Вариант №6

Задача1

Вычислить , если а) -5, б) 0, в)

Решение:

Преобразуем данное выражение (в знаменателе записали сумму кубов, в числителе вынесли за скобки (x+5)):

Преобразованное выражение не имеет особенностей ни в точке x=-5, ни в x=0, поэтому для нахождения предела в этих точках просто подставим x=-5 и x=0, получим:

а)

б)

в) Для изучения поведения функции на бесконечности преобразуем её следующим образом:

При дроби и , а значит, выражение в числителе стремится к нулю (при ), в знаменателе – к 1, предел всей дроби равен 0.

Ответ: а) -0.2, б) -0.2, в) 0

Задача 2

Найти производные функций:

а) , вычислить

б)

Решение:

а) Считаем производную дроби:

б) Считаем производную сложной функции:

Ответ: а) , , б)

Задача 3

Составить уравнение касательной к кривой y(x)=tgx в точке x₀=

Решение:

Уравнение касательной к кривой y(x) в точке x=x₀имеет вид: f(x)=(x-x₀)+у(x₀)

=, =2, y(x₀)=1. Таким образом, получаем окончательный ответ:

f(x)=2(x-)+1

Задача 4

Точка движется по закону s(t)=. Определить момент времени, когда её скорость будет 18 м/с.

Решение:

Запишем выражение для скорости – продифференцируем закон движения:

Пусть искомый момент времени t=t₀. Тогда v(t₀)==18. Получаем квадратное уравнение:

, D₁=1-(-3)=4, t₀=1+2=3 (отрицательный корень отбрасываем, т.к. он не удовлетворяет условию задачи – время положительно).

Ответ: t₀=3.

Задача 5

Число 4 представьте в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы произведение их было наибольшим.

Решение:

Обозначим искомые два числа за х и у. Тогда имеем:

х+у=4, а значит у=4-х. Нам требуется найти максимум функции f(x)=-x²+4x – парабола, ветви которой направлены вниз, значит, максимум существует и достигается при (координаты вершины параболы). Следовательно, у=4-х=4-2=2.