102. Уравнения движения двух материальных точек по прямой: x1 = A1+B1t+C1t2, где A1=20 м, B1=12м/с, C1=–4м/с2, и x2 = A2+B2t+C2t2, где A2=2 м, B1=2м/с, C1=0.5м/с2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?


Решение.

Найдем уравнение изменения скорости этих материальных точек с течением времени.

v1=(x1)’t = 12–8t

v2=(x2)’t = 2+t

Найдем момент времени, в который скорости точек равны друг другу.

12–8t=2+t

9t=10

t=10/9 с.

Скорость точек в этот момент времени будет равна 2+10/9 = 28/9 м/с.

Найдем уравнение изменения ускорения этих материальных точек с течением времени.

a1=(v1)’t =–8

a2=(v2)’t =1

Мы получили, что ускорения данных точек не зависят от времени. Ускорение первой точки будет равно (–8) м/с2, а ускорение второй – 1 м/с2.


112. На горизонтальной поверхности лежит тело массой m=5 кг. Какой путь пройдет это тело за t=1 с, если к нему приложить силу F1=50 Н, образующую угол α=60° с горизонтом? Коэффициент трения между телом и поверхностью принять равным n=0.2.


Решение.

Запишем уравнение движения тела согласно второму закону Ньютона.

, где F – равнодействующая всех действующих на тело сил

В проекции на оси координат.

0=N+F1sinα–mg

F=F1cosα–Fтр

Подставив известные значения, получим:

0=N+50∙sin60°–5∙10 (на ось y)

F=50∙cos60°–Fтр (на ось x)

Учитывая, что Fтр = nN, получим:

 =  =

Мы получили величину равнодействующей сил, действующих на тело.

Найдем ускорение тела.

Путь, который пройдет тело, начавшее двигаться с нулевой начальной скоростью и ускорением a равен

Подставив значения  и t=1с, получим:


122. Снаряд, летевший со скоростью 400 м/с, разорвался на 2 осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью 150 м/с. Определить скорость большого осколка (по величине и по направлению).


Решение.

Обозначим массу снаряда за единицу, v – скорость второго осколка после разрыва.

Согласно закона сохранения импульса получим:

400=–60+0.6v

0.6v=460


132. Найти работу, совершаемую при подъеме груза массой 10 кг по наклонной плоскости с углом наклона 450 на расстояние 2 м, если время подъема – 2 с, а коэффициент трения μ=0.1.

Решение.

Согласно условиям задачи покоящееся тело, двигаясь равноускоренно, за две секунды проходит расстояние в 2 м. Уравнение равноускоренного движения тела без начальной скорости . Выразив ускорение, получим . Подставив значения, получим: a=1 м/с2. Сила, действующая на тело, равна F=ma=10 кг·м/с2=10 Н. Совершаемая работа равна А= Fs=10 Н·2 м=20 Дж.



142. На барабан радиусом 20 см, момент инерции которого равен 0.1 кг·м2, намотан шнур, к которому привязан груз массой 0.5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом равна 1 м. Найти: 1) через сколько времени груз опустится до пола; 2) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Трением пренебречь.


Решение.

Из формулы момента инерции  выразим массу барабана. Получим формулу . Подставив значения, получим . Барабан начинает вращаться в результате действия силы, равной 0.5 кг·10 м/с2=5 Н. Эта сила сообщит ободу барабана линейное ускорение равное 5Н:5кг=1м/с2.

1) Так как первоначальная высота груза над полом равна 1м, то время, за которое груз опустится до пола, можно найти из соотношения . Выразив t, получим .

2) Скорость груза в момент удара о пол будет равна 1 м/с2·с=м/с. Кинетическая энергия груза в этот момент будет равна



152. Определить высоту наклонной плоскости, если линейная скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости равна 2.65 м/с. Начальная скорость шара равна нулю.

 

Решение.

При скатывании тела с наклонной плоскости высотой h его потенциальная энергия переходит в кинетическую поступательного и вращательного движения. По закону сохранения энергии:

,

где I – момент инерции тела, m – масса.

Момент инерции шара равен: . Учитывая это, получим:

Согласно формуле связи между линейной и угловой скоростями, имеем v=ωR. Таким образом, получаем:

Подставив значения, получим


202. Два точечных заряда q1=2∙10-7 Кл и q2=4∙10-7 Кл находятся на расстоянии 6,5 см друг от друга. Найти положение точки, в которой напряженность статического поля E равна нулю. Рассмотреть случай одноименных зарядов.


Решение.

Так как заряды одноименные, то искомая точка будет находится на отрезке, соединяющем данные заряды. Обозначим расстояние от искомой точки до первого заряда s1.

Обозначим E1 – напряженность поля первого заряда в искомой точке, E2 – напряженность поля второго заряда в искомой точке.

По условию задачи E1=E2

(0.065–s1)2=2s12

0.004225–0.13s1+s12=2s12

s12+0.13s1–0.004225=0

D=0.0169+0.0169=0.0338

 =  =  =

Т.к. , то единственным подходящим решением будет:


212. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d=2 мм, разность потенциалов равна 600 В. Заряд каждой пластины q=40 нКл. Определить энергию поля конденсатора и силу взаимного притяжения пластин.


Решение.

Электроемкость конденсатора

Энергия поля конденсатора

Сила взаимного притяжения пластин.

 = 3.5776·106 Н


222. Аккумулятор с внутренним сопротивлением 1 Ом подключен для зарядки к сети напряжением 12.5 В. Найти ЭДС аккумулятора, если при зарядке через него проходит ток 0.5 А.


Решение.

Воспользуемся законом Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

ε=12 В.


232. По контуру в виде равностороннего треугольника проходит ток I = 40 А. Сторона треугольника a=30 см. Найти магнитную индукцию B поля в точке пересечения высот.


Решение.

Магнитная индукция поля, созданного отрезком проводника с током:

.

Из рисунка видно, что α1= α2=30º.

Найдем значение магнитной индукции от одного проводника.

 =  =  = 0.00016Тл

Т.к. проводника три, то итоговая индукция равна

3∙0.00016Тл=0.00048Тл


242. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона v=2·107 м/с, индукция магнитного поля равна 4·10-3 Тл. Чему равно тангециальное и нормальное ускорение электрона в магнитном поле.


Решение.

Тангенциальное ускорение электрона будет равно 0.

Найдем нормальное (центростремительное) ускорение электрона.

Сила Лоренца, действующая на электрон равна F = qvB = 1.6·10–19 Кл· 2·107 м/с· 4·10–3 Тл = 1.28·10–14Н

Соответственно, нормальное ускорение электрона будет равно a = F/m = 1.28·10–14Н / 9.1·10–31 кг = 1.4·1018м/с2


252. Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока 2 А, расположен в плоскости магнитного меридиана. Диаметр витка равен 50 см. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть виток на угол 800 относительно оси, перпендикулярной и совпадающей с диаметром. Напряженность магнитного поля Земли принять равной 16.3 А/м.


Решение.

Магнитная индукция

B = μ0H = 4π·10–7Гн/м·16.3А/м = 2.05·10–5 Тл

Площадь кольца равна

S=πr2 = 3.14159265·(0.5м)2 = 0.7854м2

Изначально угол α между вектором магнитной индукции и нормалью к площадке равен 90º. После поворота этот угол составит 10º

Найдем значение потока вектора магнитной индукции в первом и во втором случаях.

В первом случае

Ф=BScos90º = 0

Во втором случае

Ф=BScos10º = 2.05·10–5 Тл · 0.7854 м2 · 0.9848 = 1.5856·10–5 Вб

Искомая работа равна

 = 2А·1.5856·10–5 Вб = 3.1712·10–5Дж.