Исходные данные

Дано два массива данных:

Х:      5       6       7       5,5    5,8

Y:      22     21     21,5  20     80

1. Проверка на нормальность

По Критерию Пирсона проверим две статистические гипотезы о том, что каждая из выборок имеет нормальное распределение. Сначала составим в пакете Excel вспомогательную таблицу:

Используя данные этой таблицы найдем среднеквадратичные отклонения каждой из выборок:

Приведем формулы, по которым проводились эти вычисления в Excel:

Далее проведем основные вычисления по проверке гипотез. Для этого сгруппируем значения из этих выборок по интервалам. Для первой выборки этими интервалами будут (–¥;5), [5;6), [6;7), [7;8), [8;+¥). Для второй выборки этими интервалами будут (–¥;20), [20;21], (21;22], (22;80], (80;+¥).

Ниже приведены таблицы их Excel, в которых как для первой, так и для второй выборок приведены эмпирические частоты попадания элементов выборок в каждый интервал, центрированные и нормированные значения границ интервалов, значения стандартной функции Лапласа в центрированных и нормированных границах интервалов, значения функций нормального распределения в границах интервалов (для вычисления теоретических вероятностей попадания элементов выборки в указанные интервалы), теоретические частоты попадания элементов выборки в указанные интервалы, значения c²-критериев для каждой выборки.

Ниже приведем ту же таблицу из Excel? Только с указанием формул:

Итак, расчетные значения c²-критериев для обеих выборок 0,37311 и 163,551. Судя по таблице критических значений критерия Пирсона при п=5 элементах выборки и при k=2 степенях свободы, мы можем принять гипотезу о том, что первая выборка сделана из нормально распределенной генеральной совокупности только при уровне значимости a=0,9 (т.е. с 10%-ой надежностью), а для второй выборки аналогичную гипотезу можем принять при уровне значимости a=0,01 (т.е. с 99%-ой надежностью).

2. Избавиться от выбросов

Для избавления от выбросов в каждой выборке проведем экспоненциальное сглаживание и заменим элементы выборок на «сглаженные» значения. Экспоненциальное сглаживание проведем, получив соответствующие уравнения трендов на точечном (графическом) представлении выборок:

С помощью полученных уравнений вычислим «сглаженные» значения:

3. Проверить гипотезу равенства средних

Предполагая, что обе эти выборки сделаны независимо друг от друга из нормально распределенных генеральных совокупностей, проверим статистичекую гипотезу о равенстве средних при условии, что гипотеза о равенстве дисперсий не отвергается.

В качестве критерия используем функцию

,

где  п=т=5 – количество элементов во обеих выборках,  и  – выборочные дисперсии.

Вычислив в Excel эти значения, получим следующие значения (с указанием формул):

Функция  Т  подчинена  t-распределению. По таблице  t-распределения для  п+т–2=8 степеней свободы и при уровне значимости a=0,05 двусторонняя критическая область (–¥;–1,86)È(1,86;+¥), т.е. значение  Т = –2,2946  попадает в критическую область, т.е. разность между средними несущественна и следует принять гипотезу о равенстве средних генеральных совокупностей.

4. Достоверность отличия каждого из средних от нуля

Для проверки достоверности отличия каждой средней от нуля по критерию Стьюдента проверим две статистические гипотезы о значениях средних:

Вычислим наблюдаемые значения критериев Стьюдента

, где  s – соответствующие с.к.о.:

Двусторонние критические области определяем для уровня значимости a=0,05 и числе степеней свободы  п­–1=т–1=4 есть (–¥;–2,776)È(2,776;+¥). Это означает, что для обеих выборок следует принимать гипотезы об отличии каждой из средних от нуля.

5. Гипотетическая разность между средними

Для гипотетической разности между средними (d=1,2; a=5%; b=10%; D=0,5) определить минимальное количество экспериментов, необходимое для достоверного определения гипотетической разности между средними.

Минимальное число экспериментов найдем из следующих условий.

1) Стандартная ошибка разности между средними находится по формуле , где п и т – искомые минимальные значения экспериментов.

2) Наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента, используемое при проверке статистической гипотезы о значении разности между средними вычисляется по формуле   с уровнями значимости a=5% и b=10% и числом степеней свободы N=(n-1)+ (m-1).

Используем эти два условия для составления двух уравнений относительно двух неизвестных п и т.

Первое уравнение  .

Для второго уравнения найдем в Excel с указанием формулы

Для того, чтобы гипотеза была принята с t=22,533 и a=5%, по таблице значений критерия Стьюдента находим минимально необходимое число степеней свободы N=1. Аналогичная картина и для уровня значимости b=10%.

Значит, достаточно использовать только первое уравнение для обоих случаев. Для простоты предположим, что п=т.

Тогда искомое минимальное число экспериментов :

Ответ: минимальное число – 1 эксперимент.

6. Минимальное количество объектов

Для a=5% и b=5% определить минимальное количество объектов, которое необходимо взять в эксперимент, для того, чтобы определить разницу между двумя ожидаемыми частотами  p₁=0,2;  p₂=0,7.

Рассмотрим c²-критерию проверки статистической гипотезы о совпадении ожидаемой и наблюдаемой частот. Статистика этого критерия:

,

где   – ожидаемая частота, N – искомое минимальное число объектов, 1/N – наблюдаемая частота (частота появления 1 элемента с заданным свойством).

Критическое значение , где g – заданный уровень значимости при (N–1) степенях свободы.

Гипотеза о совпадении частот принимается при выполнении неравенства

.

Значит, эта гипотеза отвергается при неравенстве Подробнее: