1. Производственные функции

Пусть для производства некоторого продукта в количестве y единиц используются различные ресурсы: x₁, x₂, …, x_n, выраженные в соответствующих им единицах. Если понята закономерность получения продукта y из ресурсов , т.е. если в явном виде выражена зависимость , то такая функция  называется производственной.

Производственная функция фирмы задает максимальный объем выпуска продукции, который фирма может произвести при любом заданном наборе ресурсов. Поскольку производственная функция дает величину максимального выпуска, который может быть произведен, то она показывает результаты использования альтернативных технологически эффективных способов производства.

Графическое изображение функции представлено изоквантой. Она подобна кривой безразличия, только отличие состоит в том, что изокванта количественно определена. Объем выпуска, соответствующий конкретной изокванте может быть достигнут при различном сочетании капитала и труда.

Изокванты имеют определенные свойства:

1)    угол наклона изокванты равен отношению предельного продукта капитала к величине предельного продукта труда (предельного продукта одного фактора к величине предельного продукта другого фактора);

2)    взаимное расположение изоквант отражает отдачу от масштаба;

3)    изокванты являются выпуклыми внутрь кривыми; они становятся все более пологими с ростом объемов применяемого капитала. С экономической точки зрения это означает, что при том же уровне выпуска чем выше уровень капиталоемкости технологии, тем меньшую величину оставляет уменьшение объемов применяемого труда в результате применения дополнительной единицы капитала.

Взаимозаменяемость ресурсов x₁, x₂ означает, что один и тот же продукт или услугу предприятие может производить либо с использованием ресурса x₁, либо с использованием ресурса x₂, либо с использованием их комбинации.

Задача

Производственная функция для райпо имеет вид:

,

где f – товарооборот, млн. руб.;

х₁ – производственная площадь, тыс. кв. м;

х₂ – численность работников, сотни чел.

Рассмотреть изокванту уровня  и найти на ней точку С₁ с координатами , , где и точку С₂ с координатами , где . Сделать вывод о возможности замены ресурсов (,) и (). Полученные результаты изобразить графически.

Найдем уравнение изокванты:

Найдем координаты точки С₁.

.

Аналогично находим координаты точки С₂.

.

Итак, 140 работников райпо, используя 4,97 тыс. кв. метров производственной площади, обеспечат товарооборот 26,401 млн. руб., и такой же товарооборот могут обеспечить 297 работников, используя площадь 2,347 тыс. кв. метров (рис.1).

Рис.1 Изокванта уровня

2. Классификация товаров

Эластичность спроса по цене представляет собой процентное изменение величины спроса на товар, вызванное 1-процентным изменением его цены, при неизменности всех прочих факторов, влияющих на объем спроса.

Товар называется малоэластичным, если коэффициент эластичности меньше единицы ( ||<1).

Товар называется среднеэластичным, если коэффициент эластичности приблизительно равен единице ( ||≈1).

Товар называется высокоэластичным, если коэффициент эластичности больше единицы ( ||>1).

Товары называются взаимозаменяемыми, если увеличение цены на один товар приводит к увеличению спроса на другой товар и наоборот.

Задача

Произвести классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

Так как || = 0,13 < 1, то первый товар малоэластичный;

так как || = 0,43 < 1, то второй товар малоэластичный;

так как || = 0,83 < 1, то третий товар также малоэластичный.

Поскольку  = -0,465 < 0 и  = -0,465, то первый и второй товары взаимодополняемые.

Поскольку  = -0,265 < 0 и  = -0,265, то первый и третий товары взаимодополняемые.

Поскольку  = -0,765 < 0 и  = -0,765, то второй и третий товары также взаимодополняемые.

3. Межотраслевой баланс

Коэффициент прямых затрат (а_ij) представляет собой объем продукции i-ой отрасли, который требуется передать j-ой отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции.

Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными. Поэтому их можно использовать при планировании деятельности отраслей материального производства. В частности, используя систему уравнений межотраслевого баланса и коэффициенты прямых затрат при известном плановом значении конечной продукции отраслей, предназначенной для непроизводственного потребления, можно вычислить плановое производство валовой промежуточной продукции этих отраслей, предназначенной для потребления самими отраслями в процессе производства.

Задача

За отчетный период имел место следующий баланс продукции:

а) вычислить коэффициенты прямых затрат;

б) вычислить плановый объем валовой продукции отраслей, если план выпуска конечной продукции ;  при условии неизменности технологии производства.

Вычислим коэффициенты прямых затрат.

Вычислим плановый объем валовой продукции отраслей.

,

;

,

;

 - подставим во второе уравнение:

Таким образом, - плановый объем продукции первой отрасли;

- плановый объем продукции второй отрасли.

4. Использование метода теории игр в торговле

Элементы матрицы при использовании метода теории игр – это возможные результаты различных сочетаний выбранных стратегий и вероятностей возникновения тех или иных событий; это возможные результаты различных сочетаний выбранных стратегий двух игроков.

Элементы платежной таблицы в торговле – это различные величины выручки от реализации товара, полученные от различных сочетаний выбранной стратегии продаж и величины потребительского спроса.

При подходе с позиции крайнего пессимизма выбирается стратегия, которая является наилучшим выбором из всех плохих ситуаций и эта стратегия гарантирует, что, как бы ни сложилась действительная ситуация, ожидаемый результат будет не хуже гарантированной при данной стратегии худшей величины.

При подходе с позиции крайнего оптимизма считается, что при выборе любой стратегии ситуация окажется только благоприятной.

При подходе с позиции пессимизма-оптимизма выбирается некоторая промежуточная стратегия, соединяющая в себе достоинства и недостатки обоих подходов: с позиции крайнего пессимизма и с позиции крайнего оптимизма.

Задача

Выбрать стратегии с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма для следующей платежной таблицы. Указать соответствующие выигрыши.

Определим величины  (минимальное из чисел),  (максимальное из чисел),  (полусумма минимального и максимального из чисел).

Получим:

;

;

.

Так как  и это число находится в строке, соответствующей А₂, то А₂ – стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 13 единицам.

Так как  и это число находится в строке, соответствующей А₁, то А₁ – стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 117 единицам.

Так как  и это число находится в строке, соответствующей А₁, то А₁ – стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 70 единицам.

5. Системы массового обслуживания

Входящий поток требований, исходя из условия, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина с показательным законом распределения, описывается следующей интегральной функцией:

,  t≥0.

Число  (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока. Оно показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

Процесс обслуживания, исходя из предположения, что все n каналов обслуживания одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина , распределенная по показательному закону, описывается следующей интегральной функцией:

,  t≥0.

К системам массового самообслуживания относятся магазины, рестораны, автозаправочные станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты. Экономическими показателями работы таких систем относятся:

-         доля времени работы К-каналов (Р_к), К=0,1,2,…,n;

-         средняя длина очереди (L) и другие.

Задача

В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью  (треб./мин.). Входящий поток требований имеет интенсивность (треб./мин.). Рассчитать долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной  (треб./мин.), то будет ли выполняться условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

. Тогда  (треб./мин.), а первоначальное значение  равно 9,97 (треб./мин.).

Параметр загрузки СМО:

 ()

 (треб.)

Если интенсивность  станет равной  (треб./мин.), то в силу неравенства:

 или

< 2 или 10,3 < 8,97*2

условие стационарности СМО выполнено и можно вычислить среднюю длину очереди:

Итак, при интенсивности обслуживания 8,97 треб./мин. и интенсивности входа 9,97 треб./мин. доля времени простоя касс составляет 28,6% времени, а средняя длина очереди равна 0,496 треб. Если же интенсивность входа станет равной 10,3 треб./мин., то средняя длина очередь увеличится в 1,137 раза.

6. Оптимальное управление запасами

Задача оптимального управления запасами формулируется следующим образом: определить объем заказываемой партии товара (q), при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму времени на него. Аналитически это выражается моделью:

→ min,                  (1)

где С_х – затраты на хранение единицы товара в единицу времени;

С_з – затраты на заказ партии товара;

r – норма спроса на товар;

k – темп поступления заказанного товара;

u – количество товара, размещенного в единице емкости склада.

Из этой формулы максимальный объем заказа рассчитывается по формуле:

,                    (2)

а максимальный запас на складе S*:

.               (3)

Предельная арендная плата – это максимальная плата за использование дополнительных складских емкостей. Она определяется по формуле:

,           (4)

где величина q определяется по формуле:

.                           (5)

Если фактическая арендная плата () меньше либо равна предельной  (), т.е. , то аренда выгодна и объем заказываемой партии вычисляется по формуле (2). Если же >, то аренда невыгодна и тогда объем заказа нужно уменьшать и он рассчитывается в этом случае по формуле (5).

Задача

Сделать вывод о целесообразности аренды дополнительных складских емкостей или о необходимости сокращения объема заказываемой партии товара с учетом имеющихся складских емкостей при сравнении с фактической  () и предельной  () арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

()

 ()

>

Таким образом, фактическая арендная плата меньше предельной, значит аренда выгодна и целесообразно арендовать дополнительные складские емкости.

7. Выборочный метод

Генеральной совокупностью называется множество однородных объектов, изучаемых относительно некоторого количественного признака или группы признаков.

Зачастую изучение всей генеральной совокупности объектов относительно определенного признака по ряду причин обусловлено большими трудностями или вообще невозможно. Тогда изучение осуществляется на основе выборочной совокупности, которая формируется из генеральной отбором объектов случайным образом.

Задача

Определить соотношения между доверительными интервалами:

а) при фиксированных значениях среднеквадратического отклонения , надежности Р и различных значениях объема выборки

;

б) при фиксированных значениях среднеквадратического отклонения , объема выборки и различных значениях надежности

;

в) при фиксированных значениях надежности Р, объема выборки и различных значениях среднеквадратического отклонения

.

Решение.

а) ; 

При фиксированных значениях среднеквадратического отклонения , надежности Р значение погрешности Δ находится в обратной зависимости от объема выборки n. Следовательно, при увеличении n значение Δ уменьшается, так как число n находится в знаменателе выражения, а одновременно с этим уменьшается и  в формуле определения погрешности: . Таким образом, при , значения Δ будут находиться в соотношении Δ₁ > Δ₂, т.е. доверительный интервал, соответствующий  будет больше доверительного интервала, соответствующего ;

б) при увеличении Р увеличивается значение функции Стьюдента , а также значение Δ. Тогда при  и значения Δ будут находиться в соотношении Δ₂ > Δ₁ , т.е. доверительный интервал, соответствующий  будет больше доверительного интервала, соответствующего ;

в) при увеличении значения  увеличивается и значение погрешности Δ. Тогда при  и значения Δ будут находиться в соотношении Δ₂>Δ₁, т.е. доверительный интервал, соответствующий , будет больше доверительного интервала, соответствующего .

8. Корреляционные методы

Целью корреляционного анализа является выявление причинно-следственных связей между показателями, описывающими изучаемый процесс или явление.

Функциональная зависимость – это такая связь между результативными и факторными признаками, когда значение результативного признака-функции полностью определяется значениями факторных признаков.

Корреляционная зависимость – это такая связь между признаками, когда определенным значениям факторных признаков соответствует множество случайных значений результативного признака.

Коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между результативными и факторными признаками при линейной корреляционной связи между ними. Он рассчитывается по формуле:

,

где  - среднеквадратические отклонения факторного (х) и результативного (у) признаков.

Степень тесноты связи, характеризуемой коэффициентом корреляции, отражена в таблице:

Если r>0 , то связь называют прямой. При r<0 – связь обратная.

Задача

Оценить тесноту связи и направление связи между признаками х и у, если известны: b – коэффициент регрессии,  - среднеквадратические  отклонения признаков х и у.

Коэффициент корреляции показывает, что связь между признаками х и у очень слабая и обратная, т.е. при возрастании факторного признака х значение результативного признака у  уменьшается.