ИНДИВИДУАЛЬНОЕ
ЗАДАНИЕ 1. ВАРИАНТ 8
1. В 2001 г. в Ваш день
рождения в Сбербанке был открыт счет до востребования на сумму 18000 рублей.
Ставка - 2% годовых, по условиям договора вклада начисление и капитализация
процентов осуществляются по истечении каждого календарного квартала. Сколько
денег получит клиент банка при закрытии счета в этот же день в 2002 г.?
Решение
Сумма после начисление
процентов в конце третьего квартала 2001 г. = 18000 * (1+0,02*63/365) =
18062,13 руб.
После 4-го квартала =
18062,13*(1+0,02*92/365) = 18153,18 руб.
После 1 квартала 2002
года. = 18153,18*(1+0,02*90/365) = 18242,7 руб.
После 2 квартала 2002
года. = 18242,7*(1+0,02*91/365) = 18333,66 руб.
После 28 июля 2002 года.
= 18333,66 *(1+0,02*27/365) = 18360,80 руб.
Учитывается что, мой день
рождения 28 июля
Ответ 18360,80 руб.
2. Какой была бы эта
сумма, если бы а) начисление процентов и их капитализация осуществлялись лишь
по истечении календарного года; б) начисление процентов и их капитализация
осуществлялись бы ежедневно; в) начисление процентов и их капитализация
осуществлялись бы непрерывно?
Решение
А) Начисление процентов в
конце года = 18000*(1+0,02*155/365) + 18152,88(1+0,02*210/365) = 18361,76 руб.
Б) ежедневное начисление
процентов = 18000*(1+0,02/365)365 = 18363,6 руб.
В) непрерывное начисление
процентов = 18000*е0,02 = 18363,63 руб.
3. Какую сумму (в
условиях задачи 1) необходимо снять с этого счета ровно через 100 дней после
его открытия, чтобы при закрытии счета вкладчик полнил 15000 рублей?
Решение
Сумма после 100 дней =
18000*(1+0,02*100/365) = 18099 руб.
Сумма, которая должна
остаться, чтобы получилось 15000 руб. = 15000/(1+0,02*265/365)=14785,3 руб.
Сумма, которую необходимо
снять = 18099 – 14785,3 = 3313,67 руб.
4. Дайте ответ на вопрос,
поставленный в задаче 1, если на такую же сумму в тот же день был открыт
срочный вклад на 90 дней с автоматическим продлением условий вклада на новый
срок в случае неявки клиента. Ставка - 16% годовых.
Решение
За время прохождения
денег в банке прошло 12 периодов начисление процентов
Сумма на счете = 18000
* (1+0,16*90/365)365/90 = 21058,33 руб.
5. Рассчитайте годовую
эффективную ставку процента для срочного вклада на 30 дней под 12% годовых.
Решение
Эффективная процентная
ставка (i), через простую процентную ставку (ds)
выражается следующей формулой.
I = (1+ds*k/m)m/k – 1,
Где n –
число периодов финансовой операции в год (для данного случая n = 4
I = [(1+0,12*30/365)365/30-1]*100=12.17%
6. Придумайте пример
вклада, для которого годовая эффективная ставка процента превышает расчетную в
1,1 раза.
Решение
Предположим n = 6, т.е. речь идет о срочном вкладе
га 60 дней. Тогда из условия i/ds = 1,1 следует.
6√(1/(1-6*ds))
= 1,1 * ds = отсюда следует, что ds = 24%
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ
ЗАДАНИЕ №2. ВАРИАНТ 8
1. Годовая эффективная ставка
процента по срочным рублевым вкладам - 12%. Ожидаемый рост курса доллара в
течение ближайших 12 месяцев - 15%. Определите, при каких относительных
различиях между ценами покупки и продажи в обменных пунктах имеющему рубли и
нуждающемуся через год в рублях целесообразно: а) купить наличные доллары и
через год поменять их на рубли; б) открыть срочный рублевый вклад.
Решение.
Пусть n - отношение курса
продажи к курсу покупки, k1
- курс
доллара при покупке в начале срока. Тогда курс доллара при продаже в конце
срока (через год) будет равен n * k1 *
1.15
S - Исходная сумма в
рублях, на которую мы можем ( в начале срока) купить доллары в количестве S/k1,
Когда через год поменяем эти доллары на рубли, то
получим S/k1 * n * k1 *
1.15 = S *n * 1.15 рублей
Если сумму S положить на срочный
вклад, в конце года получим:
S * 1.12 рублей.
Получается, что купить доллары и через год
поменять их на рубли выгоднее срочного вклада, если S * n *
1.15 > S * 1.12, т.е. если n > 1,12/1,15 = 0,974
Ответ если n > 0.974, то выгоднее
пункт а), если n < 0.974, то выгоднее пункт б), если n =
0.974, тогда пункт а) и б) – равноценны
2. Пусть сегодня в
обменных пунктах российских банков цена покупки и доллара, и евро на 3
процентных пункта меньше цены продажи. Такой же эта разница сохранится и в
будущем. Ожидается с большой вероятностью, что ежемесячно в течение длительного
времени курс евро по отношению к доллару будет возрастать на 0,2%. Цены покупки
и продажи обеих валют будут изменяться такими же темпами, как и биржевые курсы.
Определите, целесообразно ли имеющему доллары и нуждающемуся в перспективе в
долларах обменять их на евро, а затем осуществить обратный обмен, и если
целесообразно, то в каком случае.
Решение.
Рассмотрим ситуацию, когда человек обменял
доллары на евро, а по истечении n месяцев поменял их
обратно.
Начальную сумму обозначим
S.
Начальный курс продажи
долларов за рубли в начале срока обозначим k1 т.е. за 1 доллар можно
купить k1 рублей. Тогда курс покупки будет k2 = k1 * 0.97. Курс покупки евро за рубли с учетом, что разница 0,02% будет равен (k1
*0,97194).
Через n месяцев курс покупки будет kt-0.97194*1.002n.
Соответственно имеет смысл совершать эту операцию, только если 0.97194*1.002n>1.
Решив неравенство, получим: n>14,24, т.е.
целесообразно делать эту операцию на срок 15 месяцев и более.
3. Годовая эффективная
ставка процента по срочным вкладам на год во всех банках составляет 16%. Пусть
вероятность банкротства любого банка в течение ближайшего года составляет 4%.
Банкротство банка означает потерю всех вложенных в него денег. Определите
математическое ожидание получаемой через год суммы, вероятности получить
максимум и потерять все в случае, если: а) все 600000 руб. вложены в один банк;
б) если деньги поровну распределены между двумя банками; в) если деньги поровну
распределены между тремя банками. Задачу решить в предположении, что
банкротство одних банков никак не сказывается на положении других, а в
банковской системе страны всего 3 банка.
Решение.
а) Возможны 2 исхода (банк разорился, банк не
разорился). Вероятность первого исхода - 4%. Получаемая в этом случае сумма =
0. Вероятность второго исхода - 96%. Получаемая в этом случае сумма =
600000*1.16=696000 руб.
Математическое ожидание получаемой суммы =
696000*0.96 = 668160 руб.
Вероятность получить максимум (696000 руб.) -
96%.
Вероятность не получить ничего - 4%.
б) Возможны 3 исхода (ни один из банков не
разорился, разорился 1 из банков, разорились оба банка). Найдем вероятность
каждого исхода и полученную в каждом случае сумму.
Вероятность того, что ни один из банков не
разорился, равна 0.962=0.9216=92.16%. Полученная при этом сумма =
600000*1.16=696000 руб. Вероятность того; что разорился один из банков равна
2*0.96*0.04 = 0.0768 = 7.68%. Полученная при этом сумма 300000*1.16=348000 руб.
Вероятность того, что оба банка разорились равна
0.04*0.04=0.0016 = 0.16%. Полученная при этом сумма = 0.
Математическое ожидание получаемой суммы =
696000*0.9216 + 348000*0.0768 = 641433,6 + 26726,4 =668160 руб.
Вероятность получить максимум (696000 руб.) =
92,16%
Вероятность не получить ничего = 0.16%
в) Возможны 4 исхода: разорилось 0,1,2,3 банка.
Найдем вероятность каждого исхода и полученную в каждом случае сумму.
Вероятность того, что ни один банк не разорился,
равна 0.963= 0.884736=88.4736%. Полученная при этом сумма =
600000*1.16=696000 руб.
Вероятность того, что разорился 1 банк, равна
3*0.96*0.96*0.04 = 0.110592 = 11.0592%. Полученная при этом сумма = 400000*1.16
= 464000 руб.
Вероятность того, что разорились 2 банка, равна
3*0.96*0.04*0.04 = 0.004608 = 0.4608%. Полученная при этом сумма = 200000-1.16
= 232000 руб.
Вероятность того, что все три банка разорились
равна 0.04*0.04*0.04 = 0.000064 = 0.0064%. Полученная при этом сумма = 0.
Математическое ожидание получаемой суммы =
696000*0.884736 + 464000-0.110592 + 232000*0.004608 = 668160 руб.
Вероятность получить максимум (696000 руб.) =
88.4736%
Вероятность не получить
ничего = 0.0064%.
4. Решите задачу 3 для
ситуации, когда банкротство какого-либо банка приводит к увеличению вероятности
банкротства всех остальных в 5 раз.
Решение
Возможны 4 исхода (ни один из банков не
разорился, разорился 1 из банков, разорились два банка, разорились три банка).
Найдем вероятность каждого исхода и полученную в каждом случае сумму.
Вероятность того, что ни
один из банков не разорился, равна 0.962=0.9216=92.16%. Полученная
при этом сумма = 600000*1.16=696000 руб. Вероятность того; что разорился
один из банков равна 2*0.96*0.04 = 0.0768 = 7,68%..
При этом возрастает
вероятность разорения двух оставшихся банков в 5 раз и равняется 38,4%.
Полученная при этом сумма 400000*1.16=464000 руб
Вероятность того, что оба банка разорились равна
0.04*0.04=0.0016 = 0.16%. вероятность разорения третьего банка возрастает в 5
раз. Полученная при этом сумма = 200000*1,16=232000 руб
Вероятность того, что разорились все три банка:
0,04*0,04*0,04*5=0,032%
Полученная при этом сумма равна 0 руб.
Математическое ожидание получаемой суммы =
696000*0.9216 + 464000*0.0768+232000*0,0016 = 677440 руб.
Вероятность получить максимум (696000 руб.) =
92,16%
Вероятность не получить ничего = 0.032%
5.
Ставка
процента по срочным вкладам на месяц составляет 1,4%. за период и таковой она
сохранится в перспективе. Ежемесячный рост цен на жилье составляет 1,6%.
Определите, для каких временных периодов вложение в жилье с целью последующей
перепродажи будет более выгодной финансовой операцией, чем хранение денег в
банке, если издержки на покупку жилья составляют 6% от его рыночной цены,
издержек при продаже нет. Задачу решить без учета возможности сдачи в аренду и
необходимости платить за жилье.
Решение
Процентная разница = 1,6-1,4 = 0,2%
На 0,2% выгоднее покупка квартиры,
чем сдачи денег в банк
1,016n = 1.076. n= 5 месяцев.
6. B
какие виды движимого имущества Вы бы сделали вложение накануне августовского
кризиса 1998 года, если бы могли его предвидеть: а) с целью продажи его через
3 месяца; б) с целью продажи его через 5 лет? Объясните.
Объясняю
А)
автомобиль, мебель, бытовую технику, аудио и видео технику.
Б)
ювелирные изделия, антиквариат.
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ
ЗАДАНИЕ №3. ВАРИАНТ 8
1 Кредит на сумму 10 млн.
руб. получен на условиях погашения его единовременным платежом вместе с
процентами через 150 дней. Какую сумму должен будет возвратить заемщик
кредитору, если: а) кредиты на такие сроки предоставляются исходя из расчетной ставки
17% годовых, а для исчисления стоимости кредита используется формула простых
процентов; б) для кредитов на любые сроки используется годовая эффективная
ставка - 17%?
Решение
А) 10*(1+0,17*150/365) =
10,699 млн. руб.
Б) 10*(1+0,17)150/365
= 10,66649 млн. руб.
2
Какие суммы
должен отдавать заемщик кредитору, если бы погашение кредита предусматривалось
тремя равными суммами - соответственно через 50, 100 и 150 дней, если: а)
расчетная ставка остается такой же, как в задаче 1, и для соизмерения денежных
сумм во времени используется формула простых процентов; б) годовая эффективная
ставка остается такой же, как в задаче 1, и для соизмерения денежных сумм во
времени используется формула сложных процентов?
Решение
Периодическая выплата
постоянной суммы У при заданной процентной ставке ic в течении n лет
является аннуитетом.
Величина срочной уплаты:
У= D/ain , где D -
сумма долга, ain - коэффициент приведения ренты.
Ain = 1-(1+ic)-n/ic,
где ic — процентная ставка в
месяц.
a) Величина срочной
уплаты: У = 10,699/3 = 3,556 млн.руб.
б) Величина срочной уплаты:
У= 10,66649/3 = 3,5555 млн.руб
3. Какие суммы в условиях
задачи 1 получил бы на руки заемщик, если бы кредитор взял с его проценты в
момент выдачи кредита?
Решение
10/(1+0,17*5/12) = 9,338521 млн.руб.
4. Какими были бы
уплачиваемые единовременно по окончании срока займа проценты за кредит, если в
условиях задачи 2 в указанные сроки равными долями погашался основной долг?
Решение
Если
проценты простые, то:150/365*0,17*10= 0,6986 млн.
Если
проценты сложные, то: (1+0,17)150/365*10= 10,66649-10=0,66649 млн.
5. График погашения
кредита предполагал ежемесячную выплату заемщиком 500 тыс. руб. в течение 6
месяцев (1-й платеж - через месяц после получения кредита, второй - через 2
месяца и т.д.). Заемщик оказался не в состоянии выплачивать ежемесячно такую
сумму и договорился с \ , кредитором
о реструктуризации долга - выплачивать в течение более длительного срока
ежемесячно по 250 тыс. руб. Как долго заемщик будет погашать свой долг, если
новые его обязательства финансово эквивалентны первоначальным, а для
соизмерения денежных сумм во времени используется годовая эффективная ставка
27%?
Решение.
Первые пять платежей проходили по графику и их
можно не принимать в расчет. Фактически, необходимо найти сумму платежа,
эквивалентного трем платежам по 0,5 млн. рублей с перерывом 1 месяц между
платежами при годовой эффективной ставке 27%.
Искомая сумма = 500000 * PVIFA27%/12;3*1 * (1+0,25/12) = 500000 * ((1+0,27)12-l)/0,27*(1+0,27/12)
= 500000*2,920*1,0225 = 1492850 руб.
Заемщик будет погашать долг пять месяцев по 250 тыс. руб., и
6 ой в месяц он выплатит 242850 тыс. руб.
6.
Кредиты на
10 месяцев выдаются исходя из расчетной ставки 30% годовых. Исходя из какой
расчетной ставки должны выдаваться кредиты на 2 месяца, чтобы годовая
эффективная ставка процента по таким кредитам была такой же. как и по кредитам
на 10 месяцев?
Решение.
Рассчитаем сумму возврата для суммы кредита S при
расчетной ставке 22%.
P=S*(1+0.30*10/12) = S*1.25
Определим годовую эффективную ставку процентов,
при которой прирост средств за 10 месяца будет такой же.
P=S*(l+n)10/12
= S*l.25
(l+n)1/1.2-1.25
n=0.3070+
30,70%
Определим прирост средств за 6 месяцев при
вычисленной эффективной ставке.
(1+0.3070)2/1.2=1.1432
Вычислим расчетную ставку, при которой будет
такой же прирост.
(1+n*6/12)=1.1535
n=30,70%
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ
ЗАДАНИЕ №4. ВАРИАНТ 8
1.
Облигации
внутреннего выигрышного займа выпущены на следующих условиях. Всего облигаций
10 млн. штук, срок погашения - через 6 лет. Ежегодно в конце каждого
календарного квартала проводится тираж, в результате которого 200000 облигаций выигрывают. Выигравшие
облигации в дальнейших тиражах не участвуют. Определите вероятность выигрыша в
10-м тираже для человека, имеющего три облигации.
Решение.
Рассчитаем вероятность того, что в трех тиражах
ни одна из 10 акций не выиграла. Тогда искомая вероятность будет равна 1 минус
найденная вероятность.
Возьмем первый тираж.
Вероятность выигрыша каждой конкретной акции составляет 1/50. Вероятность не
выигрыша каждой конкретной акции 49/50. Вероятность того, что ни одна из 10
облигаций не выиграет равна. (49/50)10 . тогда вероятность того, что выиграет человек, у которого 3
облигации равна 3/50.
2. Ha
фондовом рынке обращаются дисконтные облигации номиналом в 100 тыс. руб. Какова
будет их рыночная цена за 3 месяца до погашения, если вложения в эти облигации
обеспечивают такую же доходность, как и обычные кредитные операции, годовая
эффективная ставка для которых составляет 24%?
Решение
Обозначим искомую цену
через S. Получим условие.
S = 100000 / 1,24 3/12 =105 525,01 руб.
3. Банк учитывает
векселя, срок оплаты которых - через 100 дней, с дисконтом 4,8%. Какова
Доходность таких операций в пересчете на годовую эффективную ставку декурсивных процентов?
Решение
Рассчитаем доходность
векселя на 100 дней при дисконте 4,8%
((1/0,952)365/100-1)*100%=
19,67%
4. Рассчитайте формальную
рыночную стоимость акций, по которым ежегодно выплачивается дивиденды в размере
150 руб. на одну акцию, если до момента получения первых дивидендов остается 10
месяцев. Годовая эффективная ставка процента составляет 12%.
Решение
Обозначим искомую цену
через S. Получим условие.
S *
(10*1,12/12)=150 руб.
S =
150+13.95 = 163.95 руб. + номинал
5.
Стартовая
формальная рыночная цена купонной облигации (всего 4 купона) номиналом 500 тыс.
руб., погашаемой через 2 года, по которой по истечении каждых шести месяцев
выплачивается доход в размере 5% от номинала, составляет 450 тыс. руб.
Определите годовую эффективную ставку процента на денежном рынке.
Решение
1800
* 1.1 * r = 2000
1980*r=2000
r
= 2000/1980 = 1.01
r
= 1.01 – 1 =0.01 = 1%
6.
Рассчитайте
современную стоимость отложенной обыкновенной ежегодной ренты в 50000 руб. на 5
лет, в предположении, что годовая эффективная ставка процента на денежном рынке
составляет и будет составлять 12%, а первые 50000 руб. можно получить через 4
года.
Решение
S(4) = 50000 (1-(1+0.12)-4/0.12)
* (1+0.12)4
S(4) = 50000*4.78 * 1.57
= 375230
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ
ЗАДАНИЕ №5. ВАРИАНТ 8
1. Номинальная годовая
эффективная ставка процента на денежном рынке составляет 24%. Чему равна
реальная ставка процента, если рост среднего уровня цен за год составляет: а)
10%; б) 20%; в) 80%?
Решение.
I = 1 + r /1+h100
– 1, где реальная ставка процента, r – номинальная ставка, h, -
рост среднего уровня цен.
а) I = 1 + 0.24 /1+0.1-1=
1.24/1.1 -1 = 0,1272 = 12,72%.
б) I = 1 + 0.24/1+0.2 -1=
1.24/1.2 -1 = 0,0333 = 3.33%
в) I = 1+ 0.24/1+0.8 -1=
1.24/1.8 - 1 = - 0,3111 = -31,1%
2.
Студент N
решил подзаработать торговлей сигаретами с рук в одном из бойких мест города
крутые ребята с оптовой базы согласились отпускать товар в долг под проценты -
0,1% в сутки (проценты простые). N решил ежедневно продавать 50 пачек по цене 8
руб. за пачку. Оптовая цена таких сигарет составляет 6 руб. за пачку. Затраты
на транспорт для поездки на базу и обратно составляют 20 руб. (на первую
поездку деньги у студента были). Расчет с кредиторами единовременно, после
распродажи очередной партии сигарет. Каким может быть максимальный
среднесуточный чистый доход студента от торговой деятельности и при какой
частоте поездок на базу?
Решение
Доход от продажи = 50*8 = 400 руб.
Себестоимость сигарет = 50*6 = 300
руб.
Плата по процентом = 300*0,1/100 =
0,3 руб.
Чистый максимальный доход =
400-300-0,3-20 = 79,7 руб.
3.
Определите с
позиций формальной финансовой математики, при какой годовой эффективной ставке
процента по депозитам выгоднее покупать ежегодно туфли по цене 1000 руб., чем
раз в три года - туфли по цене 2600 рублей. Внешний вид и потребительские
свойства у них одинаковы, различается только срок службы.
Решение
Искомая цена = ((2600-1000)*(1+r)-1000)*(1+r) > 1000
(1600 *(1+r)-1000)*(1+r)=1000.
(600+1600r)(1+r)=1000
600+1600r+600r+1600r2 = 1000
1600r2 +2200r -400 = 0
16r2+22r-4=0
r=16.26%
Получается, что первые туфли выгоднее
покупать, когда годовая эффективная ставка процента больше, чем 16.26 %
4. Молодая семья арендует
квартиру и платит за нее ежемесячно 3000 руб. Текущие доходы семьи позволяют
ежемесячно откладывать 8000 рублей (остальные деньги уходят на неотложные,
нужды и хозяину). Есть мечта приобрести собственную квартиру стоимостью 800000
руб. Предположив, что деньги накапливаются в наличной форме, определите,
целесообразно ли для ускорения решения проблемы прибегнуть к банковскому
кредиту, который на любые сроки выдается из расчета годовой эффективной ставки
12% . и если целесообразно, то когда (после накопления какой суммы собственных
средств) это лучше всего сделать?
Решение.
Рассчитаем расходы семьи
на протяжении всего периода накопления денег и расчета с кредитором, исходя из
условия, что после того, как семья N месяцев копила деньги, она взяла кредит и
приобрела квартиру.
За N месяцев семья накопила 8000*N
рублей. Так же за эти N месяцев семья заплатила 3800*N рублей в качестве
арендной платы за квартиру. Для приобретения квартиры им пришлось взять кредит
в сумме Р=800000-8000*N рублей.
Рассчитаем количество
месяцев (n), в течении которого семья расплачивалась за
кредит, из уравнения
800000*0,12/(1+0,12)n -1 = 8000
96000/8000
= 1.12n -1
n = 21,15 мес., 22 мес.
5
Определите с
позиций формальной финансовой математики: какой автомобиль лучше - ценой 160000
руб., сроком службы 5 лет, с ежегодными издержками на эксплуатацию 30000 руб.
или ценой 300000 руб., сроком службы 9 лет, с ежегодными издержками на эксплуатацию
24000 руб. Годовая эффективная ставка составляет 8%.
Решение.
160000-30000/(1+0,08)5 = 130000/1,47 =
88435,37 5000
300000-24000/(1+0,08)9 = 276000/1,999
= 138069,04
Из
проведенного расчета выгоднее покупать автомобиль с ценой 30000 руб. и сроком
службы 9 лет, и с ежегодными издержками на эксплуатацию 24000 руб.
6. Ежедневный
объем продаж торговой фирмы - 500 кг. розничная цена 1 кг - 50 руб.
Единовременные затраты на доставку партии товара с базы - 3000 руб. Оптовая
цена 1 кг - 40 руб. Товар является портящимся - ежедневно портится и не
подлежит реализации 1% от имеющегося на начало рабочего дня запаса товара.
Требуется определить оптимальный размер закупаемой партии товара,
обеспечивающий после ее распродажи максимум дохода фирмы в расчете на 1 день
торговли.
Решение.
Доход от продажи = 500*50 = 25000
руб.
Себестоимость партии = 500*40 = 20000
руб.
Сумма портящегося товара =
20000*1/100 = 200 руб.
Чистый максимальный доход =
25000-20000-200-3000 = 1800 руб.
Оптимальный объем закупаемой партии
товара 495 кг.