Контрольная работа № 4.


№ 1. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.


1)  =  + C.

Проверка.

 =  =

2)

Преобразуем подынтегральное выражение.

 =  =

A=1–B

–4(1–B)+5B=23

–4+4B+5B=23

9B=27

B=3

A=1–3=–2

В итоге получаем:

 =

 =  –  = 3ln|x–4|–2ln|x+5|+C

Проверка.

(3ln|x–4|–2ln|x+5|)’ =  =  =  =

3)  =  =  =

Проверка.

 =  =


№ 2. Вычислить определенный интеграл.


 =  =  =  =  =  =  –  =  –  =  = 2 –  = 1.725


№ 3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.


 =  =  =  =  =  = 1.


№ 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.


2x+3y2=0; 2x+2y+1=0.

Найдем точки пересечения графиков.

3y2=2y+1

3y2–2y–1=0

 =  =  =  =  =  =  =


№ 5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой L.


x2+2y=0; x=1; y=0


Решение.

V= =  =  = 0.05π


Контрольная работа № 5.


1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж области интегрирования.



Решение.

 =  +


2. А. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертеж.


x2+y2=4; y–2z+4=0; z=0

Перейдем к цилиндрическим координатам. Получим следующие значения параметров:


0≤r≤2

0≤φ≤2π

Объем тела будет равен:

V =  =  =  =  =  = 8π


3. А. Требуется: 1) найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность σ = σ1 + σ2 (выбирается внешняя нормаль к σ); 2) вычислить циркуляцию векторного поля a по контуру Г, образованному пересечением поверхностей σ1 и σ2 (направление обхода должно быть выбрано так, чтобы область, ограниченная контуром Г оставалась слева); 3) проверить правильность вычисленных значений потока и циркуляции с помощью формул Остроградского и Стокса; 4) дать заключение о наличии источников и стоков внутри области, ограниченной поверхностью σ; 5) сделать схематический чертеж поверхности σ.


a=(3x+2y)i+(5x–2y)j+(3z–y2–3)k; σ1: x2+y2=(z–1)2; σ2: z=3.


Решение.

1) Поток поля через замкнутую поверхность σ1 + σ2

П = П12 =  +

П1 =  =  =  =

Перейдем к координатам z, φ.

П1 =  =  =  =  =  =  =  =  =  =  =  =  =  =  =  =  =   =  =


П2 =  =

Перейдем к полярным координатам:

z=3

П2 =  =  =  =  =  =  =  =  =  =

П = П12 =  –


2) Ц =


Ц =  =  =  =  =  =  =  = 7π


3) div a = 3 – 2 + 3 = 4.

 =  =  =  =  = 16π


rot a =  = (–2y)i + (5–2)k = –2yi+3k


 =  =

 =


Перейдем к координатам z, φ.

 =  =  =  =  =  =  =


 =

Перейдем к полярным координатам:

z=3

 =  = 12π

 =


4) Т.к. div a = 4, то внутри области имеются источники, плотность которых если принять ее непрерывной, равна 4.


5) Чертеж.