Задача 5.

На курсы иностранных языков зачислено 300 слушателей. Из них английский и немецкий изучают 60 человек, английский и французский – 80 человек. Число слушателей, изучающих только французский язык, равно числу слушателей, изучающих только немецкий язык. Только английский язык изучают 70 слушателей. Занятия по французскому и немецкому языкам проводятся единовременно. Сколько слушателей изучает французский язык?

Решение.

Обозначим через

М_А – количество слушателей, изучающих только английский язык;

М_Н – количество слушателей, изучающих только немецкий язык;

М_Ф – количество слушателей, изучающих только французский язык;

М_АН – количество слушателей, изучающих только два языка: английский и немецкий;

М_АФ – количество слушателей, изучающих только два языка: английский и французский;

 М_НФ – количество слушателей, изучающих только два языка: немецкий и французский;

 М_АНФ – количество слушателей, изучающих три языка.

По условию задачи,  так как всего зачислено 300 слушателей, то

М_А+ М_Н+ М_Ф+ М_АН+ М_АФ+ М_НФ+ М_АНФ =300  (условие 1).

Так как английский и немецкий языки изучают 60 человек, получаем:

М_АН + М_АНФ = 60   (условие 2).

Так как английский и французский языки изучают 80 человек, получаем:

М_АФ + М_АНФ = 80   (условие 3).

Так как число слушателей, изучающих только французский язык, равно числу слушателей, изучающих только немецкий язык, то

М_Ф = М_Н     (условие 4).

Так как только английский язык изучают 70 слушателей, то

М_А= 70        (условие 5).

Так как занятия по французскому и немецкому языкам проводятся единовременно, т.е. нельзя изучать французский и немецкий язык, то

М_НФ + М_АНФ = 0    (условие 6).

Требуется   найти  М_Ф+ М_АФ+ М_НФ+ М_АНФ.

Диаграмма Эйлера-Вена:

 

Из условия 6 получаем М_НФ = М_АНФ = 0 .

Тогда из условий  2 и 3: М_АН  = 60,   М_АФ = 80   .

Тогда по условию 3: М_Ф = М_Н = 50.

Подставив в условие 1 известные значения, получаем уравнение:

70 + М_ф + М_Ф + 60 + 80 + 0 + 0 = 300.

Решая уравнение, находим: 2М_ф = 300 – 70 – 60 – 80  = 90.

Получаем: М_ф = 90/2 = 45.

Тогда М_Ф+ М_АФ+ М_НФ+ М_АНФ = 45 + 80 + 0 + 0 =125.

Ответ: 125 слушателей  изучает французский язык.

Задача 15.

Петров постоянно проживает в Москве или Архангельске. Если это Петров, то он постоянно проживает в Москве. Это не Петров. Следовательно, он не проживает постоянно в Архангельске.

Решение.

Обозначим высказывания:

А – «Петров постоянно проживает в Москве»;

В –«Петров постоянно проживает в Архангельске»;

С – «это Петров».

Данное рассуждение можно представить в виде формулы:

.

Проверим формулу на тождественную истинность.

Введем обозначение:

Составляем таблицу истинности:

А	В	С				Q		F
ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА
ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА
ЛОЖЬ	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ
ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА
ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА
ИСТИНА	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА
ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА
ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА

Так  как формула F   не является тождественно истинной, данное рассуждение  неверно.

Задача 25.

По заданной функции проводимости построить СКНФ и СДНФ. Упростить полученные формулы:

.

Решение.

Исходя из условия, построим таблицу истинности заданной функции проводимости:

х	y	z	f(x,y,z)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	0

По наборам, на которых функция равна 1, строим СДНФ:

По наборам, на которых функция равна 0, строим СКНФ:

.

Упростим СДНФ:

Упростим СКНФ:

Для проверки равносильности формул составим таблицу истинности формулы :

х	y	z
0	0	0	1	1	0	1
0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1
1	0	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0

Так как таблицы истинности для f(x,y,z) и  совпадают, формулы эквивалентны.

Литература.

1.                Информатика. Учебник/ Под ред. проф. Н.В.Макаровой. – М.: Финансы статистика, 1997.

2.                Информатика и математика и для юристов: Учеб. пособие  для вузов/ Под ред. проф. Х.А.Андриашина, проф. С.Я. Казанцева. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, Закон и право, 2001.

3.                Богатов Д.Ф., Богатов Ф.Г. Основы информатики и математики для юристов: Учеб. пособие. В 2-х томах. М.: ПРИОР, 2000.