ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 1. ВАРИАНТ 8

1. В 2001 г. в Ваш день рождения в Сбербанке был открыт счет до востребования на сумму 18000 рублей. Ставка - 2% годовых, по условиям договора вклада начисление и капитализация процентов осуществляются по истечении каждого календарного квартала. Сколько денег получит клиент банка при закрытии счета в этот же день в 2002 г.?

Решение

Сумма после начисление процентов в конце третьего квартала 2001 г. = 18000 * (1+0,02*63/365) = 18062,13 руб.

После 4-го квартала = 18062,13*(1+0,02*92/365) = 18153,18 руб.

После 1 квартала 2002 года. = 18153,18*(1+0,02*90/365) = 18242,7 руб.

После 2 квартала 2002 года. = 18242,7*(1+0,02*91/365) = 18333,66 руб.

Учитывается что, мой день рождения 28 июля

Ответ 18333,66 руб.

2. Какой была бы эта сумма, если бы а) начисление процентов и их капитализация осуществлялись лишь по истечении календарного года; б) начисление процентов и их капитализация осуществлялись бы ежедневно; в) начисление процентов и их капитализация осуществлялись бы непрерывно?

Решение

А) Начисление процентов в конце года = 18000*(1+0,02*155/365) = 18152,88 руб.

Б) ежедневное начисление процентов = 18000*(1+0,02/365)³⁶⁵ = 18363,6 руб.

В) непрерывное начисление процентов = 18000*е^0,02 = 18363,63 руб.

3. Какую сумму (в условиях задачи 1) необходимо снять с этого счета ровно через 100 дней после его открытия, чтобы при закрытии счета вкладчик полнил 15000 рублей?

Решение

Сумма после 100 дней = 18000*(1+0,02*100/365) = 18099 руб.

Сумма, которую необходимо снять = 18099 – 15000 = 3099 руб.

4. Дайте ответ на вопрос, поставленный в задаче 1, если на такую же сумму в тот же день был открыт срочный вклад на 90 дней с автоматическим продлением условий вклада на новый срок в случае неявки клиента. Ставка - 16% годовых.

Решение

За время прохождения денег в банке прошло 12 периодов начисление процентов

Сумма на счете = 18000*(1+0,16*90/365)¹² = 28636,9 руб.

5. Рассчитайте годовую эффективную ставку процента для срочного вклада на 30 дней под 12% годовых.

Решение

Эффективная процентная ставка (i), через простую процентную ставку (ds) выражается следующей формулой.

I = ⁿ√(1/(1-nds)) – 1,

Где n – число периодов финансовой операции в год (для данного случая n = 4

I = ⁴√(1/(1-4*0,12)) – 1 = 0,178 = 17,8 %

6. Придумайте пример вклада, для которого годовая эффективная ставка процента превышает расчетную в 1,1 раза.

Решение

Предположим n = 6, т.е. речь идет о срочном вкладе га 60 дней. Тогда из условия i/ds = 1,1 следует.

⁶√(1/(1-6*ds)) = 1,1 * ds = отсюда следует, что ds = 24%

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2. ВАРИАНТ 8

1. Годовая эффективная ставка процента по срочным рублевым вкладам - 12%. Ожидаемый рост курса доллара в течение ближайших 12 месяцев - 15%. Определите, при каких относительных различиях между ценами покупки и продажи в обменных пунктах имеющему рубли и нуждающемуся через год в рублях целесообразно: а) купить наличные доллары и через год поменять их на рубли; б) открыть срочный рублевый вклад.

Решение.

Пусть n - отношение курса продажи к курсу покупки, k1 - курс доллара при покупке в начале срока. Тогда курс доллара при продаже в конце срока (через год) будет равен n * k1 * 1.15

S - Исходная сумма в рублях, на которую мы можем ( в начале срока) купить доллары в количестве S/k1,

Когда через год поменяем эти доллары на рубли, то получим S/k1 * n * k1 * 1.15 = S *n * 1.15 рублей

Если сумму S положить на срочный вклад, в конце года получим:

S * 1.12 рублей.

Получается, что купить доллары и через год поменять их на рубли выгоднее срочного вклада, если S * n * 1.15 > S * 1.12, т.е. если n > 1,12/1,15 = 0,974

Ответ если n > 0.974, то выгоднее пункт а), если n < 0.974, то выгоднее пункт б), если n = 0.974, тогда пункт а) и б) – равноценны

2. Пусть сегодня в обменных пунктах российских банков цена покупки и доллара, и евро на 3 процентных пункта меньше цены продажи. Такой же эта разница сохранится и в будущем. Ожидает­ся с большой вероятностью, что ежемесячно в течение длительного времени курс евро по отношению к доллару будет возрастать на 0,2%. Цены покупки и продажи обеих валют будут изменяться такими же темпами, как и биржевые курсы. Определите, целесообразно ли имеющему доллары и нуждающе­муся в перспективе в долларах обменять их на евро, а затем осуществить обратный обмен, и если целесообразно, то в каком случае.

Решение.

Рассмотрим ситуацию, когда человек обменял доллары на евро, а по истечении n месяцев поменял их обратно.

Начальную сумму обозначим S. Начальный курс продажи евро за доллары в начале срока обозначим k₁ т.е. за 1 доллар можно купить k₁ евро. Тогда курс покупки будет k₂ ⁼ k₁ *0.97. Через n месяцев курс покупки будет k_t-0.97*1.002ⁿ. Соответственно имеет смысл совершать эту операцию только если 0.97*1.002ⁿ>1. Решив неравенство, получим: n>15,754, т.е. целесообразно делать эту операцию на срок 16 месяцев и более.

3. Годовая эффективная ставка процента по срочным вкладам на год во всех банках составля­ет 16%. Пусть вероятность банкротства любого банка в течение ближайшего года составляет 4%. Банкротство банка означает потерю всех вложенных в него денег. Определите математическое ожи­дание получаемой через год суммы, вероятности получить максимум и потерять все в случае, если: а) все 600000 руб. вложены в один банк; б) если деньги поровну распределены между двумя банками; в) если деньги поровну распределены между тремя банками. Задачу решить в предположении, что бан­кротство одних банков никак не сказывается на положении других, а в банковской системе страны всего 3 банка.

Решение.

а) Возможны 2 исхода (банк разорился, банк не разорился). Вероятность первого исхода - 4%. Получаемая в этом случае сумма = 0. Вероятность второго исхода - 96%. Получаемая в этом случае сумма =

600000*1.16=696000 руб.

Математическое ожидание получаемой суммы = 696000*0.96 = 668160 руб.

Вероятность получить максимум (696000 руб.) - 96%.

Вероятность не получить ничего - 4%.

б) Возможны 3 исхода (ни один из банков не разорился, разорился 1 из банков, разорились оба банка). Найдем вероятность каждого исхода и полученную в каждом случае сумму.

Вероятность того, что ни один из банков не разорился, равна 0.96²=0.9216=92.16%. Полученная при этом сумма = 600000*1.16=696000 руб. Вероятность того; что разорился один из банков равна 2*0.96*0.04 = 0.0768 = 7.68%. Полученная при этом сумма 300000*1.16=348000 руб.

Вероятность того, что оба банка разорились равна 0.04*0.04=0.0016 = 0.16%. Полученная при этом сумма = 0.

Математическое ожидание получаемой суммы = 696000*0.9216 + 348000*0.0768 = 641433,6 + 26726,4 =668160 руб.

Вероятность получить максимум (696000 руб.) = 92,16%

Вероятность не получить ничего = 0.16%

в) Возможны 4 исхода: разорилось 0,1,2,3 банка. Найдем вероятность каждого исхода и полученную в каждом случае сумму.

Вероятность того, что ни один банк не разорился, равна 0.96³= 0.884736=88.4736%. Полученная при этом сумма = 600000*1.16=696000 руб.

Вероятность того, что разорился 1 банк, равна 3*0.96*0.96*0.04 = 0.110592 = 11.0592%. Полученная при этом сумма = 400000*1.16 = 464000 руб.

Вероятность того, что разорились 2 банка, равна 3*0.96*0.04*0.04 = 0.004608 = 0.4608%. Полученная при этом сумма = 200000-1.16 = 232000 руб.

Вероятность того, что все три банка разорились равна 0.04*0.04*0.04 = 0.000064 = 0.0064%. Полученная при этом сумма = 0.

Математическое ожидание получаемой суммы = 696000*0.884736 + 464000-0.110592 + 232000*0.004608 = 668160 руб.

Вероятность получить максимум (696000 руб.) = 88.4736%

Вероятность не получить ничего = 0.0064%.

4. Решите задачу 3 для ситуации, когда банкротство какого-либо банка приводит к увеличе­нию вероятности банкротства всех остальных в 5 раз.

Решение

Возможны 3 исхода (ни один из банков не разорился, разорился 1 из банков, разорились оба банка). Найдем вероятность каждого исхода и полученную в каждом случае сумму.

Вероятность того, что ни один из банков не разорился, равна 0.96²=0.9216=92.16%. Полученная при этом сумма = 600000*1.16=696000 руб. Вероятность того; что разорился один из банков равна 2*0.96*0.04 * 0,05 = 0.0036 = 0.36%. Полученная при этом сумма 300000*1.16=348000 руб.

Вероятность того, что оба банка разорились равна 0.04*0.04=0.0016 = 0.16%. Полученная при этом сумма = 0.

Математическое ожидание получаемой суммы = 696000*0.9216 + 348000*0.0036 = 641433,6 + 1252,8 =642686,4 руб.

Вероятность получить максимум (696000 руб.) = 92,16%

Вероятность не получить ничего = 0.16%

5. Ставка процента по срочным вкладам на месяц составляет 1,4%. за период и таковой она сохранится в перспективе. Ежемесячный рост цен на жилье составляет 1,6%. Определите, для каких временных периодов вложение в жилье с целью последующей перепродажи будет более выгодной финансовой операцией, чем хранение денег в банке, если издержки на покупку жилья составляют 6% от его рыночной цены, издержек при продаже нет. Задачу решить без учета возможности сдачи в аренду и необходимости платить за жилье.

Решение

Процентная разница = 1,6-1,4 = 0,2%

На 0,2% выгоднее покупка квартиры, чем сдачи денег в банк

Временной период = 6/0,2 = 30 месяцев

Из расчетов видно что после 30 месяца покупка жилья станет выгоднее.

6. B какие виды движимого имущества Вы бы сделали вложение накануне августовского кри­зиса 1998 года, если бы могли его предвидеть: а) с целью продажи его через 3 месяца; б) с целью про­дажи его через 5 лет? Объясните.

Объясняю

А) автомобиль, мебель, бытовую технику, аудио и видео технику.

Б) ювелирные изделия, антиквариат.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №3. ВАРИАНТ 8

1 Кредит на сумму 10 млн. руб. получен на условиях погашения его единовременным платежом вместе с процентами через 150 дней. Какую сумму должен будет возвратить заемщик кредитору, если: а) кредиты на такие сроки предоставляются исходя из расчетной ставки 17% годо­вых, а для исчисления стоимости кредита используется формула простых процентов; б) для креди­тов на любые сроки используется годовая эффективная ставка - 17%?

Решение

А) 10*(1+0,17*150/365) = 10,699 млн. руб.

Б) 10*(1+0,17)^150/365 = 10,66649 млн. руб.

2 Какие суммы должен отдавать заемщик кредитору, если бы погашение кредита преду­сматривалось тремя равными суммами - соответственно через 50, 100 и 150 дней, если: а) расчетная ставка остается такой же, как в задаче 1, и для соизмерения денежных сумм во времени ис­пользуется формула простых процентов; б) годовая эффективная ставка остается такой же, как в задаче 1, и для соизмерения денежных сумм во времени используется формула сложных процен­тов?

Решение

Периодическая выплата постоянной суммы У при заданной процентной ставке ic в течении n лет является аннуитетом.

Величина срочной уплаты:

У= D/ain , где D - сумма долга, ain - коэффициент приведения ренты.

Ain = 1-(1+ic)^-n/ic, где i_c — процентная ставка в месяц.

a) i_c=0.17/12=0.014=1.14% в месяц.

Ain =1-(1+0.014)^-5/0.014 = 4.976

Величина срочной уплаты: У = 10/4,976 = 2,0096463 млн.руб.

б) i_c=¹²√l + 0.17-l = 1.0131-1 = 0.0131 = 1.31% в месяц

Ain =1-(1+0.031)^-5/0.031 = 4.5667

Величина срочной уплаты:

У= 10/4,5667 = 2,1897650 млн.руб

3. Какие суммы в условиях задачи 1 получил бы на руки заемщик, если бы кредитор взял с его проценты в момент выдачи кредита?

Решение

10/(1+0,17*5/12) = 9,338521 млн.руб.

4. Какими были бы уплачиваемые единовременно по окончании срока займа проценты за кредит, если в условиях задачи 2 в указанные сроки равными долями погашался основной долг?

Решение

0.014% = r /12

r = 0.014*12 = 0.168 = 16.8%

5. График погашения кредита предполагал ежемесячную выплату заемщиком 500 тыс. руб. в течение 6 месяцев (1-й платеж - через месяц после получения кредита, второй - через 2 месяца и т.д.). Заемщик оказался не в состоянии выплачивать ежемесячно такую сумму и договорился с \ , кредитором о реструктуризации долга - выплачивать в течение более длительного срока ежемесяч­но по 250 тыс. руб. Как долго заемщик будет погашать свой долг, если новые его обязательства финансово эквивалентны первоначальным, а для соизмерения денежных сумм во времени исполь­зуется годовая эффективная ставка 27%?

Решение.

Первые пять платежей проходили по графику и их можно не принимать в расчет. Фактически, необходимо найти сумму платежа, эквивалентного трем платежам по 0,5 млн. рублей с перерывом 1 месяц между платежами при годовой эффективной ставке 27%.

Искомая сумма = 500000 * PVIFA_27%/12;3*1 * (1+0,25/12) = 500000 * ((1+0,27)¹²-l)/0,27*(1+0,27/12) = 500000*2,920*1,0225 = 1492850 руб.

6. Кредиты на 10 месяцев выдаются исходя из расчетной ставки 30% годовых. Исходя из какой расчетной ставки должны выдаваться кредиты на 2 месяца, чтобы годовая эффективная ставка процента по таким кредитам была такой же. как и по кредитам на 10 месяцев?

Решение.

Рассчитаем сумму возврата для суммы кредита S при расчетной ставке 22%.

P=S*(1+0.30*10/12) = S*1.25

Определим годовую эффективную ставку процентов, при которой прирост средств за 10 месяца будет такой же.

P=S*(l+n)^10/12 = S*l.25

(l+n)^1/1.2-1.25

1n(1+n)/1.2=1n(1.25)

ln(l+n)=1.2*ln(1.25)

ln(l+n)=0.26777

l+n= 1.53715

n=0.53715=53.715%

Определим прирост средств за 6 месяцев при вычисленной эффективной ставке.

(1+0.53715)^1/1.2=1.281

Вычислим расчетную ставку, при которой будет такой же прирост.

(1+n*10/12)=1.281

n=0.5372=53,72%

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №4. ВАРИАНТ 8

1. Облигации внутреннего выигрышного займа выпущены на следующих условиях. Всего облигаций 10 млн. штук, срок погашения - через 6 лет. Ежегодно в конце каждого календарного квартала проводится тираж, в результате которого 200000 облигаций выигрывают. Выигравшие облигации в дальнейших тиражах не участвуют. Определите вероятность выигрыша в 10-м тираже для человека, имеющего три облигации.

Решение.

Рассчитаем вероятность того, что в трех тиражах ни одна из 10 акций не выиграла. Тогда искомая вероятность будет равна 1 минус найденная вероятность.

Возьмем первый тираж. Вероятность выигрыша каждой конкретной акции составляет 1/50. Вероятность не выигрыша каждой конкретной акции 49/50. Вероятность того, что ни одна из 10 облигаций не выиграет равна. (49/50)¹⁰ Аналогично для второго тиража получим вероятность того, что ни одна из 10 облигации не выиграет (48/49)¹⁰, т.к. выигравшие в первом тираже акции в дальнейших тиражах не участвуют. Из тех же соображений для третьего тиража получим вероятность того, что ни одна из 10 облигаций не выиграет (47/48)¹⁰. Для того, что бы акция не выиграла ни в одном из трех тиражей эти события должны произойти одновременно, т.е. для нахождения этой вероятности необходимо перемножить все три найденных значения. В итоге получим вероятность того, что ни одна акция из 10 не выиграет в первых трех тиражах(49/50)¹⁰ * (48/49)¹⁰ * (47/48)¹⁰ = (47/50)¹⁰ = 0.5386.

Вероятность того, что хотя бы одна из 10 акций выиграет в первых трех тиражах равна 1-0.5386 = 0,4614 = 4.6414%.

2. Ha фондовом рынке обращаются дисконтные облигации номиналом в 100 тыс. руб. Какова будет их рыночная цена за 3 месяца до погашения, если вложения в эти облигации обеспечивают такую же доходность, как и обычные кредитные операции, годовая эффективная ставка для которых составляет 24%?

Решение

Обозначим искомую цену через S. Получим условие.

S * (3*1,24/12)=100 руб.

S = 100+6 = 106 руб.

3. Банк учитывает векселя, срок оплаты которых - через 100 дней, с дисконтом 4,8%. Какова Доходность таких операций в пересчете на годовую эффективную ставку декурсивных процентов?

Решение

Рассчитаем доходность векселя на 100 дней при дисконте 4,8%

R * 12 = 0.048

R * 0.27 =0.048

R = 0.048/2.7 = 0.0178

4. Рассчитайте формальную рыночную стоимость акций, по которым ежегодно выплачивается дивиденды в размере 150 руб. на одну акцию, если до момента получения первых дивидендов остается 10 месяцев. Годовая эффективная ставка процента составляет 12%.

Решение

Обозначим искомую цену через S. Получим условие.

S * (10*1,12/12)=150 руб.

S = 150+13.95 = 163.95 руб.

5. Стартовая формальная рыночная цена купонной облигации (всего 4 купона) номиналом 500 тыс. руб., погашаемой через 2 года, по которой по истечении каждых шести месяцев выплачивается доход в размере 5% от номинала, составляет 450 тыс. руб. Определите годовую эффективную ставку процента на денежном рынке.

Решение

1800 * 1.1 * r = 2000

1980*r=2000

r = 2000/1980 = 1.01

r = 1.01 – 1 =0.01 = 1%

6. Рассчитайте современную стоимость отложенной обыкновенной ежегодной ренты в 50000 руб. на 5 лет, в предположении, что годовая эффективная ставка процента на денежном рынке составляет и будет составлять 12%, а первые 50000 руб. можно получить через 4 года.

Решение

S(4) = 50000 (1-(1+0.12)^-4/0.12) * (1+0.12)⁴

S(4) = 50000*4.78 * 1.57 = 375230

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №5. ВАРИАНТ 8

1. Номинальная годовая эффективная ставка процента на денежном рынке составляет 24%. Чему равна реальная ставка процента, если рост среднего уровня цен за год составляет: а) 10%; б) 20%; в) 80%?

Решение.

I = 1 + r /1+h100 – 1, где реальная ставка процента, r – номинальная ставка, h, - рост среднего уровня цен.

а) I = 1 + 0.24 /1+0.1-1= 1.24/1.1 -1 = 0,1272 = 12,72%.

б) I = 1 + 0.24/1+0.2 -1= 1.24/1.2 -1 = 0,0333 = 3.33%

в) I = 1+ 0.24/1+0.8 -1= 1.24/1.8 - 1 = - 0,3111 = -3,11%

2. Студент N решил подзаработать торговлей сигаретами с рук в одном из бойких мест города крутые ребята с оптовой базы согласились отпускать товар в долг под проценты - 0,1% в сутки (проценты простые). N решил ежедневно продавать 50 пачек по цене 8 руб. за пачку. Оптовая цена таких сигарет составляет 6 руб. за пачку. Затраты на транспорт для поездки на базу и обратно составляют 20 руб. (на первую поездку деньги у студента были). Расчет с кредиторами единовременно, после распродажи очередной партии сигарет. Каким может быть максимальный среднесуточный чистый доход студента от торговой деятельности и при какой частоте поездок на базу?

Решение

Доход от продажи = 50*8 = 400 руб.

Себестоимость сигарет = 50*6 = 300 руб.

Плата по процентом = 300*0,1/100 = 0,3 руб.

Чистый максимальный доход = 400-300-0,3-20 = 79,7 руб.

3. Определите с позиций формальной финансовой математики, при какой годовой эффективной ставке процента по депозитам выгоднее покупать ежегодно туфли по цене 1000 руб., чем раз в три года - туфли по цене 2600 рублей. Внешний вид и потребительские свойства у них одинаковы, различается только срок службы.

Решение

Искомая цена = 1000/(1+ r)¹ < 2600/(1+r)³

10<26*(1+r)^-2

(1+r)^-2 > 0.384

1+r > 0.620

r = 1-0.62 = 0.38

Получается, что первые туфли выгоднее покупать, когда годовая эффективная ставка процента больше, чем 3,8 %

4. Молодая семья арендует квартиру и платит за нее ежемесячно 3000 руб. Текущие доходы семьи позволяют ежемесячно откладывать 8000 рублей (остальные деньги уходят на неотложные, нужды и хозяину). Есть мечта приобрести собственную квартиру стоимостью 800000 руб. Предположив, что деньги накапливаются в наличной форме, определите, целесообразно ли для ускорения решения проблемы прибегнуть к банковскому кредиту, который на любые сроки выдается из расчета годовой эффективной ставки 12% . и если целесообразно, то когда (после накопления какой суммы собственных средств) это лучше всего сделать?

Решение.

Рассчитаем расходы семьи на протяжении всего периода накопления денег и расчета с кредитором, исходя из условия, что после того, как семья N месяцев копила деньги, она взяла кредит и приобрела квартиру.

За N месяцев семья накопила 8000*N рублей. Так же за эти N месяцев семья заплатила 3800*N рублей в качестве арендной платы за квартиру. Для приобретения квартиры им пришлось взять кредит в сумме Р=800000-8000*N рублей.

Рассчитаем количество месяцев (n), в течении которого семья расплачивалась за кредит, из уравнения

800000*0,12/(1+0,12)ⁿ -1 = 8000

96000/8000 = 1.12ⁿ -1

5 Определите с позиций формальной финансовой математики: какой автомобиль лучше - ценой 160000 руб., сроком службы 5 лет, с ежегодными издержками на эксплуатацию 30000 руб. или ценой 300000 руб., сроком службы 9 лет, с ежегодными издержками на эксплуатацию 24000 руб. Годовая эффективная ставка составляет 8%.

Решение.

160000-30000/(1+0,08)⁵ = 130000/1,47 = 88435,37 5000

300000-24000/(1+0,08)⁹ = 276000/1,999 = 138069,04

Из проведенного расчета выгоднее покупать автомобиль с ценой 30000 руб. и сроком службы 9 лет, и с ежегодными издержками на эксплуатацию 24000 руб.

6. Ежедневный объем продаж торговой фирмы - 500 кг. розничная цена 1 кг - 50 руб. Единовременные затраты на доставку партии товара с базы - 3000 руб. Оптовая цена 1 кг - 40 руб. Товар является портящимся - ежедневно портится и не подлежит реализации 1% от имеющегося на начало рабочего дня запаса товара. Требуется определить оптимальный размер закупаемой партии товара, обеспечивающий после ее распродажи максимум дохода фирмы в расчете на 1 день торговли.

Решение.

Доход от продажи = 500*50 = 25000 руб.

Себестоимость партии = 500*40 = 20000 руб.

Сумма портящегося товара = 20000*1/100 = 200 руб.

Чистый максимальный доход = 25000-20000-200-3000 = 1800 руб.