1. Составить математическую модель задачи.

Из двух сортов бензина составляют для различных целей 2 смеси – А и В. Смесь А содержит 60% бензина первого сорта и 40% бензина 2 сорта. Смесь B состоит из 80% бензина первого сорта и 20% бензина 2 сорта Продажная цена 1 кг смеси А – 10 коп., смеси В – 12 коп.

Составить план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется 50 т бензина 1 сорта и 30 т бензина второго сорта.


Решение.

Z=10x1+12x2→max

0.6x1+0.8x2≤50

0.4x1+0.2x2≤30

x1≥0; x2≥0


2. Графический метод решения задачи линейного программирования. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования с двумя переменными.

Z=3x1+5x2→min, max

при условиях:

x1+x2≤5

3x1–x2≤3

x1≥0; x2≥0


Решение.

x1

 


Область допустимых значений образует заштрихованный четырехугольник.

Строим нормаль линий уровня

Построив опорные линии (на чертеже обозначены пунктиром), получаем, что минимум целевой функции достигается в точке (0;0) и равен 0. Максимум целевой функции достигается в точке (0;5) и равен 25.


4. Транспортная задача.

Мощности поставщиков.

A1=30; A2=10; A3=40; A4=70;

Спрос потребителей.

B1=60; B2=10; B3=20; B4=10;

Удельные затраты на перевозку.

Строки – поставщики; столбцы – потребители.


B1

B2

B3

B4

A1

1.2

1.6

1.7

1.5

A2

1.4

1.0

1.2

1.5

A3

1.6

1.4

1.2

1.4

A4

1.5

1.2

1.4

1.2


Решение.

Т.к. задача с неправильным балансом, введем фиктивного потребителя B5 с запросами, равными 50.

Используя метод минимальной стоимости, получим следующее решение:


B1

B2

B3

B4

B5

A1

30

0

0

0

0

A2

0

10

0

0

0

A3

0

0

20

0

20

A4

30

0

0

10

30


5. Универсальный метод транспортной задачи.

Для расчета мощности i-го вида транспорта необходимо воспользоваться значениями: S=2 смены; Z=8 часов; d=25 дней; P1=10т, P2=5т, P3=10т, P4=15т.

Численность транспорта (i)

n1=20; n2=30;n3=30;n4=20.

Спрос потребителей (j):

B1=120; B2=70; B3=50; B4=120.

В таблице первое значение – c – себестоимость перевозки j-го груза i-м видом транспорта (руб/маш·ч), второе – t время на транспортировку i-го продукта j-м видом транспорта (ч).



B1

B2

B3

B4

n1

3;3

4;4

5;2.5

6;4

n2

5;5

6;6

7;5

4;4

n3

2;2

3;3

4;4

3;4

n4

5;4

4;3

2;3

2;4


Решение.

Рассчитаем мощность транспортных средств по формуле.

Ai=d·Z·S·ni

Получим:

A1 = 25·8·2·20 = 8000

A2 = 25·8·2·30 = 12000

A3 = 25·8·2·30 = 12000

A4 = 25·8·2·20 = 8000


6. Игровые задачи.

Для обслуживания потребителей предприятие может выделить три вида транспорта А1, А2 и А3, получая прибыль, зависящую от спроса на них. В матрице элементы αij, характеризуют прибыль, которую предприятие получает при использовании транспорта Ai и состоянии спроса Bj.


B1

B2

B3

B4

A1

7

5

0

5

A2

3

4

5

7

A3

4

5

6

7

Определите оптимальную пропорцию транспортных средств (считая, что доля транспортных средств характеризуется вероятностью использования i-го вида транспорта), предполагая при этом, что состояние спроса является полностью неопределенным. Прибыль должна гарантироваться при любом состоянии спроса.

С этой целью необходимо представить задачу как матричную игру двух лиц (предприятие – спрос) с нулевой суммой, исключить заведомо невыгодные стратегии игроков (упростить задачу), найти оптимальные стратегии и цену игры сведением игры к паре симметричных двойственных задач линейного программирования, определить оптимальную структуру транспортных средств.


Решение.

Составим двойственную пару задач линейного программирования.

Для первого игрока (спрос)

y1+y2+y3+y4=1

Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим левую и правую часть выражений на V. Приняв yi/V за новую переменную zi получим новую систему ограничений и целевую функцию.


Для второго игрока (предприятие)

x1+x2+x3=1

Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим левую и правую часть выражений на V. Приняв xi/V за новую переменную di получим новую систему ограничений и целевую функцию.

Приведем модель к канонической форме.

Построим симплекс-таблицу

Б.п.

1

–d1

–d2

–d3

d4

1

7

3

4

d5

1

5

4

5

d6

1

0

5

6

d7

1

4

7

7

ψ

0

–1

–1

–1

Опорный план (0;0;0;1;1;1;1)


Ключевой столбец – d3

Ключевая строка – d7


Получаем новую симплекс-таблицу.

Б.п.

1

–d1

–d2

–d7

d4

3/7

33/7

–1

–4/7

d5

2/7

15/7

–1

–5/7

d6

1/7

–24/7

–1

–6/7

d3

1/7

4/7

1

1/7

ψ

8/7

–3/7

0

1/7

Опорный план (0;0;8/7;3/7;2/7;2/7;0)


Ключевой столбец – d1

Ключевая строка – d4


Получаем новую симплекс-таблицу.

Б.п.

1

–d4

–d2

–d7

d1

1/11

7/33

–7/33

–4/33

d5

3/7

–5/11

–18/7

–15/7

d6

15/7

8/11

–57/7

–102/49

d3

3/7

–4/33

37/7

1

ψ

39/7

1/11

–3/7

3/7

Опорный план (1/11;0;39/7;0;3/7;15/7;0)


Ключевой столбец – d2

Ключевая строка – d3


Получаем новую симплекс-таблицу.

Б.п.

1

–d4

–d3

–d7

d1

4/7

65/33

49/1221

–3/7

d5

495/49

–483/231

18/37

–429/49

d6

726/49

224/77

57/37

–102/49

d2

1/9

–28/1221

7/37

7/37

ψ

1447/39

132/231

3/37

132/49

Опорный план (4/7;1/8;0;0;495/49;726/49;0)


Получаем оптимальное решение:

d1 = 4/7

d2 = 1/8

d3 = 0

Цена игры V =

Исходные параметры, относительные частоты применения стратегий.

x1 =

x2 =

x3 = 0


7. Задачи на экстремум.

На плоскости x1x2 построить допустимую область, определяемую заданной системой ограничений. Найти в этой области оптимальные решения задач максимизации и минимизации целевой функции Z.

Z=(x1–2)2+(x2–3)2

x12–8x2–8≥0

5x1–4x2–28≤0

x1≥0; x2≤3


Решение.


Строим область, соответствующую системе ограничений задачи. На чертеже это заштрихованная область.

Из чертежа видно, что минимум целевой функции будет лежать на границе области ограничений.

Для определения координат точки минимума воспользуемся равенством

λ=0.75–0.25x2

x2=0.125x12–1

0.125x13–x1+x1–8=0

0.125x13–8=0

x13–64=0

x1=4

x2=1

λ=0.5

Следовательно, минимум функции достигается в точке (4;1) и равен (4–2)2+(1–3)2 = 4+4 = 8.

Максимум целевой функции, как видно из рисунка, будет достигаться в точке (0;–7) и будет равен (0–2)2+(–7–3)2 = 4+100 = 104.


9. Планирование капитальных вложений.

Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремент и дальнейшую эксплуатацию: K(τ)=τ+0.5τ2 (руб.). Функция замены: P(τ)=6+0.05τ2 (руб.) определить оптимальную стратегию замены и ремонта для нового оборудования (τ=0) и оборудования возраста τ=1; τ=2; τ=3.

Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам следующее: n(τ=0)=10; n(τ=1)=12; n(τ=2)=8; n(τ=3)=5.


11. Эффективность сферы реальных услуг.

Автомашина при ее эксплуатации может находиться в следующих состояниях:

X0 – исправна;

X1 – неисправна, проходит осмотр, который проводится с целью определения типа ремонта;

X2 – неисправна, проходит капитальный ремонт;

X3 – неисправна, проходит средний ремонт;

X4 – неисправна, проходит текущий ремонт;

X5 – отремонтирована, проходит контроль и испытание на определение качества ремонта и выявление дефектов.

Среднее время межремонтного пробега равно t0 = 0.5 лет. Среднее время осмотра машины – t1 = 4 года. Вероятность qi каждого вида ремонта устанавливается исходя из уровня учета полного набора событий на интервале межкапитального ремонта в виде отношения количества ремонтов Ki каждого вида по всему количеству ремонтов в этом интервале, т.е.

Длительность межкапитального интервала – tk = 6 лет, среднего tc = 2 года, текущего – tт = 0.5 лет.

После ремонта машина поступает на послеремонтный контроль. Качество ремонта определяется вероятностью 0.9 для капитального ремонта, 0.6 – среднего и 0.9 – текущего.

Изобразить график состояний системы с интенсивностями проходов из состояния в состояние. Определить вероятность нахождения машины в каждом из состояний, включая исправное состояние машины P0, а так же среднее время простоя машины


Решение.

Граф состояний машины представлен ниже.



Найдем qi. Возьмем период времени 6 лет. За это время будет проведен 1 капитальный ремонт, 3 средних ремонта и 12 текущих ремонтов, т.е. K2=1; K3=3; K4=12.

q2 = 1/16 = 0.0625; q3 = 3/16 = 0.1875; q4 = 12/16 = 0.75;

Найдем интенсивности потоков, переводящих автомашину из состояния в состояние:

Считая, что все потоки простейшие с вышеуказанными интенсивностями, найдем вероятность каждого состояния. Решим соответствующую систему однородных алгебраических уравнений.

0=–λ01P020P230P3+ λ40P4

0=– λ20P2–λ12P1

0=– λ30P313P1

0=– λ40P414P1

Решение этой системы, удовлетворяющее нормировочному условию  имеет вид:

 =  =  =  =  = 0.047619


Среднее время простоя машины равно


13. Определение оптимального размера автопарка.

Средняя скорость поступления пакетов на базу –  = 1200.

Стандартное отклонение поступления –  = 100.

Средний объем вывоза на машину – Di – 120.

Стандартное отклонение на машину – ΔDi – 10.

Затраты на эксплуатацию автомобиля в день – c = 10.

Стоимость сверхурочного времени работы – q – 25.

Определить наиболее эффективную структуру парка машин.

Примечание. Воспользоваться выборкой из пяти случайных нормальных чисел α=(0.464; 0.060; 1.486; 1.022; 1.394) β=(0.137; –2.526; –0.354; –0.472; –0.555)


Решение.

Расчетные выражения задачи.

1. Общее число поступающих пакетов, подлежащих доставке в i-й день,

,

где - среднесуточное поступление, - стандартное отклонение от Bi, αi – табличное значение нормального распределения, i=1…5 – выборка пяти рабочих дней в неделю.

2. Общее число пакетов, подлежащих доставке с учетом остатка предыдущего дня.

Вi=B+di-1,

где di-1 – остаток пакетов, не вывезенных с предыдущего дня.

3. Общее количество пакетов, которое может быть доставлено в течение рабочего дня.

где n – количество машин, - среднее количество пакетов на одну машину в день, - стандартное отклонение от ,  - табличное значение нормального распределения.

4. Число пакетов, оставшихся для обработки при отсутствии сверхурочного времени.

di=Bi­­–Di

5. Число пакетов, подлежащих отправке в сверхурочное время

6. Стоимость сверхурочной доставки в предположении, что скорость обслуживания остается неизменной.

где - длительность рабочего дня (8 ч), С – стоимость сверхурочной часовой работы (8 руб./ч)

Результаты расчета сведем в таблицу (см. ниже).

7. Общие затраты по автопарку, включая обслуживание машин,

где q – стоимость обслуживания машин в сутки, d – количество рабочих дней в неделю.

Результаты расчетов представим в таблице.

Кол-во машин, дни

Число пакетов, подлежащих отправке

Число пакетов, которое может быть отправлено

Кол-во неотпр. пакетов

Кол-во пакетов, сверхур. отправл.

Издержки на сверхур. время

n

ti

αi

Bi

Bi

βi

Di

di

Di*

Qi

15

1

0.464

1246

1246

0.137

1521

0

0

0

2

0.060

1206

931

-2.526

1121

0

85

227

3

1.486

1349

1159

-0.354

1447

0

0

0

4

1.022

1302

1014

-0.472

1429

0

0

0

5

1.394

1339

924

-0.555

1417

0

0

0

Q = 227+15·10·5 = 977

16

1

0.464

1246

1246

0.137

1622

0

0

0

2

0.060

1206

830

-2.526

1196

0

10

27

3

1.486

1349

983

-0.354

1543

0

0

0

4

1.022

1302

742

-0.472

1524

0

0

0

5

1.394

1339

557

-0.555

1511

0

0

0

Q = 27+16·10·5 = 827

17

1

0.464

1246

1246

0.137

1723

0

0

0

2

0.060

1206

729

-2.526

1271

0

0

0

3

1.486

1349

807

-0.354

1640

0

0

0

4

1.022

1302

469

-0.472

1620

0

0

0

5

1.394

1339

188

-0.555

1606

0

0

0

Q = 0+17·10·5 = 850

Получается, что оптимальный размер автопарка равен 16 машин.