1. В урне 14 билетов. Из них 5 выигрышных. Какова вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным.

Решение:

Искомая вероятность равна отношению исходов, благоприятных событию «Вынутый билет выигрышный» к числу всех возможных событий, т.е. 5/14=0.357 или 35,7%.


2. Биатлонист стреляет в мишень. Мишень – круг радиуса 9 см. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 1. Попадание в любую точку мишени равновероятно. Необходимо попасть в круг радиуса 5 см.

Решение:

Согласно определению геометрической вероятность попадания в круг радиуса 5 см равна 5/9=0,556, или 55,6%.


3. Имеется собрание сочинений из 7 томов некоторого автора. Все 7 томов расставляются на книжной полке случайным образом. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Решение:

В том и в другом случае ответ будет одинаков, поэтому рассмотрим только случай расположения в порядке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Том №1 на первом месте оказывается с вероятностью 1/7; при условии, что первый том занял место №1, второй том занимает место №2 с вероятностью 1/6; аналогично при условии, что тома №1 и №2 заняли соответственно места №1 и №2, третий том занимает место №3 с вероятностью 1/5 и т.д. Тогда, по теореме о произведении вероятностей независимых событий, тома располагаются в порядке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 с вероятностью

.


4. Имеется собрание сочинений из 9 томов некоего автора. На верхней полке умещается только 6 томов. Это тома берут из 9 томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, …, 7 или 7, 6, …, 1?

Решение:

Найдем вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, …, 7.

Первой поставленной книгой должен быть только первый том, т.е. общее число исходов – 9, а число благоприятных исходов – 1. Следовательно вероятность того, что первый том окажется на первом месте равна 1/9.

Аналогично получим, что вероятность того, что второй том будет стоять на втором месте равна 1/8, что третий том будет стоять на третьем месте – 1/7 и т.д.

Вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, …, 7 будет равна

.

Аналогично найдем вероятность того, что тома расположатся в порядке 7, 6, …, 1.

Проведя аналогичные рассуждения получим, что P2=P1.

Искомая вероятность равна .


5. Имеется собрание сочинений из 9 томов некоего автора. На верхней полке умещается только 7 томов. Это тома берут из 9 томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Какова вероятность, что для размещения на полке будут выбраны тома 1, 2, …, 7?

Решение:

Вероятность того, что первый наугад выбраны том попадет в число нужных равна 7/9. Для второго тома эта вероятность равна 6/8, для третьего 5/7 и т.д. В итоге получим:

.


6.  Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности попадания стрелков в мишень равны 0,4; 0,3; 0,2. Какова вероятность того, что:

а) все три выстрела окажутся успешными;

б) хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным;

в) точно один выстрел окажется успешным?

Решение:

а) По теореме о произведении вероятностей независимых событий искомая вероятность 0,4·0,3·0,2=0,024.

б) Заметим, что если первый выстрел оказывается успешным с вероятностью 0,4, то этот выстрел оказывается неуспешным с вероятностью (1–0,4). Событий «хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным» предполагает, что точно какой-нибудь один из трех выстрелов успешен (два остальных неуспешны), либо только каких-нибудь два из трех выстрелов успешны (один неуспешен), либо все три успешны. Тогда, по теореме о сумме независимых событий искомая вероятность равна

[0,4·(1-0,3)·(1-0,2)+ (1-0,4)·0,3·(1-0,2)+ (1-0,4)·(1-0,3)·0,2] + [0,4·0,3·(1-0,2)+ (1-0,4)·0,3·0,2+ +0,4·(1-0,3)·0,2] + [0,4·0,3·0,2] = 0,452 + 0,188 + 0,024 = 0,664.

            в) 0,4·(1-0,3)·(1-0,2)+ (1-0,4)·0,3·(1-0,2)+ (1-0,4)·(1-0,3)·0,2 = 0,452.


7. Идет охота на волка. В охоте участвуют 4 охотника. Вероятность выхода волка на первого охотника – 0,3; на второго – 0,2; на третьего – 0,1; на четвертого – 0,4. Вероятность убийства волка первым охотником, если волк вышел на него – 0,8. Вероятность убийства волка вторым охотником, если волк вышел на него – 0,7. Вероятность убийства волка третьим охотником, если волк вышел на него – 0,6. Вероятность убийства волка четвертым охотником, если волк вышел на него – 0,9. Какова вероятность убийства волка?

Решение:

По формуле полной вероятности искомая вероятность

Р = 0,3·0,8 + 0,2·0,7 + 0,1·0,6 + 0,4·0,9 = 0,8.


8. 14% всех мужчин и 5% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина. Число мужчин и женщин считается одинаковым.

Решение:

Введем следующие обозначения событий:

A1 – выбранный человек – мужчина.

A2 – выбранный человек – женщина.

B – выбранный человек – дальтоник.

Во введенных обозначениях получим: P(A1)=0,5; P(A2)=0,5; P(B/A1)=0,14; P(B/A2)=0,05.

По формуле полной вероятности получим, что вероятность того, что выбранный человек окажется дальтоником, равна:

P(B)=P(A1)∙P(B/A1)+ P(A2)∙P(B/A2)=0,5∙0,14+0,5∙0,05=0,07+0,025=0,095.

Искомую вероятность найдем по формуле Байеса.


9. Случайная величина X задана рядом распределения.

X

–3

0

1

4

P

0.4

0.3

0.2

0.1

Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX, σx, вероятности P(X<0), P(X>0), P(–1<X<3).

Y=2X+b. Найти математическое ожидание MY, дисперсию DY.

Решение:

MX=(–3)∙0.4+0∙0.3+1∙0.2+4∙0.1=–0.12+0.2+0.4=0.48.

DX=(–3-0.48)2∙0.4+(0-0.48)2∙0.3+(1-0.48)2∙0.2+(4-0.48)2∙0.1 = 6.21

P(X<0)=P(X=–3)=0.4

P(X>0)=P(X=1)+P(X=4)=0.2+0.1=0.3

P(–1<X<3)=P(X=0)+P(X=1)=0.3+0.2=0.3

Y=2X+b. Составим для величины Y ряд распределения.

Y

–6+b

b

2+b

8+b

P

0.4

0.3

0.2

0.1

MY=M(2X+b)=2MX+b=2∙0.48+b=0.96+b

DY=D(2X+b)=D(2X)+D(b)=D(2X)=4DX=4∙6.21=24.83.


10. Футболист бьет 5 раз пенальти. Вероятность забить при одном ударе – 0.5. Какова вероятность того, что будет забито 3 мяча? Более 2? Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX.

Решение:

Найдем вероятность того, что будет забито 3 мяча.

P(X=3) = C35∙0.53∙(1-0.5)5-3 = 10∙0.125∙0.25 = 0.3125.

Найдем вероятность того, что будет забито более двух мячей.

Дополнительным событием к искомому будет событие, что забито 0,1 или 2 мяча. Найдем вероятность каждого из этих событий.

P(X=0) = C05∙0.50∙0.55 = 0.55  = 0.03125.

P(X=1) = C15∙0.51∙0.54 = 6∙0.2∙0.32768 = 0.15625.

P(X=2) = C25∙0.52∙0.53 = 10∙0.03125 = 0.3125.

Получаем, вероятность того что будет забито 2 мяча или меньше равна 0.03125+0.15625+0.3125 = 0.5.

Искомая вероятность (вероятность того, что будет забито более двух мячей) равна 1–0.5 = 0.5.

MX=np=5∙0.5 = 2.5.

DX=np(1–p)= 5∙0.5∙0.5 = 1.25.


11. Количество X принимаемых за час звонков по домашнему телефону имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков – 5. Какова вероятность того, что будет принято 3 звонка? Более 2? Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX.

Решение:

Найдем вероятность того, что будет принято 3 звонка.

Найдем вероятность того, что будет принято более двух звонков.

Дополнительным событием к искомому будет событие, что принято 0,1 или 2 звонка. Найдем вероятность каждого из этих событий.

Получаем, вероятность того что будет принято 2 звонка или меньше равна 0.007+0.034+0.084 = 0.125.

Искомая вероятность (вероятность того, что будет принято более двух звонков) равна 1–0.125 = 0.875.



12. Функция плотности случайной величины X имеет вид:

Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX, P(0<X<0.1)


 =  =  =  = .

 =  =  =  = .

DX=MX2–(MX)2 =  = 0,022.

P(0<X<0.1)=  =  =  2,5∙0.01 = 0.025.


13. Случайная величина X – время ожидания дождя в сутках – имеет равномерное распределение на отрезке [0;5]. Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX, вероятности P(X<5), P(X>3).

Решение:


14. Вероятность безотказной работы прибора в течении x часов равна e–0.005x. Найти математическое ожидание MX – среднюю наработку на отказ и вероятность безотказной работы прибора в течение 100 часов.

Решение:

Вероятность безотказной работы прибора в течении 100 часов равна

P(X>100) = e-0.005∙100 = e-0.5 = 0.61.


15. Случайная величина x имеет нормальное распределение N(5;5). Математическое ожидание MX  = 5, среднеквадратическое отклонение –  = 5. Найти P(X<1), P(–1<X<1), P(–5<x<5), P(–8<X–26<8) , P(–16<X–26<16) , P(–24<X–26<24).

Решение:

P(X<1) =  = 0.2119.

P(–1<X<1) =  =  = 0.2119 – 0.1151 = 0.0968.

P(–5<X<5) =  =  = 0.5 – 0.0228 = 0.4772.

P(–5<X–5<5 = 2Ф(1) = 0.6826.

P(–10<X–5<10) = 2Ф(2) = 0.9544.

P(–15<X–26<15) = 2Ф(3) = 0.9973.


16. Вес мужчины – случайная величина со средним 80 кг и дисперсией 30. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что вес случайно встреченного мужчины отличается от среднего на величину, большую 14.

Решение:


17. Вероятность детали быть бракованной равна 0.005. Произведено 1000 деталей. Какова вероятность того, что в этой партии точно 2 бракованных детали? Более 2?

Решение:

λ = np = 1000∙0.005 = 5.


18. Игральную кость бросают 600 раз. Какова вероятность того, что число выпадений шестерки будет между 84 и 116.


Решение.

Искомая вероятность будет равна

 –  =  –  = Ф(1.75) – Ф(–1.75) = = 0.9599 – 0.0401 = 0.9198.