1. Если множество , то: а) ; б) ; в) ; г) . Какие из вышеперечисленных высказываний истинны, а какие ложны?

Решение:

а) 4–1£1£1–4 – неверно, т.е. утверждение ложно.

б) 0–1£1£1–0 – верно, утверждение истинно.

в) 1–1£1£1–1 – неверно, т.е. утверждение ложно.

г) 4–1£1£1–4 – неверно, т.е. утверждение ложно.

2. Истины ли высказывания:

а) (A \ B) È (B \ A) = (A È B) \ (A Ç B);

б) A \ (A \ B) = A Ç B.

Решение:

а) Пусть хÎ(A \ B) È (B \ A). Докажем, что хÎ(A È B) \ (A Ç B).

Т.к. хÎ(A \ B) È (B \ A), то хÎ(A \ B) и хÎ (B \ A); т.к. хÎ(A \ B), то хÎA и хÏВ; т.к. хÎ (B \ A), то хÎВ и хÏА. Утверждения (хÎA и хÏВ) и (хÎВ и хÏА) могут быть верны тогда и только тогда, когда (хÎА и хÎВ) и (хÏА и хÏВ), т.е. хÎ(A È B)  и хÏ(A Ç B). Таким образом доказали, что если хÎ(A \ B) È (B \ A), то хÎ(A È B) \ (A Ç B). Это означает, что (A \ B) È (B \ A) Í (A \ B) È (B \ A).

Аналогичным образом можно доказать, что  (A \ B) È (B \ A) Í (A \ B) È (B \ A).

Значит, можно доказать, что (A \ B) È (B \ A) = (A \ B) È (B \ A), т.о. первое утверждение верно.

б) Пусть хÎ A \ (A \ B). Это значит, что хÎА и  (хÏA \ B); т.е. хÎА и хÎВ; последнее означает, что хÎA и хÎВ, т.е. хÎA Ç B. Это, в свою очередь, означает, что доказали включение A \ (A \ B) Í A Ç B.

Аналогично можно доказать, что A Ç B Í A \ (A \ B).

Значит, можно доказать, что A Ç B = A \ (A \ B), т.е. второе утверждение верно.

3. Найти область определения функции

Решение:

Область определения функции – это множество множество точек на числовой прямой, в которых имеет смысл каждое действие, указанное в формуле, задающей функцию.

Т.к. в формулу входит радикал, то значение под ним не может быть отрицательным, т.е. 1–х ≥0 или 1≥х.

Т.к. в формулу входит дробь, то ее знаменатель не должен обращаться в 0. Найдем точки, в которых знаменатель дроби обращается в 0.

2^х–1=0

2^х =1

x=0.

С учетом всего вышеизложенного получим область определения функции.

.

4. Проведенное среди школьников анкетирование показало, что в шахматы умеют играть 35 человек, в шашки – 40 человек, причем в обе игры умеют играть 21 человек. Сколько человек не умеют играть ни в шахматы, ни в шашки.

Решение:

В задаче не хватает данных, т.к. не указано, сколько человек учится в школе. Пусть в школе 100 учеников (задаем произвольно, иначе задачу решить нельзя). Тогда 35 – 21 = 14 человек умеют играть только в шахматы; 40 – 21 = 19 человек умеют играть только в шашки. Окончательно не умеют играть ни в шахматы, ни в шашки 100 – 14 – 19 – 21 = 46 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы.

5. Обозначим через А – множество всех квадратов, площадь которых равна 1; через В – множество всех равносторонних треугольников единичной площади. Каждому квадрату из А ставят в соответствие треугольник из В. Является ли это соответствие взаимнооднозначным?

Решение:

Множество А состоит только из одного квадрата, а именно, квадрата со стороной 1.

Пусть равносторонний треугольник имеет сторону длиной х. Тогда его площадь равна . Но уравнение =1 имеет единственный корень, имеющий физический смысл; значит, существует только один равносторонний треугольник площади 1, а именно треугольник сто стороной , т.е. множество В также состоит из одного элемента.

Между двумя множествами, состоящими из одного элемента, можно установить взаимнооднозначное соответствие, т.е. соответствие, при котором квадрату из А ставят в соответствие треугольник из В, является взаимнооднозначным.

6. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все x являются y и некоторые у являются z; значит, все z не являются х»?

Решение:

Это рассуждение неверно, т.к. существует некоторое множество элементов, которые являются и х, и у, и z; значит, некоторые я являются х.

7. Рассмотрим пары действительных чисел вида (a;b). Пары (a;b) и (c;d) будем считать равными в том и только в том случае, если а=с и b=d. Определим сложение пар с помощью тождества (a;b)+(c;d)=(а+с;b+d). Проверить, что множество пар (a;b) с операцией сложения является коммутативной группой.

Решение:

Проверим является ли это множество группой. Для этого необходимо проверить три условия:

1) ассоциативность.

(((a₁;b₁)+(a₂;b₂))+(a₃;b₃))=((a₁;b₁)+((a₂;b₂)+(a₃;b₃)))

Это условие выполняется. Обе части равенства равны (a₁+a₂+a₃;b₁+b₂+b₃).

2) Единичным элементом будет пара (0;0).

(a;b)+(0;0)=(0;0)+(a;b)=(a;b).

3) Обратным элементом для элемента (aжb) будет элемент (–a;–b)

(a;b)+(–a;–b)=(–a;b)+(a;b)=(0;0).

Для того, чтобы данное множество являлось коммутативной группой, необходимо выполнение условия коммутативности, т.е.

(a₁;b₁)+(a₂;b₂)=(a₂;b₂)+(a₁;b₁)

Это условие выполняется в силу коммутативности сложения действительных чмсел..