Задача №1

В таблице 1 содержатся данные о числе Y жителей N = 40 городов страны. Города разделены на два слоя: в первом слое – 10 наиболее крупных, во втором – все остальные города. С помощью таблицы случайных чисел сформировать следующие выборки, состоящие из n = 16 городов:

1. расслоенную выборку с пропорциональным размещением;

2. расслоенную выборку, содержащую одинаковое число единиц каждого слоя;

3. простую (нерасслоенную) случайную выборку.

Найти по каждой из этих выборок:

а) оценку среднего числа жителей всех 40 городов;

б) среднюю ошибку и 95% доверительный интервал для этой оценки;

в) оценку суммарного числа жителей всех 40 городов;

г) среднюю ошибку и 95% доверительный интервал для этой оценки.

Найти истинное значение среднего и суммарного значения по всем 40 городам. Какая выборка дала более точные результаты?

Таблица 1 (тыс. жит.):

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	915	706	666	575	533	519	505	499	442	433
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	432	414	376	374	356	353	334	326	310	298
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	290	281	279	277	271	256	254	250	248	1383
	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	239	231	236	234	231	228	226	224	222	218

Решение:

1. Построим расслоенную выборку с пропорциональным размещением.

Наиболее широко применяемый способ заключается в том, что объемы выборок из групп устанавливаются пропорционально объемам соответствующих типических групп, т. е.

В итоге для расчетов получается такая формула:

где n_i - объем выборки из i - й типической группы; n - общий объем выборки из генеральной совокупности; N_i - объем i - й типической группы; N - объем генеральной совокупности.

В нашем случае из первой группы мы должны выбрать:

из второй:

С помощью таблицы случайных величин отбираем числа:

Для первой группы – 1, 9, 2, 5

Для второй группы- 22,9,26,2,1,27,25,20,4,11,15,12

Среднее число жителей для первой группы:

Среднее число жителей для второй группы:

Тогда общая средняя равна:

Дисперсия среднего числа жителей первой группы равна:

Второй группы:

Средняя ошибка выборочной средней определяется по следующей формуле:

Предельная ошибка Δ вычисляется на основе знания средней ошибки μ по формуле:

где t - величина, вычисляемая по специальной таблице.

Пусть Р=0,95. Этому значению Р по табл. 1 приложения соответствует t=2. имеем Δ=2*15,15=30,3 т. е. предельная ошибка выборки равна приблизительно 30,3.

Переходим к определению пределов. Чтобы вычислить нижний предел, нужно из выборочной средней вычесть предельную ошибку выборки:

453,56—30,3=423,26

Верхний предел получаем, прибавив к выборочной средней предельную ошибку:

453,56+30,3=483,86

Тогда имеем следующие пределы для генеральной средней :

2. Построим расслоенную выборку, содержащую одинаковое число единиц каждого слоя.

С помощью таблицы случайных величин отбираем числа:

Для первой группы – 1, 9, 2, 5, 6, 3, 7, 4;

Для второй группы- 9,26,2,27,25,4,11,12.

Среднее число жителей для первой группы:

Среднее число жителей для второй группы:

Тогда общая средняя равна:

Дисперсия среднего числа жителей первой группы равна:

Второй группы:

Средняя ошибка выборочной средней определяется по следующей формуле:

Предельная ошибка выборки приблизительно равна:

Переходим к определению пределов:

Нижний предел:

450,94-33,1=417,84.

Верхний предел:

450,94+33,1=484,04.

Тогда имеем следующие пределы для генеральной средней :

3. Построим простую (нерасслоенную) случайную выборку.

Из таблицы случайных чисел отбираем числа, не превосходящие 40, до тех пор, пока не наберем нужных 16 чисел. Получаем:

10, 9, 25, 33, 1, 35, 34, 37, 20, 5, 24, 8, 19,3, 23, 7

Выписанные числа будем считать порядковыми номерами тех элементов генеральной совокупности, которые попали в выборку.

Для дальнейшей работы полезно полученные числа расположить в возрастающем порядке.

№ города	1	3	5	7	8	9	10	19
Y	915	666	533	505	499	442	433	310
№ города	20	23	24	25	33	34	35	37
Y	298	279	374	271	236	234	231	226

Среднее число жителей:

Дисперсия среднего числа жителей равна:

Средняя ошибка выборочной средней определяется по следующей формуле:

где n - численность выборки;

N - численность генеральной совокупности;

- дисперсия признака x.

Предельная ошибка выборки приблизительно равна:

Переходим к определению пределов:

Нижний предел:

408,875-154,62=254,255

Верхний предел:

408,875+154,62=563,495

Тогда имеем следующие пределы для генеральной средней :

Истинное значение среднего значения по всем 40 городам равно 386,35. Третья выборка дала более точный результат.

Задача №2

Опытный фермер оценивает на глаз урожай персиков, , с каждого дерева в саду с N = V деревьев. Он определил, что их общий вес фунтов. Для некоторой простой случайной выборки объемом n = 10 деревьев все плоды были собраны и взвешены, что дало следующие результаты (см. таблицу 2). Вычислите оценку по регрессии действительного веса и найдите её стандартную ошибку и 95% доверительный интервал.

Таблица 2:

Номер дерева
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Действительный вес, yⁱ	71,98	49,56	59	68,44	79,06	53,1	46,02	67,26	83,78	74,34
Оценка веса, xⁱ	69,62	55,46	61,36	70,8	79,06	56,64	51,92	68,44	89,68	68,44

Решение:

Составим уравнение регрессии:

где b – коэффициент регрессии:

Для вычисления коэффициента регрессии составим вспомогательную таблицу:


69,62	71,98	2,478	6,726	16,66703	6,140484
55,46	49,56	-11,682	-15,694	183,3373	136,4691
61,36	59	-5,782	-6,254	36,16063	33,43152
70,8	68,44	3,658	3,186	11,65439	13,38096
79,06	79,06	11,918	13,806	164,5399	142,0387
56,64	51,3	-10,502	-12,154	127,6413	110,292
51,92	46,02	-15,222	-19,234	292,7799	231,7093
68,44	67,26	1,298	2,006	2,603788	1,684804
89,68	83,78	22,538	18,256	417,539	507,9614
68,44	74,34	1,298	9,086	11,79363	1,684804
67,142	65,254			1264,717	1184,793