между ребрами АВ и AD;

в) Площадь грани АВС;

г) Объем пирамиды;

д) Уравнение прямой АВ;

е) Уравнение плоскости АВС;

Решение:

а) Найдем координаты вектора :

Тогда его длина равна:

б) Найдем координаты вектора AD и его длину:

Найдем косинус:

в) Найдем координаты вектора :

Далее найдем векторное произведение векторов и :

Тогда

г) Найдем объем пирамиды:

Воспользуемся смешанным произведением:

д) Найдем уравнение прямой АВ:

е) Найдем уравнение плоскости АВС:

Ответ: