Вариант № 036  

Задача 1

Для изготовления продукции двух видов А и Б  предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

Наименование ресурсов	Норма затрат на	Объем ресурса
Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	1	5	346
Оборудование (ст.час.)	4	3	478
Трудоресурсы(чел.час.)	4	5	570
Цена реализации (руб.)	268	287

Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется :

1.    Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.

2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции.

3. Записать задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.

4. Используя условия «дополняющей нежесткости», найти оптимальное решение двойственной задачи.

5. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.

6. Провести графический анализ устойчивости изменения объемов используемых ресурсов. Найти функции предельной полезности ресурсов и построить их графики. Определить функциональную зависимость максимальной выручки объемов используемых ресурсов, построить графики этих функций.

Решение.

1.1. В нашей задаче необходимо определить месячные объемы выпуска продукции вида А и Б. Обозначим эти объемы как переменные модели:

х₁ – месячный объем выпуска продукции А,

х₂ – месячный объем выпуска продукции Б.

Используя данные таблицы, получим:

расход сырья =  х₁ +5х₂,

затраты времени работы оборудования =  4х₁ + 3х₂,

затраты рабочего времени = 4х₁ + 5х₂.

Так как ежемесячный расход ресурсов не может превышать их максимально возможный месячный размер, то имеем ограничения

х1 + 5х2  £ 346

4х1 + 3х2  £ 478

4х1 + 5х2  £ 570

Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные х₁ и х₂ должны быть неотрицательны, т.е. х₁ ³0, х₂³0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия. В нашем примере это получение максимальной выручки от реализации произведенной в течении месяца продукции. Если обозначить функцию размера выручки через Z, то

Z = 268х₁ + 287х₂,

а основная цель предприятия может быть выражена так:

Максимизировать целевую функцию Z= 268х₁ + 287х₂,

Перепишем это условие в следующей форме: Z = 268х₁ + 287х₂® max.

Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска продукции может быть  записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х₁ и х₂, удовлетворяющие ограничениям

х1 + 5х2  £ 346

4х1 + 3х2  £ 478

4х1 + 5х2  £ 570

х1 ³0, х2³0

и доставляющих максимальное значение целевой функции  Z = 268х₁ + 287х₂® max.

Построенная модель является задачей линейного программирования. Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, называется допустимым, а допустимое решение, доставляющее максимальное значение целевой функции, называется оптимальным.

1.2. Нахождение оптимальной производственной программы выпуска продукции.

Решение задачи линейного программирования с двумя переменными может быть получено графическим способом.

Построим множество допустимых решений или область допустимых решений. Проводим перпендикулярные оси координат: горизонтальная – ось Ох₁, вертикальная  - Ох₂. Условия неотрицательности переменных  х₁ ³0, х₂³0 показывают, что область допустимых решений будет лежать в первом квадранте системы координат. Для изображения на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют оставшимся ограничениям модели, рассмотрим уравнения, получаемые из неравенств модели заменой знака «£» на знак «=». В результате такой замены получим три линейных уравнения прямых:

х1 + 5х2  = 346	(1)
4х1 + 3х2  = 478	(2)
4х1 + 5х2  = 570	(3)

Для того, чтобы провести на плоскости прямую линию, достаточно знать любые две различные точки, лежащие на этой прямой. Рассмотрим уравнение первой прямой. Если положить х₁ = 0, то х₂ =69,2, а при х₂ = 0, х₁ = 346. Следовательно, прямая (1) проходит через точки с координатами (0;69,2) и (346;0). Обозначим эту прямую как линия (1).

Прямая (2) проходит через точки с координатами (0;159,3) и (119,5;0).

Прямая (3) проходит через точки с координатами (0;114) и (142,5;0).

Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Точки расположенные по одну сторону прямой, удовлетворяют соответствующему неравенству, а точки, расположенные по другую сторону, не удовлетворяют. Для того, чтобы определить искомую полуплоскость, выбирается некоторая «тестовая» точка и ее координаты подставляются в левую часть неравенства. Если для этой точки неравенство выполняется, то она лежит в искомой полуплоскости, т.е. все точки этой полуплоскости удовлетворяют неравенству модели. Если же для «тестовой» точки неравенство не выполняется, то искомой будет та полуплоскость, которая не содержит эту точку. Взяв в качестве «тестовой» точку с координатами (0;0), убеждаемся, что она удовлетворяет всем неравенствам модели.

Следовательно, все полуплоскости, соответствующие неравенствам модели, содержат точку (0,0).

   

Точки множества допустимых решений должны удовлетворять всем ограничениям. Следовательно, множество допустимых решений является пересечением всех допустимых полуплоскостей и представляет собой многоугольник АВСDО. Любая точка, расположенная внутри этого многоугольника или на любом отрезке его границы, является допустимым решением, т.е.  удовлетворяет всем ограничениям модели.

Для нахождения оптимального решения задачи необходимо определить направление возрастания целевой функции.

Вектор, компоненты которого являются коэффициентами целевой функции при переменных х₁ и х₂, называют вектором – градиентом целевой функции и обозначают grad Z.

Целевая функция может возрастать до тех пор, пока линии уровня соответствующие возрастающим значениям этой функции, пересекают область допустимых решений. Точка пересечения области допустимых решений и линии уровня, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума.

На рисунке видно, что оптимальное решение соответствует точке C, лежащей на пересечении прямых (2) и (3). Поэтому ее координаты находим как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

4х1 + 3х2  = 478

4х1 + 5х2  = 570

Решая эту систему находим х₁* = 85, х₂*= 46 . При этом значение целевой функции Z = 268х₁* + 287х₂* = 268 ´ 85 + 287´ 46 = 35982.

Полученное решение означает, что предприятию необходимо ежемесячно производить 85 единиц продукции А  и 46 единиц продукции Б, что позволит ему получать максимальную месячную выручку в размере  35982 рублей.

1.3. Построение двойственной задачи.

Перепишем построенную выше математическую модель оптимизации производственной программы

х1 + 5х2  £ 346

4х1 + 3х2  £ 478

4х1 + 5х2  £ 570

х1 ³0, х2³0

Z = 268х₁ + 287х₂® max

и будем считать ее прямой задачей. Построим двойственную задачу по следующим правилам:

1.                  Каждому ограничению прямой задачи (кроме ограничений х₁³0, х₂³0) соответствует неотрицательная переменная двойственной задачи. В нашем примере три ограничения. Следовательно, в двойственной задаче будет три переменных. Обозначим их через u₁, u₂, u₃, где u₁ соответствует первому ограничению, u₂ – второму, u₃ – третьему.

2.                  Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной. Следовательно, в нашем примере двойственная задача будет иметь два ограничения.

3.                  Коэффициенты при какой-либо переменной в ограничениях прямой задачи и коэффициент целевой функции при этой переменной становятся соответственно коэффициентами того ограничения двойственной задачи, которое соответствует этой переменной и правой частью формируемого ограничения двойственной задачи.

В нашем примере переменной х₁ соответствует первое ограничение двойственной задачи; коэффициенты  при х₁ являются коэффициентами первого ограничения двойственной задачи, а коэффициент целевой функции прямой задачи при х₁ становится правой частью первого ограничения, записываемого со знаком «³».

4.                  Правые части ограничений прямой задачи являются  коэффициентами целевой функции двойственной задачи, которая минимизируется. Следовательно, в нашем примере целевая функция двойственной задачи примет вид:

W = 346u₁ + 478u₂ + 570u₃® min.

Применение сформулированных правил к задаче оптимизации производственной программы приводит к следующей двойственной задаче:

Найти неизвестные значения переменных u_1, u₂, u₃ , удовлетворяющих ограничениям:

u1 + 4u2 + 4u3 ³ 268

5u1 + 3u2 + 5u3 ³ 287

u1 ³0, u2 ³0,  u3 ³ 0

и доставляющих минимальное значение целевой функции

W = 346u₁ + 478u₂ + 570u₃® min.

1.4. Нахождение оптимального решения двойственной задачи.

Запишем прямую  и двойственную задачу в общем виде:

Прямая задача                                                           Двойственная задача

Найти неизвестные значения                  Найти неизвестные значения

переменных х₁, х₂,…,х_n,                            переменных u₁, u₂,…,u_m,

удовлетворяющих ограничениям            удовлетворяющих ограничениям

Sа_ijx_j³ b_i, i = 1,…,m           (4)                    Sа_iju_j³ c_j, j = 1,…,n    (7)

 ^{j                                                                                                     i}

x_j³0, j=1,…,n                      (5)                     u_i³0, i=1,…,m             (8)

и доставляющие максимальное                и доставляющие минимальное

значение целевой функции                        значение целевой функции

Z = S c_jx_j ® max                 (6)                     Z = S b_iu_i ® min         (9)

           ^{J                                                                                                      i}

Задача (4)-(6) является обобщением рассматриваемой нами задачи оптимизации производcтвенной программы, в которой для производства n видов продукции х₁, х₂,…,х_n используется m видов ресурсов b₁, b₂,…,b_m при затратах i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции в количестве а_ij и выручке от реализации единицы произведенной продукции j-го вида в размере с_j, j = 1,…n.

Сформулируем для задач (4)-(6) и (7)-(9) теоремы двойственности:

Теорема 1 (первая теорема двойственности).

Если одна из задач (4)-(6) и (7)-(9) имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение. При этом оптимальные значения целевых функций совпадают, т.е. max Z = min W.

Если же целевая функция одной из задач не ограничена, то другая задача не имеет ни одного допустимого решения.

Теорема 2 (вторая теорема двойственности).

Допустимые решения Х = (х₁, х₂,…,х_n), U = (u₁, u₂,…,u_m) прямой и двойственной задач оптимальны тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

u_i(b_i - Sa_ijx_j) = 0, i = 1,..,m,                                                     (10)

x_i(a_i - Sa_iju_j) = 0, j = 1,..,n                                                        (11)

Условия (10), (11) называются условиями «дополнительной нежесткости».

Используем теорему 2 для нахождения оптимального решения U* двойственной задачи. Для этого известные значения компонент х₁^*, х₂^*,…,х_n^* вектора Х* подставляются в соотношения (10), (11). В результате такой подстановки получится система линейных уравнений относительно неизвестных величин u₁, u₂,…,u_m, решение которой позволит  получить оптимальные значения u₁^*, u₂^*,…,u_m^*.

Для рассматриваемой нами задачи соотношения (10), (11) будут иметь вид:

u₁ (346-   x₁-  5x₂ )= 0                    x₁(  u₁ + 4u₂ + 4u₃ - 268 )= 0

u₂(478 - 4x₁ – 3x₂)= 0                    x₂(5u₁ + 3u₂ + 5u₃ - 287) = 0

u₃(570 - 4x₁ – 5x₂)= 0   

u₁ ³0, u₂ ³0,  u₃ ³ 0,

Подставляя в них найденные значения х₁* = 85, х₂*= 46, получим:

так как х₁* = 85,  то    u₁ + 4u₂ + 4u₃ – 268 = 0;

так как х₂* = 46,  то  5u₁ + 3u₂ + 5u₃ – 287 = 0;

так как 346 – х₁* – 5 х₂* = 346 – 1´85 – 5´46 =  31 ¹0, то u₁^* = 0.

Получаем систему уравнений:

u₁ + 4u₂ + 4u₃ – 268= 0

5u₁ + 3u₂ + 5u₃ – 287 = 0

u₁=0

Решая эту систему, находим оптимальные значения переменных двойственной задачи:

u₁* = 0, u₂* = 24, u₃* = 43, W = 346u₁ + 478u₂ + 570u₃® min.

Вычислим оптимальное значение целевой функции двойственной задачи:

W = 346 × 0 + 478 × 24 + 570 × 43 = 35982,  т.е. Z* = W* = 35982, что соответствует первой теореме двойственности.

1.5. Экономическая интерпретация переменных и оптимального решения двойственной задачи.

Для исследуемой задачи оптимизации производственной программы получим

u₁ – стоимостная оценка сырья, ее размерность [руб./1 кг сырья];

u₂ – стоимостная оценка времени работы оборудования, ее размерность [руб./1 ст.час];

u₃ – стоимостная оценка трудовых ресурсов, [руб./1 чел.-час];

u₁* = 0 означает, что ни увеличение, ни уменьшение количества сырья не приведет к изменению оптимального значения суммарной выручки

u₂* =  24 означает, что при изменении количества оборудования с 24 стан.-час до 24 + Δm₁, изменение максимальной суммарной выручки составит u₂* Δm₁ (руб.) = 24Δm₁ (руб).

u₃* =  43 означает, что при изменении месячного размера трудоресурсов с 43 кг до 43 + Δt₁,  изменение максимальной суммарной выручки составит u₃* Δt₁ (руб.) = 43Δt₁ (руб.)

1.6. Графический анализ устойчивости изменения используемых ресурсов.

Количество используемого сырья S=х₁ + 5х₂ .

Если SÎ[ S(D); 0], то точкой максимума является точка E(x₁; 0) пересечения оси Ох₁ и прямой ограничения по сырью (1).

Если SÎ[S(D); S(C)], то точкой максимума является точка R(x₁; x₂) отрезка CD пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (2).

Если SÎ[S(C); ¥], то точкой максимума является точка C(x₁; x₂)  пересечения прямой (2) и прямой (3).

Координаты точки Е находятся из системы  уравнений

 х₁ + 5х₂ = S                

 х₂  = 0

Решаем ее:

 х₂ = 0, х₁ = S.

 Z*(S) =268х₁^* + 287х₂^* =268S;  u₁ = 268; u₂= 0; u₃ = 0

Координаты точки R находим из системы  уравнений

  х₁ + 5х₂ = S                

4х₁ + 3х₂ = 478

Решаем ее:

 х₁ = (2390 – 3S)/17, х₂ = (4S – 478)/17.

Z*(S) = 268х₁^* + 287х₂^* = 268´(2390 – 3S)/17 + 287´(4S – 478)/17 =(344S + 503334)/17 = 20,2S + 29607,9; 

u₁ = 20,2; u₂= 0; u₃ = 0.

Координаты точки С известны:

х₁ = 85, х₂ = 46.

Z*(S) = 268х₁^* + 287х₂^* = 268´85 + 287´46 =35982 

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 0.

S(D)= х₁ + 5х₂ =119,5 + 5´0 = 119,5,

S(С)= х₁ + 5х₂ =1´85 + 5´46 = 315

S	0£S<119,5	119,5£S<315	S³315
u1*(S)	268	20,2	0
Z*(S)	268S	20,2S+29607,9	35982

Интервал устойчивости [315; + ¥)

Количество используемого времени работы оборудования  M = 4х₁ + 3х₂ .

Если MÎ[M(A); 0], то точкой максимума является точка G(x₁; 0) пересечения оси Ох₂ и прямой ограничения по оборудованию  (2).

Если MÎ[M(A); M(B)], то точкой максимума является точка Q(x₁; x₂) отрезка AB пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (2).

Если МÎ[М(B); M(E)], то точкой максимума является точка R(x₁; x₂)  пересечения прямой (3) и (2).

Если МÎ[М(Е); + ¥], то точкой максимума является точка E(x₁;x₂) пересечения прямой (3) и оси Ox₁.

Координаты точки G находятся из системы  уравнений

 4х₁ + 3х₂ = M                

 х₁  = 0

Решаем ее:

 х₁ = 0, х₂ = M/3.

 Z*(M) =268х₁^* + 287х₂^* = 287M/3 = 95,67M;  u₁ = 0; u₂= 95,67; u₃ = 0

Координаты точки Q находим из системы  уравнений

  х₁ + 5х₂ = 346                

4х₁ + 3х₂ = M

Решаем ее:

 х₁ = (5M - 1038)/17, х₂ =(1384 – M)/17.

Z*(M) = 268х₁^* + 287х₂^* = 268´(5M - 1038)/17 + 287´(1384 - M)/17  = (1053M + 119024)/17 = 61,9M + 7001,4; 

u₁ = 0; u₂= 61,9; u₃ = 0.

Координаты точки R находим из системы  уравнений

4х₁ + 3х₂  = M

4х₁ + 5х₂  = 570

 Решаем ее:

 х₁ = 0,625M – 213,75, х₂ = 285 – 0,5M.

Z*(M) = 268х₁^* + 287х₂^* =268´(0,625M – 213,75) + 287´(285 – 0,5M) = 24M + 24510. 

u₁ = 0; u₂= 24; u₃ = 0.

Координаты точки E находим из системы  уравнений

 4х₁ + 5х₂  = 570

 х₂=0

Решаем ее:

 х₂ = 0, х₁ = 142,5

Z*(M) = 268х₁^* + 287х₂^* =268´142,5 + 287´0 =38190 

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 0.

M(A)= 4х₁ + 3х₂ =4´0+3´69,2=207,6

M(B)= 4х₁ + 3х₂ =4´74,6+3´54,3=461,3

M(E)= 4х₁ + 3х₂ =4´142,5+3´0=570

    Таким образом, решена задача определения функций u₂*(M) и  Z*(М) для всех возможных значений MÎ[0;+ ¥).

M	0£M<207,6	207,6£M<461,3	461,3£M<570	M³570
u2*(M)	95,67	61,9	24	0
Z*(М)	95,67M	61,9M+7001,4	24M+24510	38190

Интервал устойчивости месячного фонда времени работы– [461,3;570).

 

Количество используемых Т=4х₁ + 5х₂ .

Если ТÎ[0; Т(D)], то точкой максимума является точка S(x₁; 0) пересечения оси Ох₁ и прямой ограничения по трудовым ресурсам  (3).

Если ТÎ[Т(D); Т(F)], то точкой максимума является точка V(x₁; x₂) отрезка DF пересечения прямой ограничения по трудовым ресурсам  и прямой (2).

Если TÎ[T(F); ¥], то точкой максимума является точка F(x₁; x₂)  пересечения прямой (2) и прямой (1).

Координаты точки S находятся из системы  уравнений

 4х₁ + 5х₂ = T                

 х₂  = 0

Решаем ее:

 х₂ = 0, х₁ = T/4.

 Z*(Т) =268х₁^* + 287х₂^* =268´T/4+287´0=67T;  u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 67

Координаты точки V находим из системы  уравнений

4х₁ + 5х₂ = T                

4х₁ + 3х₂ = 478

Решаем ее:

 х₁ = 298,75 – 0,375T, х₂ = 0,5T – 239.

Z*(Т) = 268х₁^* + 287х₂^* =268´(298,75 – 0,375T) + 287´(0,5T - 239) =43T+11472; 

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ =43.

Координаты точки F находим из системы уравнений :

  х₁ + 5х₂ = 346                

4х₁ + 3х₂ = 478

Решаем ее:

 х₁ = 79,5, х₂ = 53,3.

Z*(Т) = 268х₁^* + 287х₂^* =268´79,5 + 287´53,3 =36603,1 

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 0.

Т(A)= 4х₁ + 5х₂ =4´119,5=478,

Т(В)= 4х₁ + 5х₂ =4´79,5+5´53,3=584,5

Таким образом, решена задача определения функций u₃*(T) и Z^*_P(Т) для всех возможных значений TÎ[0;+ ¥)

T	0£T<478	478£T<584,6	T³584,6
u3*(T)	67	43	0
Z*P(Т)	67T	43T+11472	36609,3

Интервал устойчивости месячного фонда трудовых ресурсов  [478; 584,6).

 

Задача 2.

Малое предприятие намерено организовать в  следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих  на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 30% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:

Наименование ресурсов	Норма затрат на	Объем ресурса
Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	2	1	300
Оборудование (ст.час.)	3	3	540
Трудоресурсы(чел.час.)	3	1	?
Цена реализации (руб.)	673	320

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и  затратами, связанными  с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой  t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда  t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли  и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 40 рублей за чел.-час. Найти  функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение.

2.1 Построение математической модели оптимизации выпуска продукции.

Для построения модели введем следующие обозначения:

х₁ – объем выпуска продукции А,

х₂ – объем выпуска продукции Б,

S – потребность в трудовых ресурсах,

t – почасовая ставка оплаты труда,

V – размер кредита,

Z – выручка от реализации произведенной продукции,

P – прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию сырья:

2x₁ + x₂ £ 300;

Ограничения по использованию оборудования:

3x₁ + 3x₂ £ 540;

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах х₁ и х₂:

S = 3x₁ + x₂ .

Размер необходимого кредита определяется, исходя из потребности в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е.

V=tS = t(3x₁ + x₂).

Выручка от реализации произведенной продукции:

Z = 673x₁ + 320x₂

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

          30%        3

V + (¾¾ ´ ¾¾¾)V = V + 0,075V = 1,075V.

 100%       12

Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.

Р = Z – 1,075V.

Подставляя в эту формулу выражения для Z и V, получим

Р = (673x₁ + 320x₂₎ – 1,075 t(3x₁ + x₂) = (673 – 3,225t)х₁ + (320 – 1,075 t)х₂

Следовательно,  математическая модель оптимизации выпуска продукции с привлечением кредитных ресурсов для оплаты труда рабочих  принимает следующий вид:

Найти неизвестные значения объемов выпуска х₁, х₂, удовлетворяющих ограничениям

2x₁ + x₂ £ 300

3x₁ + 3x₂ £ 540                                                                                 (1)

х₁³0, х₂³0,

и доставляющих максимальное значение целевой функции:

Р = (673 – 3,225t)х₁ + (320 – 1,075 t)х₂ → max.

При этом необходимый размер кредита V  определяется по формуле:

V = tS = 3tx₁^* + tx₂*,

где х₁*, х₂* - оптимальное решение задачи (1). Модель (1)  представляет собой задачу параметрического линейного программирования, так как в ее условиях содержится параметр t, от значения которого зависит оптимальное решение.

2.2 Определение оптимальной программы выпуска продукции.

При фиксированной ставке оплаты труда t = 10 руб./чел.-час. математическая модель (1) примет вид:

2x₁ + x₂ £ 300

3x₁ + 3x₂ £ 540

х₁³0, х₂³0,

Р = 640,75х₁ + 309,25х₂ → max.

Графическое решение задачи изображено на рис. Точкой максимума является точка С с координатами где х₁* = 150, х₂*= 0.

Максимальный размер прибыли:

Р* = Р = 640,75´150 + 309,25 ´ 0= 96112,5 (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 3tx₁^* + tx₂* = 3´10´150  + 1´10´0 =4500 руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,075V* = 0,075´ 4500=337,5руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 3x₁^* + x₂^* = 3´150 + 0 = 450(чел.-час.).

2.3 Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы

Потребность в трудовых ресурсах  S   для обеспечения  оптимального выпуска в объемах х₁*, х₂* определяются соотношением:

S* = 3x₁^* + x₂^*,

Но оптимальный план выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*), зависит от почасовой ставки t оплаты труда. Следовательно, величина Sтакже зависит от t, т.е. потребность в трудовых ресурсов S есть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию. Для этого рассмотрим модель (1) и определим оптимальные планы выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*) при различных значениях t, используя графический метод решения задачи линейного программирования.

Пусть t достаточно мало (близко к нулю). Рассмотрим уравнение линии уровня целевой функции

Р = (673 – 3,225t)х₁ + (320 – 1,075 t)х₂ = h.

При малых значениях t прямая с таким уравнением будет почти параллельна прямой с уравнением

Р = 673х₁ + 320х₂ = h.

Найдем значение h для линии уровня, проходящей через точку C, подставив в уравнение координаты точки C x₁^*  = 150, x₂^* =0. Тогда

673´150 + 320 ´ 0 = h, т.е. h = 100950.

Рассмотрим уравнение прямой  673х₁ + 320х₂ = 100950, проходящей через точку C  найдем координаты точки Е  (0;х₂) пересечения этой прямой с осью Ох₂. Очевидно, что х₂ = 100950/320 = 315,5. Следовательно, точка Е расположена на оси Ох₂ «выше», чем точкa D (точка пересечения прямой ограничений по сырью с осью Ох₂).

Если «закрепить» линию уровня в т.C и начать  увеличивать значение параметра t, то точка Е пересечения линии уровня с осью Ох₂ начнет перемещаться вниз по оси Ох₂ по направлению к точке А.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна ВС. Из равенства угловых коэффициентов получаем:

,  t =30,7

  

Следовательно точка C (150;0) остается точкой максимума пока tÎ[0;30,7).

Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[0;30,7):

Р* = (673 – 3,225t)´150 + (320 – 1,075 t)´0  = 100950-483,75t  (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 3tx₁^* + tx₂* = 3´t´150 + t´0 =450t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,075V* = 0,075´ 450t =33,75t руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 3x₁^* + x₂^* = 3´150 + 0 = 450(чел.-час.).

Если t=30,7, то оптимальное решение будет достигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(120;60) и C(150;0).

Если «закрепить» линию уровня в т.B и начать  увеличивать значение параметра t, то линия уровня будет приближаться к прямой АВ.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна АВ. Из равенства угловых коэффициентов получаем:

; t =164,2 >40.

Если tÎ[30,7; 40] точкой максимума станет точка В(120;60).

Найдем максимальный размер прибыли для  tÎ[30,7;40]:

Р* =(673 – 3,225t)´120 + (320 – 1,075 t)´60  = 99960 – 451,5t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 3tx₁^* + tx₂* = 3´t´120 + t´60 =420t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,075V* = 0,075´ 420t =31,5tруб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 3x₁^* + x₂^* = 3´120 + 60 = 420(чел.-час.).

 Итоги решения задачи представим в таблице:

Почасовая оплата  труда t (руб.)	Оптималь-ный план выпуска Х*(t)= (x1*,x2*)	Величина спроса на трудовые ресурсы S*(t) (чел.-час.)	Размер необходимого кредита V*(t), (руб.)	Величина максималь-ной прибыли Р*(t) (руб.)
t = 10	(150;0)	450	4500	276120
tÎ(10;30,7)	(150;0)	450	450t	100950-483,75t
t = 30,7	Отрезок ВС	[420;450]	[12894;13815]	86098,9
tÎ(30,7;40]	(120;60)	420	420t	99960 – 451,5t