СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1…………………………………………………………………….............3

Задача 2…………………………………………………………………………...13

Задача 3.…………………………………………………………………………..19

Список литературы………………………………………………………………22

Задание 1.

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a₁=0,3; a₂=0,6; a₃=0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

-  нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение.

Исходные данные:

Таблица 1

Цена акции за 16 кварталов (4 года)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	35	42	52	34	37	48	59	36
t	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	41	52	62	38	46	56	67	41

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонного временного ряда мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

 

Y_p(t+k)   =   [ a(t) + k*b(t) ] * F(t+k-L)                                                (1)

где  k – период упреждения,

    Y_p(t)- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

    a(t) , b(t)  и  F(t) коэффициенты модели, они адаптируются, уточняются   по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

   F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для         которого рассчитывается экономический показатель. L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных  L=12). Таким образом, если по формуле 3.1 рассчитывается значение экономического показателя, например, за второй квартал, то F(t+k-L)  как  раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

         a(t) =a1* Y(t)/F(t-L) + (1 - a1) * [ a(t-1)+b(t-1) ]                      (2)

        b(t) =a3* [ a(t) – a(t-1) ]  +  (1 - a3) * b(t-1)                              (3)

        F(t)=a2*Y(t)/a(t)+(1-a2)*F(t-L)                                                  (4)

Параметры сглаживания a1 , a2  и  a3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (то есть чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 1 –4 видно, что для расчета a(1)  и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (то есть для t=1-1=0). Значения a(0)  и b(0)  имеют смысл этих же коэффициентов  для  четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:

Y_p(t) = a(0) + b(0) * t.

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и  b(0) по следующим формулам:

                                                        

 

a(0) = Y_cp  - b(0)*t                                                     

 

Применяя линейную модель к первым 8 значениям  ряда  из таблицы 1 (то есть к данным за  первые 2 года), находим значения  a(0)=39,21, b(0)=0,87

С учетом полученных коэффициентов линейное уравнение имеет вид: Y_p(t) = 39,21 + 0.87 * t. Из этого уравнения находим расчетные  значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (таблица 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения  коэффициентов  сезонности 1–4 кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1.  Эти значения  необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4)   и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной  модели значений Y_p(t)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	35	44	52	34	37	48	59	36
Yp(t)	40,08	40,95	41,82	42,69	43,56	44,43	45,3	46,17

 

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности первого квартала  F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) первого квартала первого года, равное Y(1)/Y_p(1)   и такое же отношение для первого квартала второго года (то есть за пятый квартал t=5) Y(5)/Y_p(5). Для  окончательной, более точной оценки этого коэффициента  сезонности можно использовать среднее арифметическое  значение  этих двух величин

F(-3)=[Y(1)/Y_p(1)+Y(5)/Y_p(5)]/2=[35/40,08+37/43,56]/2= =[0,8733+0,8494]/2=0,8614

Аналогично находим  оценки коэффициенты сезонности для второго, третьего и четвертого кварталов:

F(-2) =  [ Y(2)/Y_p(2)  + Y(6)/Y_p(6) ] / 2 =  1,0774

F(-1) =  [ Y(3)/Y_p(3)  + Y(7)/Y_p(7) ] / 2 =  1,2729

F(0)  =  [ Y(4)/Y_p(4)  + Y(8)/Y_p(8) ] / 2 =  0,7881

Oценив значения   a(0), b(0), а также F(-3), F(-3), F(-3) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул (1-4).

Путем перебора возможных значений параметров сглаживания, было установлено, что лучшими являются a1 = 0,3; a2 = 0,6; a3 = 0,3.

Рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t)  для t=1.

Из уравнения 1, полагая  t=0, k=1,  находим  Y_p(1):  Y_p(0+1)=Y_p(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3) =[ 39,21+ 1* 0,87 ] * 0,8614 = 34,48

Из уравнений 2-4, полагая  t=1,  находим:  

a(1)=a1*Y(1)/F(-3)+(1-a1)*[a(0)+b(0)]=0.3*35/0,8614+(1-0.3)*[39,22+0,87 ]=40,27

b(1)=a3*[a(1)–a(0)]+(1-a3)*b(0)=0.3*[40,27-39,22]+(1-0.3)*0,87=0,92

F(1)=a2*Y(1)/a(1)+(1-a2)*F(-3)=0.6* 35/40,27+(1-0.6)* 0,86=0,87

Аналогично рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2

Yp(2)=[ a(1) + 1 * b(1) ]*Fo(-2)=[ 40,27+1*0,92 ] * 1,08 =44,49

a(2)=a1*Y(2)/F(-2)+(1-a1)*[a(1)+b(1)]=0.3*44/1,08+0.7*[40,27+0,92]=41,06 b(2)=a3*[a(2)–a(1)]+(1-a3)*b(1)=0.3*[ 41,06-40,27]+0.7* 0,92=0,88

F(2)=a2*Y(2)/a(2)+(1-a2)*Fo(-2)=0.6* 44/41,06+0.4* 1,08=1,07

для    t=3

Yp(3)=[ a(2)+1 * b(2)]*Fo(-1)=[41,06+1*0,88 ]*1,27=53,26

a(3)=a1*Y(3)/F(-1)+(1-a1)*[a(2)+b(2)]=0.3*52/1,27+0.7*[41,06+0,88]=41,64

b(3)=a3*[a(3)–a(2)]+(1-a3)*b(2)=0.3*[ 41,64-41,06]+0.7* 0,88=0,79

F(3)=a2*Y(3)/a(3)+(1-a2)*F(-1)=0.6*52/41,64+(1-0.6)*1,27=1,26

для    t=4

Yp(4)=[ a(3)+1*b(3)]*F(0)=[41,64+1*0,79 ]*0,79=33,52

a(4)=a1*Y(4)/F(0)+(1-a1)*[a(3)+b(3)]=0.3*34/0,79+0.7*[41,64+0,79]=42,61

b(4)=a3*[a(4)–a(3)]+(1-a3)*b(3)=0.3*[42,61-41,64]+0.7* 0,79=0,84

F(4)=a2*Y(4)/a(4)+(1-a2)*F(0)=0.6* 34/42,61+0.4*0,79=0,79

для    t=5

Yp(5)=[a(4)+1*b(4)]*F(1)=[42,61+ 1*0,84]*0.87=37.80

a(5)=a1*Y(5)/F(1)+(1-a1)*[a(4)+b(4)]=0.3*37/0.87+0.7*[42.61+0.84]=43.17

b(5)=a3*[a(5)–a(4)]+(1-a3)*b(4)=0.3*[ 43.17-42.61]+0.7* 0.84=0.76

F(5)=a2*Y(5)/a(5)+(1-a2)*F(1)=0.6*37/43,17+(1-0.6)*0,87=0,86

для    t=6

Yp(6)=[a(5)+1*b(5)]*F(2)=[43.17+ 1*0.76]*1.07=47,01

a(6)=a1*Y(6)/F(2)+(1-a1)*[a(5)+b(5)]=0.3*48/1.07+0.7*[43.17+0.76]=44,21

b(6)=a3*[a(6)–a(5)]+(1-a3)*b(5)=0.3*[ 44.21-43.17]+0.7* 0.76=0,84

F(6)=a2*Y(6)/a(6)+(1-a2)*F(2)=0.6*48/44.21+(1-0.6)*1.07=1.08

для    t=7

Yp(7)=[a(6)+1*b(6)]*F(3)=[44.21+ 1*0.84]*1.26=56,76

a(7)=a1*Y(7)/F(3)+(1-a1)*[a(6)+b(6)]=0.3*59/1.26+0.7*[44.21+0.84]=45.58

b(7)=a3*[a(7)–a(6)]+(1-a3)*b(6)=0.3*[ 45.58-44.21]+0.7* 0.84=0.99

F(7)=a2*Y(7)/a(7)+(1-a2)*F(3)=0.6*59/45.58+(1-0.6)*1.26=1.28

для    t=8

Yp(8)=[a(7)+1*b(7)]*F(4)=[45.58+ 1*0.99]*0.79=36,79

a(8)=a1*Y(8)/F(4)+(1-a1)*[a(7)+b(7)]=0.3*36/0.79+0.7*[45.58+0.99]=46,27

b(8)=a3*[a(8)–a(7)]+(1-a3)*b(7)=0.3*[ 46,27-45.58]+0.7* 0.99=0.89

F(8)=a2*Y(8)/a(8)+(1-a2)*F(4)=0.6*36/46,27+(1-0.6)*0,79=0.78

Таблица 4

Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абсол. погр. E(t)	Относит. погр., %
-3
-2
-1
0		39,21	0,87
1	35	40,27	0,92	0,87	34,48	0,52	0,015
2	44	41,06	0,88	1,07	44,49	-0,49	0,011
3	52	41,64	0,79	1,26	53,26	-1,26	0,024
4	34	42,61	0,84	0,79	33,52	0,48	0,014
5	37	43,17	0,76	0,86	37,8	-0,8	0,022
6	48	44,21	0,84	1,08	47,01	0,99	0,021
7	59	45,58	0,99	1,28	56,76	2,24	0,038
8	36	46,27	0,89	0,78	36,79	-0,79	0,022
9	41	47,31	0,94	0,86	40,56	0,44	0,011
10	52	48,22	0,93	1,08	52,11	-0,11	0,002
11	62	48,94	0,87	1,27	62,91	-0,91	0,015
12	38	49,48	0,77	0,77	38,85	-0,85	0,022
13	46	51,22	1,06	0,88	43,22	2,78	0,060
14	56	52,15	1,02	1,08	56,46	-0,46	0,008
15	67	53,05	0,98	1,27	67,53	-0,53	0,008
16	41	53,79	0,91	0,77	41,6	-0,6	0,015

Для того, чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Y_p(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватнсти). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)} поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%*abs{E(t)}/Y(t) ) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. «Относит. погр., %» табл. 4) составляет 0,31, что дает среднюю величину 0,31/16 = 0,02%.

  Следовательно, условие точности выполнено.

Для того, чтобы проверить случайность уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и  в гр. 3 табл. 5 для этой строки ставится 1, иначе в гр. 3  ставится 0. В первой и последней строке гр. 3 табл. 5 ставится прочерк или иной  знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Таблица 5

Промежуточные расчеты для оценки  адекватности модели

Квартал	Отклон	Точки	E(t)2	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)*E(t-1)
t	E(t)	поворота
1	2	3	4	5	6
1	0,52	хххх	0,27	-	-
2	-0,49	0	0,24	-1,01	-0,25
3	-1,26	1	1,59	-0,77	0,62
4	0,48	1	0,23	1,74	-0,60
5	-0,80	1	0,64	-1,28	-0,38
6	0,99	0	0,98	1,79	-0,79
7	2,24	1	5,02	1,25	2,22
8	-0,79	1	0,62	-3,03	-1,77
9	0,44	1	0,19	1,23	-0,35
10	-0,11	0	0,01	-0,55	-0,05
11	-0,91	1	0,83	-0,80	0,10
12	-0,85	0	0,72	0,06	0,77
13	2,78	1	7,73	3,63	-2,36
14	-0,46	0	0,21	-3,24	-1,28
15	-0,53	0	0,28	-0,07	0,24
16	-0,60	хххх	0,36	-0,07	0,32
Сумма	0,65	8	19,93	-1,12	-3,57

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р = 8.

Рассчитаем   значение  q:

    Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16   

Если количество поворотных точек р больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае р = 8,  q = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверку независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) проводим двумя методами:

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона;

б) по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

Проверка по d-критерию Дарбина-Уотсона. Для проверки по d-критерию Дарбина-Уотсона рассчитаем значение d

В случае если полученное значение больше 2, значит имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d  уточняют, вычитая полученное значение из 4, т.е.

d = 4 – 2,33 = 1,67

Полученное (или уточненное) значение d  сравнивают с табличными значениями d1и d2.

d₁ = 1,10

d₂ =1,37

Т.к.  d₂<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае это условие выполнено, так как 1,37 < 1,67 < 2, следовательно, уровни ряда E(t) независимы.

Проверка по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

Рассчитаем r(1)  по формуле

r_табл. = 0,32

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения | r(1) |  <  r_таб , то уровни ряда остатков независимы. Т.о.:

| r(1) | = -0,18  <  r_таб  = 0,32   значит уровни независимы.

Проверим соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS – критерию. Рассчитаем значение RS:

                         RS = ( E_max – E_min ) / S 

где E_max -  максимальное значение уровней ряда остатков E(t)

       E_min - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

       S - среднее квадратическое отклонение

E_max =2,78   E_min = - 1,26 ,   E_max – E_min  = 2,78-(-1,26) = 4,04

RS =4,04/1,15 = 3,51

Полученое значение  RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и 5% уровня значимости значение RS  для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21

Так как 3,00 < 3,51 < 4,21,     полученное  значение RS попало в заданный интервал. Значит,  уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p(t) на 4 квартала вперед.

Составим  прогноз на  4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t)  определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Y_p(t).  Для t=17 имеем:

Y_p(17)=Y_p(16+1)=[a(16)+1*b(16)]*F(16-+1-4)=[a(16)+1*b(16)]*F(13)=

 = [ 53,79 + 1 * 0,91]* 0,88   =  48,14

Аналогично находим Y_p(18), Y_p(19) и  Y_p(20)

Y_p(18)=Y_p(16+2)=[a(16)+2*b(16)]*F(16-+2-4)=[a(16)+2*b(16)]*F(14)=

 = [53,79 + 2 * 0,91] *1,08    =  60,06

Y_p(19)=Y_p(16+3)=[a(16)+3*b(16)]*F(16-+3-4)=[a(16)+3*b(16)]*F(15)=

= [53,79 + 3 * 0,91] * 1,27   = 71,78

Y_p(20)=Y_p(16+4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16-+4-4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16)=

 = [53,79 + 4 * 0,91 ] * 0,77   = 44,22

На рис. 1 проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данных хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение.

Исходные данные:

Дни	Цены
Макс.	Мин.	Закр.
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523
6	535	501	506
7	555	500	553
8	580	540	570
9	580	545	564
10	603	550	603

С помощью мастера диаграмм построим гистограмму (биржевую диаграмму):

Экспоненциальную скользящую среднюю рассчитываем по формуле:

EMA_t = k*C_t+(1-k)*EMA_t-1, где

k = 2/(n+1).

При I = 6,…,10, n = 5, k = 2/(n+1) = 1/3, значение EMA₅ принимается равные средней цене закрытия за 1-5 дни.

EMA₅ = 597,8

EMA₆ = 1/3 х 506 + (1-1/3)х 597,8 = 567,51

EMA₇ = 1/3 х 553 + (1-1/3)х 567,51 = 562,72

EMA₈ = 1/3 х 570 + (1-1/3)х 562,72 = 565,12

EMA₉ = 1/3 х 564+ (1-1/3)х 565,12 = 564,75

EMA₁₀ = 1/3 х 603+ (1-1/3)х 564,75 = 577,37

Расчеты занесем в таблицу 6:

Таблица 6

Дни	Цены закр.	Эксп. сред.
1	675
2	646
3	575
4	570
5	523	597,8
6	506	567,51
7	553	562,72
8	570	565,12
9	564	564,75
10	603	577,37

Построим графики цены закрытия и экспоненциальной средней:

Для вычисления момента (МОМ) используется формула:

MOM_t=C_t – C_t-5, где

C_t – цена закрытия t-го дня.

MOM₆ = 506 – 675 = - 169

MOM₇ = 553 – 646 = - 93

MOM₈ = 570 – 575 =   -5

MOM₉ = 564- 570   =    -6

MOM₁₀ = 603 – 523 = 80

Рассчитаем скорость изменения цен с помощью формулы:

ROC₆ = 506/675х100 = 74,96

ROC₇ = 553/646х100 = 85,6

ROC₈ = 570/575х100 = 99,13

ROC₉ = 564/570х100 = 98,95

ROC₁₀ = 603/523х100 = 115,29

Для расчета индекса относительной силы применяется формула:

RSI_i=100-, где

AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Вычислим при i = 6,…,10 формулы AU_i – сумма повышения за предшествующие 5 дней, AD_i – сумма понижения за предшествующие 5 дней.

AU₆ = 0                               AD₆ = 169    

AU₇ = 47                             AD₇ = 140

AU₈ = 64                             AD₈ = 69

AU₉ = 64                             AD₉ = 70

AU₁₀ = 103                         AD₁₀ = 23

Вычислим индекс относительной силы:

RSI₆ = 100 – (100\ 1+(0\169)) = 0

RSI₇ = 100 – (100\ 1+(47\140)) = 25,13

RSI₈ = 100 – (100\ 1+(64\69)) = 48,12

 RSI₉ = 100 – (100\ 1+(64\70)) = 47,76

 RSI₁₀= 100 – (100\ 1+(103\23)) = 81,75

 

Расчеты занесем в таблицу 7:

Таблица 7

Дни	MOM	ROC	AU	AD	RSI
1
2
3
4
5
6	-169	74,96	0	169	0
7	-93	85,6	47	140	25,13
8	-5	99,13	64	69	48,12
9	-6	98,95	64	70	47,76
10	80	115,29	103	23	81,75

Построим графики MOM,ROC,RSI:

При расчете схоластических линий используются максимальные и минимальные цены. Рассчитаем схоластические линии по формулам:

%K_t = 100*(C_t – L₅) / (H₅ – L₅), где

%K_t – значение индекса текущего дня t,

C_t – цена закрытия текущего дня t,

L₅ и H₅ – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

%K₅ = 100*22/217 = 10,14

%K₆ = 100*5/184 = 2,72

%K₇ = 100*53/129 = 41,09

%K₈ = 100*70/98 = 71,43

%K₉ = 100*64/98 = 65,31

%K₁₀ = 100*103/103 = 100

%R_t = 100*(H₅ - C_t) / (H₅ – L₅), где

%R_t – значение индекса текущего дня t.

%R₅ = 100*195/217 = 89,86

%R₆ = 100*179/184 = 97,28

%R₇ = 100*76/129 = 58,91

%R₈ = 100*28/98 = 28,57

%R₉ = 100*34/98 = 469

%R₁₀ = 100*0/103 = 0

%D (вычисления проводятся при i=7,8,9,10) равен отношению сумм  (C_t – L₅) и (H₅ – L₅) за три предшествующих дня.

%D₇ = (22+5+53)/(217+184+129)*100 = 15,09

%D₈ = (5+53+70)/(184+129+98)*100 = 31,14

%D₉ = (53+70+64)/(129+98+98)*100 = 57,54

%D₁₀ = (70+64+103)/(98+98+103)*100 = 79,26

Результаты расчетов занесем в таблицу 8:

Таблица 8

	Ct	L5	H5	Ct-L5	H5-L5	H5-Ct	%K	%R	%D
	523	501	718	22	217	195	10,14	89,86
	506	501	685	5	184	179	2,72	97,28
	553	500	629	53	129	76	41,09	58,91	15,09
	570	500	598	70	98	28	71,43	28,57	31,14
	564	500	598	64	98	34	65,31	36,69	57,54
	603	500	603	103	103	0	100	0	79,26
Сумма	3319	3002	3831	317	829	512	290,69	311,31	183,03

Задача 3

Исходные данные:

СУММА	ДАТА начальная	ДАТА конечная	ВРЕМЯ в днях	ВРЕМЯ в годах	СТАВКА	ЧИСЛО НАЧИСЛЕНИЙ
S	Tн	Tк	Tдн	Tлет	i	m
7 600 000	21.01.09	08.04.09	90	9	20	4

Решение:

3.1 Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - T_н, возврата -  T_к. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найди:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2)  обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

 3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

3.1.1)  S = 7 600 000 , А_точное = 79, i = 0,2

           S*(Aточн./365)*I = 7 600 000*(79/365)*0,2 = 3289863,01

3.1.2)  S = 7 600 000, А_точное = 79, i = 0,2    

           S*(Aточн./360)*I = 7 600 000*(79/360)*0,2 = 333555,56

3.1.3) А_{приближ.} = 80, S = 7 600 000, i = 0,2

         S*(Aприближ./360)*I = 7 600 000*(80/360)*0,2 = 337777,78

3.2) Через T_дн  дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

           S = 7 600 000, T_дн  = 90, i = 0,2

P = S/(1+Tдн/360*i) = 7 600 000 /( 1+90/360*0,2) = 7238095,24

D = S  - P = 7 600 000 -  7 238 095 = 361905,00

3.3. Через T_дн  дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

S = 7 600 000, T_дн  = 90, i = 0,2

P =S*(1-i*(Тдн/360)) = 7 600 000*(1-0,2*90/360) = 7 220 000

D = S*i*Тдн/360 = 7 600 000*0,2*90/360 = 380000

3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на T_лет   лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

S = 7 600 000, T_лет  = 9, i = 0,2

S₁ = 7 600 000 * (1+i)^Тлет = 7 600 000 * (1+0,2)⁹= 39214330,68

3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на T_лет. Проценты сложные, ставка -  i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму

P = 5 750 000, i = 0,2, m = 4, T_лет  = 9

S = P(1 + i/m)mn = 5 750 000(1 + 0,2/4)^4х9 = 575000

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставке i% годовых.

 i = 0,2, m = 4,

i_э = (1 + i/m)^m -1 = (1 + 0,2/4)⁴-1 = 21.55%  

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

i_ном = [(1+ i_э)^1/m-1]*m = [(1+0.21)^1/4 – 1]*4 = 18.65%

3.8. Через  T_лет.  предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

P = 5750000, i = 0,2, T_лет  = 9

S = P(1 + i)^Тлет = 5750000*(1+0,2)⁹ = 29668737,02

3.9. Через T_лет   по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

D = S – P =  7 600 000 – 5 750 000 = 1850000,00

 3.10. В течение T_лет  лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке   i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

S = 7 600 000, i = 0,2, m = 4, T_лет  = 9

 7 600 000 х S₍₄₎ = 7 600 000 х ((1 + i_э)⁹ – 1) / i_э

i_э = 0.21 (из пункта 3.6)

S₍₄₎ = 7 600 000 х ((1 +0,21)⁹ – 1)/0,21 = 165 025 578,96

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Горчакова А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. М.: ЮНИТИ, 1995.

2.     Орлова И.В., Половников В.А., Федосеев В.В. Курс лекций по экономико-математическому моделированию. М.: Экономическое образование, 1993.

3.     Половников В.А. Финансовая математика. М.: Вузовский учебник, 2004.

4.     Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ, 1999.

5.     Лукашин Ю.П. Финансовая математика. М.: МЭСИ, 2000.