Вариант № 399 


Задача 1

Для изготовления продукции двух видов А и Б  предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

Наименование ресурсов

  Норма затрат на                                         

Объем

ресурса

Продукт А

Продукт В

Сырье (кг)

2

2

312

Оборудование (ст.час.)

4

3

492

Трудоресурсы(чел.час.)

2

7

664

Цена реализации (руб.)

210

394

Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется :

1.    Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.

2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции.

3. Записать задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.

4. Используя условия «дополняющей нежесткости», найти оптимальное решение двойственной задачи.

5. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.

6. Провести графический анализ устойчивости изменения объемов используемых ресурсов. Найти функции предельной полезности ресурсов и построить их графики. Определить функциональную зависимость максимальной выручки объемов используемых ресурсов, построить графики этих функций.



Решение.

1.1. В нашей задаче необходимо определить месячные объемы выпуска продукции вида А и Б. Обозначим эти объемы как переменные модели:

х1 – месячный объем выпуска продукции А,

х2 – месячный объем выпуска продукции Б.

Используя данные таблицы, получим:

расход сырья =  2х1 +2х2,

затраты времени работы оборудования =  4х1 + 3х2,

затраты рабочего времени = 2х1 + 7х2.

Так как ежемесячный расход ресурсов не может превышать их максимально возможный месячный размер, то имеем ограничения

2х1 + 2х2  £ 312

4х1 + 3х2  £ 492

2х1 + 7х2  £ 664

Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные х1 и х2 должны быть неотрицательны, т.е. х1 ³0, х2³0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия. В нашем примере это получение максимальной выручки от реализации произведенной в течении месяца продукции. Если обозначить функцию размера выручки через Z, то

Z = 210х1 + 394х2,

а основная цель предприятия может быть выражена так:

Максимизировать целевую функцию Z= 210х1 + 394х2,

Перепишем это условие в следующей форме: Z = 210х1 + 394х2® max.

Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска продукции может быть  записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1 и х2, удовлетворяющие ограничениям

2х1 + 2х2  £ 312

4х1 + 3х2  £ 492

2х1 + 7х2  £ 664

х1 ³0, х2³0

и доставляющих максимальное значение целевой функции  Z = 210х1 + 394х2® max.

Построенная модель является задачей линейного программирования. Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, называется допустимым, а допустимое решение, доставляющее максимальное значение целевой функции, называется оптимальным.


1.2. Нахождение оптимальной производственной программы выпуска продукции.


Решение задачи линейного программирования с двумя переменными может быть получено графическим способом.

Построим множество допустимых решений или область допустимых решений. Проводим перпендикулярные оси координат: горизонтальная – ось Ох1, вертикальная  - Ох2. Условия неотрицательности переменных  х1 ³0, х2³0 показывают, что область допустимых решений будет лежать в первом квадранте системы координат. Для изображения на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют оставшимся ограничениям модели, рассмотрим уравнения, получаемые из неравенств модели заменой знака «£» на знак «=». В результате такой замены получим три линейных уравнения прямых:

2х1 + 2х2  = 312

(1)

4х1 + 3х2  = 492

(2)

2х1 + 7х2  = 664

(3)

Для того, чтобы провести на плоскости прямую линию, достаточно знать любые две различные точки, лежащие на этой прямой. Рассмотрим уравнение первой прямой. Если положить х1 = 0, то х2 =156, а при х2 = 0, х1 = 156. Следовательно, прямая (1) проходит через точки с координатами (0;156) и (156;0). Обозначим эту прямую как линия (1).

Прямая (2) проходит через точки с координатами (0;164) и (123;0).

Прямая (3) проходит через точки с координатами (0;94,857) и (332;0).

Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Точки расположенные по одну сторону прямой, удовлетворяют соответствующему неравенству, а точки, расположенные по другую сторону, не удовлетворяют. Для того, чтобы определить искомую полуплоскость, выбирается некоторая «тестовая» точка и ее координаты подставляются в левую часть неравенства. Если для этой точки неравенство выполняется, то она лежит в искомой полуплоскости, т.е. все точки этой полуплоскости удовлетворяют неравенству модели. Если же для «тестовой» точки неравенство не выполняется, то искомой будет та полуплоскость, которая не содержит эту точку. Взяв в качестве «тестовой» точку с координатами (0;0), убеждаемся, что она удовлетворяет всем неравенствам модели.

Следовательно, все полуплоскости, соответствующие неравенствам модели, содержат точку (0,0).


A
 

B
 

 


Точки множества допустимых решений должны удовлетворять всем ограничениям. Следовательно, множество допустимых решений является пересечением всех допустимых полуплоскостей и представляет собой многоугольник АВСО. Любая точка, расположенная внутри этого многоугольника или на любом отрезке его границы, является допустимым решением, т.е.  удовлетворяет всем ограничениям модели.

Для нахождения оптимального решения задачи необходимо определить направление возрастания целевой функции.

Вектор, компоненты которого являются коэффициентами целевой функции при переменных х1 и х2, называют вектором – градиентом целевой функции и обозначают grad Z.

Целевая функция может возрастать до тех пор, пока линии уровня соответствующие возрастающим значениям этой функции, пересекают область допустимых решений. Точка пересечения области допустимых решений и линии уровня, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума.

На рисунке видно, что оптимальное решение соответствует точке В, лежащей на пересечении прямых (2) и (3). Поэтому ее координаты находим как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:


4х1 + 3х2  = 492

2х1 + 7х2  = 664

Решая эту систему находим х1* = 66, х2*= 76 . При этом значение целевой функции Z = 210х1* + 394х2* = 210 ´ 66+ 394´ 76 = 43804

Полученное решение означает, что предприятию необходимо ежемесячно производить 66 единиц продукции А  и 76 единицы продукции Б, что позволит ему получать максимальную месячную выручку в размере  43804 рублей.



1.3. Построение двойственной задачи.

Перепишем построенную выше математическую модель оптимизации производственной программы

2х1 + 2х2  £ 312

4х1 + 3х2  £ 492

2х1 + 7х2  £ 664

х1 ³0, х2³0

Z = 210х1 + 394х2® max

и будем считать ее прямой задачей. Построим двойственную задачу по следующим правилам:

1.                  Каждому ограничению прямой задачи (кроме ограничений х1³0, х2³0) соответствует неотрицательная переменная двойственной задачи. В нашем примере три ограничения. Следовательно, в двойственной задаче будет три переменных. Обозначим их через u1, u2, u3, где u1 соответствует первому ограничению, u2 – второму, u3 – третьему.

2.                  Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной. Следовательно, в нашем примере двойственная задача будет иметь два ограничения.

3.                  Коэффициенты при какой-либо переменной в ограничениях прямой задачи и коэффициент целевой функции при этой переменной становятся соответственно коэффициентами того ограничения двойственной задачи, которое соответствует этой переменной и правой частью формируемого ограничения двойственной задачи.

В нашем примере переменной х1 соответствует первое ограничение двойственной задачи; коэффициенты  при х1 являются коэффициентами первого ограничения двойственной задачи, а коэффициент целевой функции прямой задачи при х1 становится правой частью первого ограничения, записываемого со знаком «³».

4.                  Правые части ограничений прямой задачи являются  коэффициентами целевой функции двойственной задачи, которая минимизируется. Следовательно, в нашем примере целевая функция двойственной задачи примет вид:

W = 312u1 + 492u2 + 664u3® min.

Применение сформулированных правил к задаче оптимизации производственной программы приводит к следующей двойственной задаче:

Найти неизвестные значения переменных u1, u2, u3 , удовлетворяющих ограничениям:

2u1 + 4u2 + 2u3 ³ 210

2u1 + 3u2 + 7u3 ³ 394

u1 ³0, u2 ³0,  u3 ³ 0

и доставляющих минимальное значение целевой функции

W = 312u1 + 492u2 + 664u3® min.


1.4. Нахождение оптимального решения двойственной задачи.


Запишем прямую  и двойственную задачу в общем виде:


Прямая задача                                                           Двойственная задача

Найти неизвестные значения                  Найти неизвестные значения

переменных х1, х2,…,хn,                            переменных u1, u2,…,um,

удовлетворяющих ограничениям            удовлетворяющих ограничениям

Sаijxj£ bi, i = 1,…,m           (4)                    Sаijuj³ cj, j = 1,…,n    (7)

 j                                                                                                     i

xj³0, j=1,…,n                      (5)                     ui³0, i=1,…,m             (8)

и доставляющие максимальное                и доставляющие минимальное

значение целевой функции                        значение целевой функции

Z = S cjxj ® max                 (6)                     Z = S biui ® min         (9)

           J                                                                                                      i

Задача (4)-(6) является обобщением рассматриваемой нами задачи оптимизации производcтвенной программы, в которой для производства n видов продукции х1, х2,…,хn используется m видов ресурсов b1, b2,…,bm при затратах i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции в количестве аij и выручке от реализации единицы произведенной продукции j-го вида в размере сj, j = 1,…n.

Сформулируем для задач (4)-(6) и (7)-(9) теоремы двойственности:

Теорема 1 (первая теорема двойственности).

Если одна из задач (4)-(6) и (7)-(9) имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение. При этом оптимальные значения целевых функций совпадают, т.е. max Z = min W.

Если же целевая функция одной из задач не ограничена, то другая задача не имеет ни одного допустимого решения.

Теорема 2 (вторая теорема двойственности).

Допустимые решения Х = (х1, х2,…,хn), U = (u1, u2,…,um) прямой и двойственной задач оптимальны тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

ui(bi - Saijxj) = 0, i = 1,..,m,                                                     (10)

xj(сj - Saijuj) = 0, j = 1,..,n                                                        (11)

Условия (10), (11) называются условиями «дополняющей нежесткости».

Используем теорему 2 для нахождения оптимального решения U* двойственной задачи. Для этого известные значения компонент х1*, х2*,…,хn* вектора Х* подставляются в соотношения (10), (11). В результате такой подстановки получится система линейных уравнений относительно неизвестных величин u1, u2,…,um, решение которой позволит  получить оптимальные значения u1*, u2*,…,um*.

Для рассматриваемой нами задачи соотношения (10), (11) будут иметь вид:

u1 (312- 2x1- 2x2 )= 0                    x1(2u1 + 4u2 + 2u3 - 210 )= 0

u2(492- 4x1 – 3x2)= 0                    x2(2u1 + 3u2 + 7u3 - 394) = 0

u3(664 -2x1 – 7x2)= 0   

u1 ³0, u2 ³0,  u3 ³ 0,


Подставляя в них найденные значения х1* = 66, х2*= 76, получим:

так как х1* = 66,  то  2u1 + 4u2 + 2u3 - 210= 0;

так как х2* = 76,  то  2u1 + 3u2 + 7u3 – 394 = 0;

так как 312- 2х1* – 2 х2* = 312 – 2´66 -2´76 = 28 ¹0, то u1* = 0.


Получаем систему уравнений:

2u1 + 4u2 + 2u3 - 210= 0

 2u1 + 3u2 + 7u3 – 394 = 0

u1=0


Решая эту систему, находим оптимальные значения переменных двойственной задачи:

u1* = 0, u2* = 31, u3* = 43, W = 312u1 + 492u2 + 664u3® min.


Вычислим оптимальное значение целевой функции двойственной задачи:

W = 312 × 0 + 492 × 31 + 664 × 43 = 43804,  т.е. Z* = W* = 43804, что соответствует первой теореме двойственности.


1.5. Экономическая интерпретация переменных и оптимального решения двойственной задачи.


Для исследуемой задачи оптимизации производственной программы получим

u1 – стоимостная оценка сырья, ее размерность [руб./1 кг сырья];

u2 – стоимостная оценка времени работы оборудования, ее размерность [руб./1 ст.час];

u3 – стоимостная оценка трудовых ресурсов, [руб./1 чел.-час];

u1* = 0 означает, что ни увеличение, ни уменьшение месячного количества сырья не приведет к изменению оптимального значения суммарной выручки .

u2* =  31 означает, что при изменении количества оборудования с 31 стан.-час до 31 + Δm1, изменение максимальной суммарной выручки составит u2* Δm1 (руб.) = 31Δm1 (руб).

u3* = 43 означает, что при изменении количества трудоресурсов с 43 чел.-час. до 43 + Δt1,  изменение максимальной суммарной выручки составит u3* Δt1 (руб.) = 43Δt1 (руб.).



1.6. Графический анализ устойчивости изменения используемых ресурсов.


K
 

A
 


C
 
 




Количество используемого сырья S=2х1 + 2х2 .

Если SÎ[0; S(A)], то точкой максимума является точка E(0; x2) пересечения оси Ох2 и прямой ограничения по сырью (1).

Если SÎ[S(A); S(K)], то точкой максимума является точка R(x1; x2) отрезка AK пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (3).

Если SÎ[S(K); ¥], то точкой максимума является точка K(x1; x2)  пересечения прямой (2) и прямой (3).

Координаты точки Е находятся из системы  уравнений

 2х1 + 2х2 = S                

 х1  = 0

Решаем ее:

 х1 = 0, х2 = S/2.

 Z*(S) =210х1* + 394х2* =197S;  u1 = 197; u2= 0; u3 = 0


Координаты точки R находим из системы  уравнений

2х1 + 2х2 = S                

2х1 + 7х2 = 664

Решаем ее:

 х1 = (7S-1328)/10, х2 = (664-S)/5.

Z*(S) = 210х1* + 394х2* =210´(7S-1328)/10 + 394´(664-S)/5 =68,2S+24435,2; 

u1 = 68,2; u2= 0; u3 = 0.


Координаты точки К находим из системы  уравнений

 4х1 + 3х2 = 492

2х1 + 7х2  = 664

Решаем ее:

 х1 = 66, х2 = 76.

Z*(S) = 210х1* + 394х2* =210´66 + 394´76 =43804 

u1 = 0; u2= 0; u3 = 0.


S(A)= 2х1 + 2х2 =0+2´94,86=189,7,

S(K)= 2х1 + 2х2 =2´66+2´76=284



S

0£S<189,7

189,7£S<284

S³284

u1*(S)

197

68,2

0

Z*(S)

197S

68,2S+24435,2

43804 


E
 

C
 


Количество используемого времени работы оборудования  M=4х1 + 3х2 .

Если MÎ[0; M(C)], то точкой максимума является точка G(0; х2) пересечения оси Ох2 и прямой ограничения по оборудованию  (2).

Если MÎ[M(C); M(E], то точкой максимума является точка Q(x1; x2) отрезка СЕ пересечения прямой ограничения по оборудованию и прямой (3).

Если МÎ[М(Е); ¥], то точкой максимума является точка Е(x1; x2)  пересечения прямой (1) и (3).

Координаты точки G находятся из системы  уравнений

 4х1 + 3х2 = M                

 х1  = 0

Решаем ее:

 х2 = M/3, х1 = 0.

 Z*(M) =210х1* + 394х2* =131,3M;  u1 = 0; u2= 131,3; u3 = 0


Координаты точки Q находим из системы  уравнений

2х1 + 7х2 = 664                

4х1 + 3х2 = M

Решаем ее:

 х1 = (7M – 1992)/22, х2 = (1328-M)/11.

Z*(M) = 210х1* + 394х2* =210´ (7M – 1992)/22 + 394´(1328-M)/11 =31M+28552 

u1 = 0; u2= 31; u3 = 0.


Координаты точки E находим из системы  уравнений

 2х1 + 2х2  = 312

2х1 +7х2=664

Решаем ее:

 х1 = 85,6; х2 = 70,4.

Z*(M) = 210х1* + 394х2* =210´85,6 + 394´70,4 =45713,6 

u1 = 0; u2= 0; u3 = 0.


M(C)= 4х1 + 3х2 =4´0+3´94,85=284,55,

M(E)= 4х1 + 3х2 =4´85,6+3´70,4=553,6



    Таким образом, решена задача определения функций u2*(M) и  Z*(М) для всех возможных значений MÎ[0;+ ¥).


M

0£M<284,55

284,55£M<553,6

M³553,6

u1*(M)

131,3

31

0

Z*(M)

131,3 M

31M+28552

45713,6 




B
 

A
 


Количество используемых Т=2х1 + 7х2 .

Если ТÎ[0; Т(A)], то точкой максимума является точка E(х1; 0) пересечения оси Ох1 и прямой ограничения по трудовым ресурсам  (3).

Если ТÎ[Т(A); Т(В)], то точкой максимума является точка V(x1; x2) отрезка AB пересечения прямой ограничения по трудовым ресурсам  и прямой (2).

Если TÎ[T(B); T(C)], то точкой максимума является точка Q(x1; x2)  пересечения прямой ограничения по трудовым ресурсам и прямой (1).

Если TÎ[T(C); ¥], то точкой максимума является точка D(0; х2) пересечения оси Ох2 и прямой ограничения по сырью (1).


Координаты точки Е находятся из системы  уравнений

 2х1 + 7х2 = T                

 х2  = 0

Решаем ее:

 х2 = 0, х1 = T/2.

 Z*(Т) =210х1* + 394х2* =210´T/2+394´0=105T;  u1 = 0; u2= 0; u3 = 105


Координаты точки V находим из системы  уравнений

 2х1 + 7х2 = T                

4х1 + 3х2 = 492

Решаем ее:

 х1 = (3444-3T)/22, х2 = (2T-492)/11.

Z*(Т) = 210х1* + 394х2* =210´(3444-3T)/22 + 394´(2T-492)/11 =43T+15252; 

u1 = 0; u2= 0; u3 =43.


Координаты точки Q находим из системы  уравнений:

 2х1 + 2х2 = 312                

2х1 + 7х2 = T


х1 = (1092-T)/5, х2 = (T-312)/5.

Z*(Т) = 210х1* + 394х2* =210´(1092-T)/5 + 394´(T-312)/5 =36,8T+21278,4 

u1 = 0; u2= 0; u3 = 36,8.


Координаты точки D:

х1 = 0, х2 = 156

Z*(Т) = 210х1* + 394х2*=2107´0+3947´156=61464


Т(A)= 2х1 + 7х2 =2´123=0=246,

Т(В)= 2х1 + 7х2 =2´24+7´132=972

  T(C)= 2х1 + 7х2= 0+7´156=1092

Таким образом, решена задача определения функций u3*(T) и Z*P(Т) для всех возможных значений TÎ[0;+ ¥)


T

0£T<246

246£T<972

        972£T<1092

T³1092

u3*(T)

105

43

36,8

0

Z*P(Т)

105T

43T+15252

36,8T+21278,4

61464


Задача 2.


Малое предприятие намерено организовать в  следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих  на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:

Наименование ресурсов

  Норма затрат на                                         

Объем

ресурса

Продукт А

Продукт В

Сырье (кг)

3

1

300

Оборудование (ст.час.)

2

2

280

Трудоресурсы(чел.час.)

2

1

?

Цена реализации (руб.)

1216

420

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и  затратами, связанными  с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой  t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда  t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли  и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 50 рублей за чел.-час. Найти  функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.


Решение.


2.1 Построение математической модели оптимизации выпуска продукции.


Для построения модели введем следующие обозначения:

х1 – объем выпуска продукции А,

х2 – объем выпуска продукции Б,

S – потребность в трудовых ресурсах,

t – почасовая ставка оплаты труда,

V – размер кредита,

Z – выручка от реализации произведенной продукции,

P – прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию сырья:

3x1 + x2 £ 300;

Ограничения по использованию оборудования:

2x1 + 2x2 £ 280;

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах х1 и х2:

S = 2x1 + x2 .

Размер необходимого кредита определяется, исходя из потребности в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е.

V=tS = t(2x1 + x2).

Выручка от реализации произведенной продукции:

Z = 1216x1 + 420x2

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

         40%        3

V + (¾¾ ´ ¾¾¾)V = V + 0.1V = 1.1V.

  100%      12

Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.

Р = Z – 1.1V.

Подставляя в эту формулу выражения для Z и V, получим

Р = (1216x1 +420x2) – 1,1 t(2x1 + x2) = (1216 – 2,2t)х1 + (420 – 1,1 t)х2

Следовательно,  математическая модель оптимизации выпуска продукции с привлечением кредитных ресурсов для оплаты труда рабочих  принимает следующий вид:

Найти неизвестные значения объемов выпуска х1, х2, удовлетворяющих ограничениям

3x1 + x2 £ 300

2x1 + 2x2 £ 280                                                                                 (1)

х1³0, х2³0,

и доставляющих максимальное значение целевой функции:

Р = (1216 – 2,2t)х1 + (420 – 1,1 t)х2 → max.

При этом необходимый размер кредита V  определяется по формуле:

V = tS = 2tx1* + tx2*,

где х1*, х2* - оптимальное решение задачи (1). Модель (1)  представляет собой задачу параметрического линейного программирования, так как в ее условиях содержится параметр t, от значения которого зависит оптимальное решение.


2.2 Определение оптимальной программы выпуска продукции.


При фиксированной ставке оплаты труда t = 10 руб./чел.-час. математическая модель (1) примет вид:


3x1 + x2 £ 300

2x1 + 2x2 £ 280

х1³0, х2³0,

Р = 1194х1 + 409х2 → max.


Графическое решение задачи изображено на рис. Точкой максимума является точка C с координатами где х1* = 80, х2*= 60.



Максимальный размер прибыли:

Р* = Р = 1194´80 + 409 ´ 60= 120060 (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 2tx1* + tx2* = 2´10´80  + 1´10´60 =2200 руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´ 2200=220руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x1* + x2* = 2´80 + 1´60 = 220(чел.-час.).



2.3 Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы


Потребность в трудовых ресурсах  S   для обеспечения  оптимального выпуска в объемах х1*, х2* определяются соотношением:

S* = 2x1* + x2*,

Но оптимальный план выпуска Х* = (x1* , x2*), зависит от почасовой ставки t оплаты труда. Следовательно, величина Sтакже зависит от t, т.е. потребность в трудовых ресурсов S есть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию. Для этого рассмотрим модель (1) и определим оптимальные планы выпуска Х* = (x1* , x2*) при различных значениях t, используя графический метод решения задачи линейного программирования.

Пусть t достаточно мало (близко к нулю). Рассмотрим уравнение линии уровня целевой функции

Р = (1216 – 2,2t)х1 + (420 – 1,1 t)х2 = h.

При малых значениях t прямая с таким уравнением будет почти параллельна прямой с уравнением

Р = 1216х1 + 420х2 = h.


Найдем значение h для линии уровня, проходящей через точку C, подставив в уравнение координаты точки C x1*  = 80, x2* =60. Тогда

1216´80 + 420 ´ 60 = h, т.е. h = 122480.

Рассмотрим уравнение прямой  1216х1 + 420х2 = 122480, проходящей через точку C.  Закрепим прямую в точке С. Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна ВС. Из равенства угловых коэффициентов получаем:


,  t =40


Следовательно точка C (80;60) остается точкой максимума пока tÎ[0;40).

Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[0;40):

Р* = (1216 – 2,2t)´80 + (420 – 1,1 t)´60  = 122480-242t  (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 2tx1* + tx2* = 2´t´80 + t´60 =220t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´ 220t =22t руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x1* + x2* = 2´80 + 60 = 220(чел.-час.).


Если t=40, то оптимальное решение будет достигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(100;0) и C(80;60).


Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна АС. Из равенства угловых коэффициентов получаем:


; t =723,6 > 60.


Если tÎ[40; 60] точкой максимума станет точка В(100;0).

Найдем максимальный размер прибыли для  tÎ[40;60]:

Р* =(1216 – 2,2t)´100 + (520 – 1,1 t)´0  = 121600 – 220t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 2tx1* + tx2* = 2´t´100 + t´0 =200t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´ 200t =20tруб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x1* + x2* = 2´100 + 0 = 200(чел.-час.).

Итоги решения задачи представим в таблице:


Почасовая оплата  труда t (руб.)

Оптималь-ный план выпуска Х*(t)= (x1*,x2*)

Величина спроса на трудовые ресурсы S*(t) (чел.-час.)

Размер необходимого кредита V*(t), (руб.)

Величина максималь-ной прибыли Р*(t) (руб.)

t = 10

(80;60)

220

2200

120060

tÎ(10;40)

(80;60)

220

220t

122480-242t

t = 40

Отрезок ВС

[200;220]

[8000;8800]

112800

tÎ(40;60]

(100;0)

200

200t

121600 – 220t







Задача №3.

Лизинговая компания располагает капиталом в размере 70 млн.руб., предназначенным для приобретения объектов, передаваемых лизингополучателям по договорам лизинга. Предварительный анализ пвотребностей лизингополучателей позволил выделить три типа объектов, пользующихся наибольшим спросом:

Объект №1 – оборудование для производства мебели;

Объект №2 - оборудование для производства тетрапаков;

Объект №3 – токарные станки-полуавтоматы.

Лизинговой компании известны оценки ожидаемой доходности от передачи объектов лизингополучателям, которая зависит от  стоимости объекта. Например,  при передаче лизингополучателю объекта №1 стоимостью 20 млн.руб. годовой доход компании от этой сделки составит 6,3 млн.руб., а при передаче объекта №3 стоимостью 50 млн.руб. годовой доход составит 15,5млн.руб. Информация об ожидаемом годовом доходе компании по всем трем объектам при всех возможных вариантах стоимости этих объектов приведена в таблице:


Стоимости объектов (млн.руб.)       

0

10

20

30

40

50

60

70

Год.доход от 1 объекта (млн.руб.)   

0

3,2

6,3

9,3

12,2

15

17,7

20,3

Год.доход от 2 объекта (млн.руб.)   

0

1,5

2,8

3,9

4,8

5,5

6

6,3

Год.доход от 3 объекта (млн.руб.)   

0

3,7

7,1

10,2

13

15,5

17,7

19,6

Задача лизинговой компании заключается в том, чтобы определить, какие объекты о на какую сумму следует приобрести, чтобы обеспечить получение максимального суммарного дохода от передачи этих объектов лизингополучателям.

1.                  Построить математическую модель оптимального использования имеющегося капитала на приобретение объектов лизинга и записать ее в форме задачи динамического программирования.

2.                  Найти оптимальное распределение капитала в 70 млн. руб. на приобретение объектов.

3.                  Определить оптимальное распределение капитала в 70 млн.руб. на приобретение объектов лизинга в случае возникновения потребности лизингополучателей в объекте №4, стоимостные характеристики которого приведены в следующей таблице:


Стоимости объектов (млн.руб.)

0

10

20

30

40

50

60

70

Год.доход от 1 объекта (млн.руб.)

0

3,15

5,9

8,25

10,2

11,75

12,9

13,65

Решение.


3.1  Под многошаговым процессом в данном случае понимаем процесс распределения капитала в 70 млн. руб. между объектами лизинга. Под k-м шагом понимается выделение некоторой суммы средств на приобретение k-го объекта лизинга, k=1,2,3. Определяем управляющие параметры и параметры состояния:

уравнение uk на k-м шаге – это размер средств, выделенных на приобретение k-го объекта лизинга, k=1,2,3;

параметры состояния xk на k-м шаге – это остаток капитала, подлежащий дальнейшему распределению после приобретения k первых объектов лизинга, т.е. х0 – начальная сумма капитала в 70 млн.руб., х1 – сумма капитала, которая осталась после приобретения 1-го объекта лизинга, х2 – сумма капитала, которая осталась после приобретения 1-го и 2-го объектов лизинга и т.д.

Уравнения состояния определяются из содержательного смысла переменных uk, xk:

x1 =x0 – u1,

x2 =x0 – u1 – u2 =x1 – u2,

x3 =x0 – u1 – u2 – u3  =x2 – u3, т.е.

xk =Fk(xk-1 , uk),

где Fk(xk-1 , uk) = xk-1 - uk.

Множество допустимых  управлений Dk на k-м шаге определяется из условия xk³0 для всех k = 0, 1, 2, 3. Показатель эффективности управления на k-м шаге есть величина ожидаемого годового дохода от передачи объектов лизингополучателям, значения которого содержатся в таблице исходных данных. Поскольку доход зависит только от размера капитала, выделенного на приобретение объектов, то показатель эффективности управления fk на k-м шаге имеет вид fk = fk(uk) и не зависит от состояния хk-1. Суммарный показатель эффективности Z равен сумме показателей для всех шагов.

Таким образом, математическая модель оптимального использования капитала на приобретение объектов лизинга примет вид:

Найти неизвестные значения управлений u1, u2, u3, удовлетворяющих ограничениям

x1 =x0 – u1,

x2 =x1 – u2,

x3 =x2 – u3,

x0 = 70,

0£uk£xk-1, k = 1,2,3

и доставляющих максимальное значение целевой функции

Z = f1(u1) + f2(u2) + f3(u3) → max

Значения функций  f1, f2, f3  содержатся в таблице исходных данных условия задачи.


3.2 Нахождение оптимального распределения капитала на прибретение трех объектов лизинга.

   Запишем таблицу исходных данных как таблицу значений показателя эффективности управления на всех трех шагах.

                                                                                                                    Таблица 1

Размер годового дохода от передачи объектов f (млн.руб.)

Объект №1   f1(u)

Объект №2 f2(u)

Объект №3 f3(u)

Объект №4 f4(u)

Стоимость объекта u (млн.руб.)


0

0

0

0

0

10

3,2

1,5

3,7

3,15

20

6,3

2,8

7,1

5,9

30

9,3

3,9

10,2

8,25

40

12,2

4,8

13

10,2

50

15

5,5

15,5

11,75

60

17,7

6

17,7

12,9

70

20,3

6,3

19,6

13,65


Введем условные  максимумы Zk*(xk-1):

                            Z1*(x0) =  max  (f1(u1) + f2(u2) + f3(u3))

                                                              u1,u2,u3

               Z2*(x1) =  max  (f2(u2) + f3(u3))

                                                                u2,u3

Z3*(x2) =  max  (f3(u3))

                                                                u3

 и запишем функциональные уравнения Беллмана



Zk*(xk-1) =  max  {fk(uk) + Zk+1*(xk)}, k = 1, 2,

                                           0£uk£xk-1

Z3*(x2) =  max  f3(u3),

                                                              0£u3£x2

Поскольку в соответствии с уравнением состояния xk = xk-1 - uk, то уравнения (7) могут быть записаны следующим образом:


Zk*(xk-1) =  max  {fk(uk) + Zk+1*(xk-1-uk)}, k = 1,2.

                                           0£uk£xk-1

Приступаем  к условной оптимизации и находим решение уравнения


Z3*(x2) =  max  f3(u3),

                                                              0£u3£x2

для всех возможных значений х2.

Содержательный смысл решения этого уравнения заключается в том, что ты находим условное оптимальное управление на 3-м шаге, т.е. оптимальный размер капитала, который будет затрачен на приобретение 3-го объекта лизинга при условии, что на его приобретение осталось х2 млн.руб. Поскольку нам заранее неизвестно, сколько средств затрачено на приобретение 1-го и 2-го  объектов,  то остаток средств х2 может принимать любое значение от 0  до 70   млн.руб.

 Значения функции Z3*(x2) совпадают с f3(x2), а  u3*(x2) совпадает с х2, поскольку функция f3(u) является монотонно возрастающей и, следовательно, на любом отрезке 0≤u≤x2 достигает своего максимума в его правом конце х2.

Таким образом,  найдены множества {Z3*(x2)} и {u3*(x2)} при всех возможных значениях х2 = 0, 10, 20,…,70.

Переходим к нахождению множеств {Z2*(x1)} и {u2*(x1)} из уравнения (9) для k = 2:

Z2*(x1) =  max  {f2(u2) + Z3*(x1-u2)},

                                                  0£u2£x1

 

Заполним две вспомогательные таблицы. Вспомогательная таблица для второго шага условной оптимизации представлена таблицей 2.

В столбце таблицы 2 выделены те значения u3,на которых достигается  max  {f2(u2) + Z3*(x1-u2)}, т.е. выделены значения условных оптимальных управлений u2*(x1), соответствующих условным максимумам Z2*(x1). Найденные значения заносим в итоговую таблицу.

                                                                                                    Таблица 2


Возможн. значения размера капитала х1

Размер капит. на приобрет. объекта №2 u2

Остаток капитала на приобрет. объекта №3 х2=x1-u2

Годовой доход от объекта №2 f2(u2)

Услов. максим. доход от объекта №3 Z3*(x1-u2)

Суммарный доход от объектов №2 и №3 f2(u2)+Z3*(x1-u2)

Суммар.услов.максим. Доход от объектов №2 и №3 Z2*(x1)

0

0

0

0

0

0

0

10

0

10

0

3,7

3,7

3,7

 

10

0

1,5

0

1,5

 

20

0

20

0

7,1

7,1

7,1

 

10

10

1,5

3,7

5,2

 

 

20

0

2,8

0

2,8

 

30

0

30

0

10,2

10,2

10,2

 

10

20

1,5

7,1

8,6

 

 

20

10

2,8

3,7

6,5

 

 

30

0

3,9

0

3,9

 

40

0

40

0

13

13

13

 

10

30

1,5

10,2

11,7

 

 

20

20

2,8

7,1

9,9

 

 

30

10

3,9

3,7

7,6

 

 

40

0

4,8

0

4,8

 

50

0

50

0

15,5

15,5

15,5

 

10

40

1,5

13

14,5

 

 

20

30

2,8

10,2

13

 

 

30

20

3,9

7,1

11

 

 

40

10

4,8

3,7

8,5

 

 

50

0

5,5

0

5,5

 

60

0

60

0

17,7

17,7

17,7

 

10

50

1,5

15,5

17

 

 

20

40

2,8

13

15,8

 

 

30

30

3,9

10,2

14,1

 

 

40

20

4,8

7,1

11,9

 

 

50

10

5,5

3,7

9,2

 

 

60

0

6

0

6

 

70

0

70

0

19,6

19,6

19,6

 

10

60

1,5

17,7

19,2

 

 

20

50

2,8

15,5

18,3

 

 

30

40

3,9

13

16,9

 

 

40

30

4,8

10,2

15

 

 

50

20

5,5

7,1

12,6

 

 

60

10

6

3,7

9,7

 

 

70

0

6,3

0

6,3

 







                                                                                                      Таблица 3

Возможн. значения размера капитала х0

Размер капит. на приобрет. объекта №1 u1

Остаток капитала на приобрет. Объектов №2 и №3 х1=x0-u1

Годовой доход от объекта №1 f1(u1)

Услов. максим. доход от объектов №2 и №3 Z2*(x0-u1)

Суммарный доход от объектов №1, №2 и №3 f1(u1)+Z2*(x0-u1)

Суммар.услов.максим. доход от объектов №2 и №3 Z1*(x0)

0

0

0

0

0

0

0

10

0

10

0

3,7

3,7

3,7

 

10

0

3,2

0

3,2

 

20

0

20

0

7,1

7,1

7,1

 

10

10

3,2

3,7

6,9

 

 

20

0

6,3

0

6,3

 

30

0

30

0

10,2

10,2

 

 

10

20

3,2

7,1

10,3

10,3

 

20

10

6,3

3,7

10

 

 

30

0

9,3

0

9,3

 

40

0

40

0

13

13

 

 

10

30

3,2

10,2

13,4

13,4

 

20

20

6,3

7,1

13,4

13,4

 

30

10

9,3

3,7

13

 

 

40

0

12,2

0

12,2

 

50

0

50

0

15,5

15,5

 

 

10

40

3,2

13

16,2

 

 

20

30

6,3

10,2

16,5

16,5

 

30

20

9,3

7,1

16,4

 

 

40

10

12,2

3,7

15,9

 

 

50

0

15

0

15

 

60

0

60

0

17,7

17,7

 

 

10

50

3,2

15,5

18,7

 

 

20

40

6,3

13

19,3

 

 

30

30

9,3

10,2

19,5

19,5

 

40

20

12,2

7,1

19,3

 

 

50

10

15

3,7

18,7

 

 

60

0

17,7

0

17,7

 

70

0

70

0

19,6

19,6

 

 

10

60

3,2

17,7

20,9

 

 

20

50

6,3

15,5

21,8

 

 

30

40

9,3

13

22,3

 

 

40

30

12,2

10,2

22,4

22,4

 

50

20

15

7,1

22,1

 

 

60

10

17,7

3,7

21,4

 

 

70

0

20,3

0

20,3

 


В столбце «u1», таблицы 3 выделены значения условных управлений u1*(x0), соответствующих условным максимумам Z1*(x0). Найденные значения u1*(x0)  и Z1*(x0) заносятся в основную таблицу 4,  которая оказывается полностью заполненной и приведена ниже .На этом заканчивается этап условной оптимизации. Второй этап задачи – безусловная оптимизация.


                                                        Таблица 4

Возможные значения объемов инвестиций х

k=3 ( 3-й шаг)

k=2 (2- шаг)

k=1 (1-й шаг)

u3*(x2)

Z3*(x2)

u2*(x1)

Z2*(x1)

u1*(x0)

Z1*(x0)

0

0

0

0

0

0

0

10

10

3,7

0

3,7

10

3,7

20

20

7,1

0

7,1

20

7,1

30

30

10,2

0

10,2

10

10,3

40

40

13

0

13

10,20

13,4

50

50

15,5

0

15,5

20

16,5

60

60

17,7

0

17,7

30

19,5

70

70

19,6

0

19,6

40

22,4


По определению максимальное значение показателя эффективности всего процесса есть Z1*(x0) для х0 = 70. Из таблицы 3 находим Z1(70) = 22,4, а u1* = u1*(70) = 40 – оптимальное управление на первом шаге. Так как х1 = х0 – u1, то х1* = х0* – u1* = 70 – 40 = 30.

Далее по столбцам «х» и «u2*(x1)»  таблицы 2 находим u2* = u2*(x1*) =u2*(30) = 0 – оптимальное управление на втором шаге. Так как х2 = х1 – u2, то х2* = х1* – u2* = 30 –0 = 30.

Далее по столбцам «х» и «u2*(x2)»  таблицы 2 находим u3* = u3*(x2*) =u3*(30) = 30 – оптимальное управление на втором шаге.

Таким образом, найдено максимальное значение целевой функции Zmax = 22,4 и оптимальные управления на каждом шаге u1* = 40, u2* =0, u3* = 30. Содержательный смысл  найденного решения заключается в том, что на приобретение 1-го объекта лизинга следует выделить 40 млн.руб., 2-го объекта – 0 млн.руб., 3-го объекта – 30 млн.руб., что позволит получить 22,4 млн.руб. годового дохода от передачи приобретенных объектов лизингополучателям.


3.3 Нахождение оптимального распределения капитала на приобретение четырех объектов лизинга.


Решение этой задачи может быть легко получено на основе использования результатов решения предыдущей задачи, если номер шага k, соответствующий определению размера капитала на приобретение 4-го объекта лизинга будет назван «нулевым», а не четвертым. В этом  случае многошаговый процесс распределения капитала будет выглядеть следующим образом:

0-й шаг – определение размера капитала на приобретение 4-го объекта лизинга;

1-й шаг – определение размера капитала для 1-го объекта лизинга;

2-й шаг – для 2-го объекта;

3-й шаг – для 3-го объекта.

Функцию годового дохода от передачи  лизингополучателям 4-го объекта обозначим через f0(u0), где u0 – размер капитала, выделяемый на приобретение 4-го объекта. Начальный размер капитала, обозначаемый ранее через х0, обозначим через х-1, т.е. х-1 = 70 млн.руб. Максимальный размер годового дохода лизинговой компании в данной задаче будет равен Z0*( х-1), т.к. по определению

Z-1*(x0) =  max  (f0(u0) + f1(u1) + f2(u2) + f3(u3)).

                                           u1,u2,u3

Воспользуемся функциональными уравнениями Беллмана и найденными ранее значениями {Z1*(x0)} для нахождения Z0*(x-1)


Z0*(x-1) =   max  {f0(u0) + Z1*(x-1-u0)}= max  {f0(u0) + Z1*(70-u0)}=

                                                  0£u0£x-1             0£u0£70

=max { f0(0) + Z1*(70); f0(10) + Z1*(60); f0(20) + Z1*(50); f0(30) + Z1*(40); f0(40) + Z1*(30); f0(50) + Z1*(20); f0(60) + Z1*(10); f0(70) + Z1*(0)}=

=max{0+22,4; 3,15+19,5; 5,9+16,5; 8,25+13,4; 10,2+10,3; 11,75+7,1; 12,9+3,7; 13,65+0} = 22,65

т.е. Z0*(x-1) = Z0*(70) = 22,65.

При этом максимум достигается при u0* = u0*(70) = 10. Тогда х0* = х1* -u0*= 70-10 =60, следовательно, u1* = u1*(x0*) = u1*(60) = 30 из табл.4. Далее х1* = х0* -u1*= 60-30 =30, следовательно, u2* = u2*(x1*) = u2*(10) = 0 из табл.4. Наконец, х2* = х1* -u2*= 30-0 =30, следовательно, u3* = u3*(x1*) = u3*(30) = 30 из табл.4.

Таким образом,  получено оптимальное распределение капитала в 70 млн. руб. на приобретение четырех объектов лизинга и соответствующее этому распределению максимальное значение годового дохода:

Максимальный доход Zmax(70) = 22,65 млн.руб.

На приобретение 1- го  объекта выделяется 30 млн.руб, 2-го объекта выделяется 0 млн.руб , на приобретение 3-го объекта выделяется 30 млн.руб, 4-го объекта – 10 млн.руб.

Итоговый ответ решения задачи представим в следующем виде

Для трех объектов:

Zmax(70) = 22,4 млн.руб.; U* = (u1*, u2*, u3*) = (40;0;30)

Для четырех объектов:

Zmax(70) = 22,65 млн.руб.; U* = (u1*, u2*, u3*, u4*) = (30;0;30;10)

Задача 4

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме выполнения приведены в следующей таблице:


Имя работы                           

А

В

С

D

E

F

G

H

Q

V

Опирается на работу         

E

G,Q

C,F,B,A

V

E

G,Q

V

Нормальный срок                   

5

10

20

  5

10

5

13

15

  9

  5

Ускоренный срок                   

2

  4

  8

  2

  4

2

  4

  6

  2

  2

Норм.стоим.(млн.руб.)        

4,6

38,4

23,2

20,4

10

5,6

44,4

68,4

23,4

24

Плата за ускор.(млн.руб.)

6,9

57,6

34,8

30,6

15

8,4

99,9

102,6

81,9

36

         Требуется:

1.                  С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.

2.                  Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

3.                  Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 4 дн. С какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона.


Решение.


Упорядоченный  сетевой график строительства торговой павильона изображен на рис., где рядом с буквой, обозначающей работу, в скобках проставлено число, равное нормальному сроку ее выполнения.


Обозначим

 Ткр – критическое время, т.е. наименьшее время выполнения всего комплекса работ.

Трi – раннее время наступления i-й события, т.е. момент времени, раньше которого событие i не может наступить.

Рассчитаем Трi для всех событий сетевого графика, т.е. для i= 1,2,…,6. Время наступления 1-го события сетевого графика будем считать равным нулю, т.е.    Тр1 = 0. Далее последовательно находим Тр2,…, Тр6

 дн

 дн;

 дн;

.


Стоимость

S = 4,6+38,4+23,2+20,4+10+5,6+44,4+68,4+23,4+24=262,4


Критический срок Ткр = 29 дн

Критический путь Р=(V,Q,H)=(V,Q,B,D)


 Сокращение сроков строительства торгового павильона



Имя работы                           

А

В

С

D

E

F

G

H

Q

V

Нормальный срок                  

5

10

20

5

10

5

13

15

9

5

Ускоренный срок                   

2

4

8

2

4

2

4

6

2

2

Норм. стоим.(млн.руб.)        

4,6

38,4

23,2

20,4

10

5,6

44,4

68,4

23,4

24

Плата за ускор.(млн.руб.)

6,9

57,6

34,8

30,6

15

8,4

99,9

102,6

81,9

36

Максим. сокращение вре-мени выполнения (дн.)

3

6

12

3

6

3

9

9

7

3

Удельная цена

2,3

9,6

2,9

10,2

2,5

2,8

11,1

11,4

11,7

12


T(P3)=25
 

T(P3)=25
 





Просматривая все полные некритические пути, убеждаемся, что при сокращении срока строительства на 4 дня, т.е. до 29 дней, критическими могут стать пути P1, P2, Р5,  Р6. Длина первого и второго 29 дней,  а длина пятого и шестого равна 28 дней. Для первого пути эффективно сократить работу B на 3 дня и работу Q на 1 дня, тогда длина пятого пути становится 25 дней, а длина второго пути становится 28 дней. Для второго пути эффективно сократить работу Н на 3 дня, тогда работа 6 сократится на 3 дня. При этом дополнительные затраты составят:

3(дня) ´ 11,4(млн.руб./день) + 3(дня) ´ 9,6 (млн.руб./день) + 1(день) ´11,7(млн.руб./день) = 74,7(млн.руб.)

Критическое время станет равным

Ткр = 29 – 4 = 25 (дней).

Новая стоимость работ будет равной

S = 262,4 +74,7=337,1(млн.руб.).

Критические пути (V,Q,B,D), (V, Q,H), (G, B, D),(G, H).

Задача 5

Имеются данные по 15 субъектам Российской Федерации за январь-март 2001 года о денежных доходах и потребительских расходах на душу населения в среднем за месяц, которые приведены в  таблице:

Номер субъекта РФ                          

1

2

3

4

5

6

7

8

Денежные доходы, тыс.руб.

1,57

1,3

1,75

1,46

1,75

1,79

1,33

1,38

Потребительские расходы, тыс.руб

1,29

1,15

1,3

1,36

1,67

1,59

0,92

1,08

Номер субъекта РФ                          

9

10

11

12

13

14

15

Денежные доходы, тыс.руб.

2,24

2,47

2,29

2,45

2,43

2,99

1,91

Потребительские расходы, тыс.руб

1,65

1,76

1,7

1,88

1,38

2,74

1,46

На основе имеющихся данных требуется:

1. Построить поле рассеяния наблюдаемых значений показателей и на основе его визуального наблюдения выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости потребительских расходов у от денежных доходов х; записать эту гипотезу в виде математической модели.

2. Используя метод наименьших квадратов найти точечные оценки неизвестных параметров модели, записать найденное уравнение регрессии и построить график функции регрессии.

3. Найти коэффициент парной корреляции между денежными доходами и потребительскими расходами; проверить значимость найденного коэффициента корреляции. Найти коэффициент детерминации.

4. Проверить с помощью критерия Фишера значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости).

5. Найти точечный и интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ увеличится на 30%.

6. Привести содержательную интерпретацию полученных результатов.



Решение.


5.1. Построение математической модели. Оценка неизвестных параметров методом наименьших квадратов.


Полем рассеяния называется множество точек на плоскости, координаты которых соответствуют наблюдаемым значениям исследуемых показателей. В нашем примере хi – среднедушевые денежные доходы, yi – среднедушевые потребительские расходы в i-м субъекте РФ, i = 1,…,15. Таким образом, поле рассеяния состоит из 15-ти точек с координатами (xi,yi), которые показаны на рис.

Визуальный анализ поля рассеяния позволяет выдвинуть гипотезу о линейной зависимости  потребительских расходов у от денежных доходов х и записать эту зависимость в виде линейной модели

у = α + βх + u,

где α, β - неизвестные постоянные коэффициенты, а u – случайная величина, характеризующая  отклонения реальных значений потребительских расходов от их теоретических значений α + βх. Случайная величина u называется случайным отклонением  или случайным возмущением модели. Ее включение в модель призвано отразить:

а) влияние не учтенных в модели факторов, влияющих на размер потребительских расходов;

б) элемент случайности и непредсказуемости человеческих реакций;

в) ошибки наблюдений и измерений.



5.2 После формулировки математической модели основная задача состоит в получении оценок неизвестных параметров  α и β по результатам наблюдений над переменными х и у, т.е. задача состоит в получении так называемого уравнения регрессии

у = a + bх,                                                                                             являющегося некоторой реализацией модели, в котором коэффициенты а и b есть оценки неизвестных параметров α и β соответственно. Решение задачи нахождения оценок а и b основывается на применении метода наименьших квадратов (сокращенно  - МНК), суть которой в следующем.

Нахождение оценок а и b неизвестных параметров α и β сводится к следующей экстремальной задаче функции двух переменных  F(a,b):

F(a,b)/Σ(yi – a - bxi)2 → min,

Которая в свою очередь сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и b:

 an + bΣxi = Σyi,

aΣxi + bΣxi2 = Σxiyi.

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:

      Σyi×Σxi2 – Σxiyi×Σxi                nΣxiyi – ΣxiΣyi           

a = —————————,      b = ——————— .

          nΣxi2 – (Σxi)2                          nΣxi2 – (Σxi)2    

Обозначим через  хср = 1/n Σхi, уср = 1/n Σуi  выборочные средние наблюдаемых значений  переменных х и у. Таким образом, оценки а и b можно искать по следующим формулам:

       nΣxiyi – ΣxiΣyi           

b = ——————— ,         а = уср - bхср.                                                       (2)

        nΣxi2 – (Σxi)2

Для удобства вычисления оценок искомых коэффициентов модели составляется табл.1, в которой столбцы    «у», «у - у», «(у - у)2» заполняются после нахождения уравнения регрессии.

Табл. 1

x

y

x*x

x*y

y*y

yp

yp-y

(yp-y)(yp-y)

1

1,57

1,29

2,4649

2,0253

1,6641

1,260801

-0,0292

0,000853

2

1,3

1,15

1,69

1,495

1,3225

1,065682

-0,08432

0,007109

3

1,75

1,3

3,0625

2,275

1,69

1,390879

0,090879

0,008259

4

1,46

1,36

2,1316

1,9856

1,8496

1,181308

-0,17869

0,031931

5

1,75

1,67

3,0625

2,9225

2,7889

1,390879

-0,27912

0,077908

6

1,79

1,59

3,2041

2,8461

2,5281

1,419786

-0,17021

0,028973

7

1,33

0,92

1,7689

1,2236

0,8464

1,087362

0,167362

0,02801

8

1,38

1,08

1,9044

1,4904

1,1664

1,123495

0,043495

0,001892

9

2,24

1,65

5,0176

3,696

2,7225

1,744983

0,094983

0,009022

10

2,47

1,76

6,1009

4,3472

3,0976

1,911195

0,151195

0,02286

11

2,29

1,7

5,2441

3,893

2,89

1,781116

0,081116

0,00658

12

2,45

1,88

6,0025

4,606

3,5344

1,896742

0,016742

0,00028

13

2,43

1,38

5,9049

3,3534

1,9044

1,882289

0,502289

0,252294

14

2,99

2,74

8,9401

8,1926

7,5076

2,286978

-0,45302

0,205229

15

1,91

1,46

3,6481

2,7886

2,1316

1,506505

0,046505

0,002163

сумма

29,11

22,93

60,1471

47,1403

37,6441

22,93

1,11E-16

0,683362

Воспользуемся формулами (2) и значениями последней строки табл.1 для нахождения оценок а и b. Тогда

хср = Σхi/15 =29,11/15 = 1,94 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых доходов;

уср = Σуi/15 = 22,93/15 = 1,53 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых потребительских расходов.


Следовательно,  b = 0,723

 а = уср – bxcp =  0,126

Таким образом, искомое уравнение регрессии примет вид

ŷ = 0,126 + 0,723х

Найденное уравнение регрессии есть уравнение прямой, которая изображена на рис.


5.3. Нахождение коэффициентов корреляции и детерминации.


Мерой зависимости между переменными х и у может служить выборочный коэффициент парной корреляции, который обозначается через rxy  и определяется по формуле:

                      nΣxiyi – ΣxiΣyi

rxy = ——————¾¾¾¾——¾— ,

          √nΣxi2 – (Σxi)2    √ nΣуi2 – (Σуi)2    

  


Подставляя соответствующие значения из последней строки табл.1, получаем

rxy = 0.858, rxy > 0 и близко к 1, следовательно, связъ сильная положительная, т.е. при увеличении доходов,  расходы растут.

Для того, чтобы с большей уверенностью делать вывод о наличии или отсутствии линейной взаимосвязи между переменными х и у, разработан критерий проверки того, существенно ли отличие коэффициента корреляции от нуля или, другими словами, значимо ли значение коэффициента корреляции. Если в результате проверки выясняется, что коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, то, несмотря даже на не очень близкое значение коэффициента к единице, делается вывод о наличии линейной взаимосвязи между переменными х и у. Если же подтверждается несущественное отличие rxy  от нуля, то, не смотря на возможно достаточно большое значение коэффициента, делается вывод об отсутствии линейной взаимосвязи между переменными.

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме:                                                                                                                            .               

              │ rxy  √ n-2    │

 если      │ ¾¾¾¾   │ > t1-α/2,n-2 ,    

                    √1 – rxy2

то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t1-α/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента, α -  уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение α задается исследователем зависимости между х и у. Примем α = 0,05, тогда t1-α/2,n-2 = t0,975,13 = 2,1604 

                                                                                                              .                              

   rxy √ n-2      0,858´√15-2

              ¾¾¾¾   = ¾¾¾¾¾    = 6,02  >  t0,975,13

    √1 – rxy2        √1- 0,8582

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у. Т.е.  если мы будем проводить многократное повторение эксперимента по исследованию зависимости между доходами и расходами, всякий раз выбирая различные группы из 15 субъектов РФ, то в 95% этих экспериментов будет обнаружена тесная линейная зависимость между х и у, т.е. в  95% случаев коэффициент корреляции rxy будет существенно отличатся от нуля.


Определим коэффициент детерминации по формуле:

        S(ŷi - ycp)2                                 S(yi - ŷi)2   

R2 = ¾¾¾¾¾   или     R2 = 1 - ¾¾¾¾¾ .

        S(уi - уср)2                                 S(yi - ycp)2   

где уср – выборочное среднее yi – выборочные значения зависимой переменной, ŷi – значения зависимой переменной, вычисленные по уравнению регрессии ŷi = a +bx.

Очевидно, что 0£ R2 £ 1. Значение R2  характеризует ту долю дисперсии переменной у, которая обуславливается уравнением регрессии ŷi = a +bx. Таким образом,  чем ближе значение R2 к единице, тем точнее уравнение регрессии отражает имеющуюся зависимость между переменными.

Из последней строки табл. Получаем S(ŷi – yi)2 = 0,68.

Знаменатель в формуле для R2 перепишем в виде

S(yi - ycp)2  = Syi2 – nycp2 = 37,66 - 15´1,532 = 2,6,

                           0,68

тогда R2 = 1 -  ¾¾¾ = 0,74

                            2,6

Так как R2 достаточно близок  к единице, то уравнение регрессии достаточно точно отражает истинную зависимость между доходами и расходами.


5.4 Проверка значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера


Рассмотрим найденное уравнение ŷ = 0,126 + 0,723х и проверим его значимость.

1.    Определим общую вариацию Q = S(yi - ycp)2  = Syi2 – nycp2 = 37,66 - 15´1.532 = 2,6.

2.    Определим остаточную вариацию Q2 = S(ŷi – yi)2 = 0,68

3.    Определим объясненную вариацию Q1 = S(ŷi - ycp)2 = Q – Q2 = 2,6 – 0,68  = 1,92.

4. Определим отношение                         

                  Q1                  1,92

Fфакт. = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾ = 36,92.

                Q2/(n-2)       0,68/(15-2)

5.    Зададим уровень значимости α =0,01 по таблице находим квантиль распределения Фишера F0,05;1;13 = 4,67, где 1 – число степеней свободы.

6.                  Fфакт. > F0,05;1;13, т.к. 36,92> 4.67.

Следовательно,  делается вывод о значимости уравнения регрессии при     α = 5% - м уровне значимости.


5.5  Нахождение точечных и интервальных прогнозов.


Точечным прогнозом значения зависимой переменной у, соответствующего некоторому значению независимой переменной х = х0, называется значение ŷ0, получаемое путем подстановки в уравнение регрессии х = х0, т.е.

ŷ0 = ŷ(х0)= a + bx0 – точечный прогноз.

Найдем точечный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ в будущем периоде, что среденемесячные денежные доходы в этом субъекте  увеличатся на 30%, т.е.

х0 = х10 + 0,3´х10   = 1,3´х10 = 1,3´2,47 = 3,211

ŷ0 = 0,126 + 0,723´3,211 = 2,45 (тыс.руб.).

Таким образом, если среднемесячные денежные доходы в 10-м субъекте РФ увеличатся на 30%, то  потребительские расходы в этом субъекте составят 2,45 тыс.руб.

Интервальным прогнозом зависимой переменной у, соответствующим некоторому значению независимой переменной х = х0, называется доверительный интервал, границы которого находятся по формуле: ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,

где ув, ун – соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала;

ŷ(х0) – точечный прогноз;

t1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;

              /   1       (x0 – xcp)                                 S(ŷi - yi)2                                    

Sŷ  = S √  ¾  + ¾¾¾¾¾ ,    S = √S2 , S2 = ¾¾¾¾,

                n        S(xi – xcp)2                                   n-2     

Доверительный интервал – это такой интервал, в котором с заданной вероятностью будет находиться прогнозируемое значение зависимой переменной у.

Найдем интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-м субъекте РФ в будущем периоде предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте  РФ увеличатся на 30%.

Ранее вычислено ожидаемое значение денежных доходов х0 = 3,211 тыс.руб.

Пусть α = 0,05, тогда 1-α = 0,95;   t1-α/2,n-2 = t0,975,13 = 2,1604;

       


         S(ŷi - yi)2      0,68                                                                                                                                       .            

S2 = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = 0,052;  S = √ 0.052 = 0.228

           n – 2            13


(х0 - хср)2 = (3,211 – 1,9)2 =   1,718

S(xi - xcp)2 = Sхi2 – n(xcp)2 = 60,1471 - 15´1.92 = 6.

            

               _______________                   ____________

              /   1       (x0 – xcp)2                    / 1         1,718

Sŷ  = S √  ¾  + ¾¾¾¾¾  = 0.228 √ ¾  + ¾¾¾¾  = 0,135

                n        S(xi – xcp)2                    15           6 


Следовательно, ŷн = 2,45  –0,135 = 2,315 (тыс.руб.)

ŷв  =  2,45 + 0,135 = 2,585 (тыс.руб.)                    

Это означает , что при увеличении среднедушевых среднемесячных денежных доходов на 30%, т.е. с 2,47 тыс.руб. до 3,211 тыс.руб., размер среднедушевых среднемесячных потребительских расходов  с вероятностью 0,95 будет колебаться в пределах от 2,315 тыс.руб. до 2,585 тыс.руб.


5.6 Содержательная интерпретация полученных результатов.

Рассмотрим найденное уравнение регрессии ŷ = 0,126 + 0,723х. Коэффициент а = 0,126 не имеет экономического смысла, поскольку формально соответствует размеру потребительских расходов при нулевом уровне денежных доходов. Коэффициент b = 0,723  определяет прирост потребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов.

Содержательная интерпретация всех остальных понятий и формул, использованных в данной задаче была приведена по ходу решения.

В заключение впишем итоговые результаты.

1.    у = α + βх + u – математическая модель зависимости потребительских расходов от денежных доходов.

2.    ŷ = 0,126 + 0,723х – уравнение регрессии, количественно выражающее зависимость расходов от доходов.

3.    rxy = 0.858– коэффициент корреляции между х и у, его значение свидетельствует о достаточно тесной линейной зависимости расходов и доходов.

4.    R2 =0.736– коэффициент детерминации, близость его к единице показывает, что уравнение регрессии достаточно точно отражает имеющуюся зависимость между расходами и доходами.

5.    Fфакт. =36,92– значение критерия Фишера для найденного уравнения регрессии; Fфакт. > F0,05, что подтверждает значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости)  при 5% уровне значимости.

6. ŷ0 (х0) = 2,45 (тыс.руб.) – точечный прогноз;

ŷн  = 2,315 (тыс.руб.)

ŷв = 2,585  (тыс.руб.)  - интервальный прогноз  с 95% доверительной вероятностью