12

328. Найти общее решение дифференциального уравнения x²y’–2xy=3.

Решение.

x²y’–2xy=3

Найдем решение однородного уравнения.

lny=2lnx+lnC

y=cx²

Решение исходного уравнения найдем методом вариации постоянной.

c=c(x)

y’=c’x²+2cx

x²y’–2xy=3

c’x⁴+2cx³–2cx³=3

c’x⁴=3

В результате получаем общее решение исходного уравнения.

348. Найти частное решение дифференциального уравнения y”–4y’=6x²+1, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=2; y’(0)=3.

Решение.

Найдем решение характеристического уравнения.

k²–4k=0

k=0;4

Получаем общее решение однородного уравнения.

y_oo = C₁e⁴^x+C₂

Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Поскольку в правой части уравнения стоит многочлен, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде многочлена.

y_чн=Ax³+Bx²+Cx

y’=3Ax²+2Bx+C

y”=6Ax+2B

y”–4y’=6x²+1

6Ax+2B–12Ax²–8Bx–4C=6x²+1

A=–0.5

B=–0.375

–0.75–4C=1

4C=–1.75

C=–0.4375

y_чн=–0.5x³–0.375x²–0.4375x

Получаем общее решение

y= C₁e⁴^x+C₂–0.5x³–0.375x²–0.4375x

y’=4C₁e^4x–1.5x²–0.75x–0.4375

C₁+C₂=2

4C₁=3

C₁=0.75

C₂=1.25

Получаем частное решение.

y= 0.75e⁴^x+1.25–0.5x³–0.375x²–0.4375x

368. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности k=3. Найти уравнение кривой.

Решение.

Угловой коэффициент касательной к кривой в какой-либо точке равен производной функции в этой точке. Исходя из этого, получим дифференциальное уравнение.