Рис.3  Гистограмма и кумулята интервального ряда распределения

3. Выводы по результатам выполнения лабораторной работы[1]

I. Статистический анализ выборочной совокупности

Задача 1. Первичные данные выборочной совокупности содержат аномальные значения изучаемых признаков (см. рис. 1). Выборочная совокупность содержит два аномальных значения (см. табл.2).

Задача 2. Рассчитанные выборочные показатели представлены в двух таблицах - табл.3 и табл.5. На основе этих таблиц сформирована единая таблица (табл.8) значений выборочных показателей, перечисленных в условии Задачи 2.

Таблица 8

Описательные статистики выборочной совокупности

Задача 3.

3.а) Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V_s  в соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s =17,05%

Для признака Выпуск продукции показатель V_s =21,75%

Вывод: Интенсивность колеблемости признака Среднегодовой стоимости основных производственных фондов, согласно оценочной шкалы колеблемости признака, незначительная.

             Интенсивность колеблемости признака Выпуск продукции – колеблемость незначительная.

3.б) Однородность совокупности по изучаемому признаку для нормального и близких к нормальному распределений устанавливается по значению коэффициента вариации V. Если его значение невелико (V_s<33%), то индивидуальные значения признака x_i мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s =17,05%

Для признака Выпуск продукции показатель V_s =21,75%

Вывод: Значение коэффициента вариации V_s  для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов удовлетворяет условию V_s<33% (17,05%<33%), значит, совокупность является количественно однородной по данному признаку.

                Значение коэффициента вариации V_s  для признака Выпуск продукции удовлетворяет условию V_s<33% (21,75%<33%), значит, совокупность является количественно однородной по данному признаку.

3.в). Сопоставление средних отклонений – квадратического s и линейного  позволяет сделать вывод об устойчивости индивидуальных значений признака, т.е. об отсутствии среди них «аномальных» вариантов значений.

В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями s и  имеют место равенства s1,25, 0,8s, поэтому отношение показателей  и s может служить индикатором устойчивости данных.

Если >0,8, то значения признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы. Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц наблюдений при выполнении Задания 1, некоторые аномалии в первичных данных продолжают сохраняться. В этом случае их следует выявить (например, путем поиска значений, выходящих за границы ()) и рассматривать в качестве возможных «кандидатов» на исключение из выборки.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель =

Для признака Выпуск продукции показатель =

Вывод: Значения признака среднегодовая стоимость основных производственных фондов устойчивы.

                   Значения признака выпуск продукции устойчивы (0,77<0.8).                                                                                                                                                          

«Кандидаты» на исключение из выборки: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3г) Для оценки количества попаданий индивидуальных значений признаков x_i в тот или иной диапазон отклонения от средней , а также для установления процентного соотношения рассеяния значений x_i по 3-м диапазонам сформирована табл.9 .

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

На основе данных табл.9 сопоставить процентное соотношение рассеяния значений признака по трем диапазонам с рассеянием по правилу «трех сигм», справедливому для нормальных и близких к нему распределений:

68,3% располагаются в диапазоне ()

95,4% располагаются в диапазоне ()

99,7% располагаются в диапазоне ()

Если полученное в табл. 9 процентное соотношение рассеяния х_­i  по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «3-х сигм», можно предположить, что изучаемое распределение признака близко к нормальному.

Расхождение с правилом «3-х сигм» может быть существенным. Например, менее 60% значений х_i попадают в центральный диапазон () или значительно более 5% значения х_i выходит за диапазон (). В этих случаях распределение нельзя считать близким к нормальному.

Вывод: Полученное в табл. 9 процентное соотношение рассеяния х_­i  по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «3-х сигм», можно предположить, что изучаемое распределение признака близко к нормальному.

Задача 4.

Для сравнения вариации признаков применяется коэффициент вариации

4 а) Для сравнения колеблемости значений признаков, используется коэффициент вариации  (когда сравнивается вариация признаков, имеющие разные средние ).

Вывод: Так как V_s по первому признаку (17,05%) меньше V_s по второму признаку(21,75%), то колеблемость значений первого признака меньше колеблемости значений второго признака.

4 б) Сравнение количественной однородности единиц.

Чем меньше значение коэффициента вариации V_s, тем более однородна совокупность.

Вывод: Значение коэффициента вариации V_s у признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов  меньше значения коэффициента вариации V_s Выпуск продукции, следовательно, более однородна совокупность по первому признаку.

4 в) Сравнение  надежности (типичности) средних значений признаков.

Чем более однородна совокупность, тем надежнее среднее значение признака

Вывод: Среднегодовая стоимость основных производственных фондов более однородна совокупность, следовательно, надежнее среднее значение признака .

         Значение коэффициента вариации V_s Выпуск продукции не велико, не превышает 40%,следовательно, средняя арифметическая величина  является надежной характеристикой данной совокупности.

4 г) Сравнение симметричности распределений в центральной части ряда.

В нормальных и близких к нему распределениях основная масса единиц (63,8%) располагается в центральной части ряда, в диапазоне (). Для оценки асимметрии распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона – Asп.

При правосторонней асимметрии Asп>0, при левосторонней Asп<0. Если Asп=0, вариационный ряд симметричен.

Вывод: Асимметрия распределения признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в центральной части ряда является  левосторонней, так как Asп= -0,21. Асимметрия признака Выпуск продукции является правосторонней, так как Asп=0,02._. .Сравнение абсолютных величин |Аsп| для обоих рядов показывает, что ряд распределения признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов более

 асимметричен, чем ряд распределения признака Выпуск продукции.

Задача 5. Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлен в табл.7., а гистограмма и кумулята - на рис.3                                                              

Возможность отнесения распределения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» к семейству нормальных распределений устанавливается путем анализа формы гистограммы распределения - количества вершин в гистограмме, ее асимметричности и выраженности «хвостов», т.е. частоты появления значений, выходящих за диапазон ().

1. При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов признака по интервалам (группам). Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, что не соответствует нормальному закону распределения.

Если гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.

Заключение по п.1: Гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.

2. Для дальнейшего анализа  формы распределения используются описательные параметры выборки - показатели центра распределения (, Mo, Me), вариации (), асимметрии в центральной части  распределения (Asn), - совокупность которых позволяет дать качественную оценку близости эмпирических данных к нормальной форме распределения.

Нормальное распределение является симметричным, и для него выполняется соотношения:

=Mo=Me, As_п=0, R_n=6s_n.

Нарушение этих соотношений свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Распределение с небольшой или умеренной асимметрией в большинстве случаев по своему типу относится к нормальному.

Заключение по п.2: Соотношение не выполняется, что свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Распределение с небольшой асимметрией, гистограмма приблизительно симметрична, значит, она представляет распределение, близкое к нормальному.

3. В нормальном и близким к нему распределениях крайние варианты значения признака (близкие к хmin и хmax) встречаются много реже (5-7 % всех случаев), чем серединные (лежащие в диапазоне ()). Следовательно, по проценту выхода значений признака за пределы диапазона () можно судить о соответствии длины «хвостов» распределения нормальному закону.

Заключение по п 3: Процент выхода значений признака за пределы диапазона () составляет 6,67% (100%-93,33%), следовательно, длина «хвостов» не очень длинная.

Вывод Гистограмма является одновершинной, приблизительно симметричной, “хвосты” распределения не очень длинны, т.к. 6,67% вариантов лежат за пределами интервала (),  следовательно, она представляет распределение близкое к нормальному.

II. Статистический анализ  генеральной совокупности

Задача 1. Рассчитанные генеральные показатели представлены в табл.10.

Таблица 10

Описательные статистики генеральной совокупности

Величина дисперсии генеральной совокупности  может быть оценена непосредственно по выборочной дисперсии .

В математической статистике доказано, что при малом числе наблюдений (особенно при n40-50) для вычисления генеральной дисперсии    по выборочной дисперсии  следует использовать формулу

При достаточно больших n значение поправочного коэффициента  близко к единице (при n=100 его значение равно 1,101, а при n=500 - 1,002 и т.д.). Поэтому при достаточно больших n можно приближено считать, что обе дисперсии совпадают:

_.

Рассчитаем отношение   для двух признаков:

Для первого признака =.  Для второго признака =.

Вывод: Степень расхождения между признаками оценивается величиной 1,03, значение поправочного коэффициента близко к единице, следовательно,  можно считать, что .

Для нормального распределения справедливо равенство R_N=6s_N.

В условиях близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному это соотношение используется для прогнозной оценки размаха вариации признака в генеральной совокупности.

Ожидаемый размах вариации признаков R_N:

- для первого признака R_N =6 · 495,84 =2975,04

- для второго признака R_N  = 6 · 591,50 = 3549,00

Величина расхождения между показателями: R_N и R_n:

- для первого признака |R_N -R_n|=|2975,04 -2925,06|= 49,98

- для второго признака |R_N -R_n| =|3549,00 – 3489,36|= 59,64

Задача 2. Применение выборочного метода наблюдения связано с измерением степени достоверности статистических характеристик генеральной совокупности, полученных по результатам выборочного наблюдения. Достоверность генеральных параметров зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности.

Как правило, статистические характеристики выборочной и генеральной совокупностей не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности). Ошибка выборки – это разность между значением показателя, который был получен по выборке, и генеральным значением этого показателя. Например, разность

= |-|

определяет ошибку репрезентативности для средней величины признака.

Для среднего значения признака средняя ошибка выборки  (ее называют также стандартной ошибкой)  выражает среднее квадратическое отклонение s выборочной средней  от математического ожидания M[] генеральной средней .

Для изучаемых признаков средние ошибки выборки  даны в табл. 3:

- для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов

=90,53

- для признака Выпуск продукции

=107,99

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых  лежит генеральная средняя . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней  – случайную область значений, которая с вероятностью P, близкой к 1,  гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности.

Для уровней надежности P=0,954; P=0,997; P=0,683 оценки предельных ошибок выборки  даны в табл. 3, табл. 4а и табл. 4б.

Для генеральной средней предельные значения и доверительные интервалы определяются выражениями:

,

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних представлены в табл. 11.

Таблица 11

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних

Задача 3 Значения коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ek даны в табл.10.

Показатель асимметрии As оценивает смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.

Если асимметрия правосторонняя (As>0) то правая часть эмпирической кривой оказывается длиннее левой, т.е. имеет место неравенство >Me>Mo, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака. (среднее значение  больше серединного Me и модального Mo).

Если асимметрия левосторонняя (As<0), то левая часть эмпирической кривой оказывается длиннее правой и выполняется неравенство <Me<Mo, означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения вапризнака (среднее значение  меньше серединного Me и модального Mo).

Чем больше величина |As|, тем более асимметрично распределение. Оценочная шкала асимметрии:

|As| 0,25            - асимметрия незначительная;

0,25<|As|0.5      - асимметрия заметная (умеренная);

|As|>0,5                - асимметрия существенная.

Вывод: Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов наблюдается незначительная  левосторонняя асимметрия.

Показатель эксцесса Ek характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой.

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений.

Если Ek>0, то вершина кривой распределения располагается выше  вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине.

Если Ek<0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin.

Для нормального распределения Ek=0. При незначительном отклонении Ek от нуля форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения.

Чем больше абсолютная величина |Ek|, тем существеннее распределение отличается от нормального.

Вывод: Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов Ek<0, что свидетельствует о концентрации значения признака не в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin, вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, форма кривой более пологая по сравнению с нормальной.

Для признака Выпуск продукции Ek>0, что свидетельствует о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, вершина кривой распределения лежит выше вершины нормальной кривой.

III. Экономическая интерпретация результатов статистического исследования предприятий[2]

Задача 1.

          Вывод:

          Исследуемая совокупность исходных данных содержит значения признаков которые резко выделяются из основной массы значений, которые били обнаружены после построения точечного графика рассеяния значений показателей. Эти значения (предприятие №12, Среднегодовая стоимость основных производственных фондов равная 1220,00 и Выпуск продукции равный 3075,00; предприятие №31, Среднегодовая стоимость основных производственных фондов равная 3885,00 и Выпуск продукции равный 1025,00) следует исключить из исходных данных вследствие их не типичности для изучаемой выборки.

Задача 2.

Вывод:

По рассчитанным значениям средней арифметической: Среднегодовая стоимость основных производственных фондов ; Выпуск продукции , и среднего квадратического отклонения: Среднегодовая стоимость основных производственных фондов ; Выпуск продукции   определили границы диапазона  рассеяния значений признака (): Среднегодовая стоимость основных производственных фондов[2372,49; 3347,51]; Выпуск продукции [ 2092,32 ; 3255,44 ].

С вероятностью 0,683 можно утверждать, что предприятия № 2;3;4;6;7;9;10;13;14;17;18;19;20;22;24;25;26;28;29;30;32 по первому признаку  входят в заданный диапазон, включающий предприятия с наиболее характерными значениями показателей.

С вероятностью 0,683 можно утверждать, что предприятия №1;2;3;4;6;8;9;13414;17;18;20;24;25;26;28;29;30;32 по признаку Выпуск продукции входят в заданный диапазон, включающий предприятия с наиболее характерными значениями показателей.

Задача 3.

Вывод:

Выборка сформирована из предприятий с достаточно близкими значениями по каждому из показателей, варианты отдельных единиц мало отличаются друг от друга и от средней величины, которая в данном случае более реально представляет всю совокупность. Хотя, более однородна совокупность по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов,  т.к. V_s = 17,05% меньше чем V_s = 21,75% для  признака Выпуск продукции.

Полученные значения размаха вариации R_N=2050,00 для первого признака и R_N=2460,00 для второго признака, говорит, что  при численном равенстве Среднегодовая стоимость основных производственных фондов более «устойчива», чем Выпуск продукции.

Задача 4.

Вывод:

Рассматриваемая совокупность по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов является однородной, т.к. значение коэффициента вариации V_s=17,05% удовлетворяет условию однородности совокупности V_s<33%.

Модальный интервал [2655;3065], в него входят предприятия №3,4,6,7,9,13,14,17,25,26,28. Модальным значением Среднегодовая стоимость основных производственных фондов является стоимость, равная 2965,5 млн. руб. Для рассматриваемых данных при симметричном распределении данных Mo= 2901,00 млн. руб. А т.к. при анализе асимметрии было установлено, что в изучаемой   совокупности     смещение ряда распределения – левостороннее (Asп=-0,21). Поэтому наблюдается различие в значениях М_О. 

Предприятия № 1,5,23,27 входят в группу с наименьшей Среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, предприятия №11,16,23 входят в группу с наибольшей стоимостью.

Задача 5.

Вывод:

Построенная диаграмма имеет одновершинную форму, наблюдается четко выраженный порядок изменения частот в соответствии с изменением величины признака.  Распределение предприятий  по группам носит закономерный характер. Рассматриваемая гистограмма имеет асимметрию As=-0,15. Распределение с небольшой асимметрией (I-0,15I ≤ 0,25), гистограмма приблизительно симметрична, значит, она представляет распределение, близкое к нормальному.

Форма  кривой  более   пологая  по сравнению с нормальной, т.к. Ek<0   (Ek= -0,34), значения признака достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin.

Задача 6.

Вывод:

С вероятностью 68,3%, можно утверждать, что средние значения Среднегодовая стоимость основных производственных   фондов ожидается в пределах от2767,82 млн. руб. до 2952,18млн. руб., средние значения по Выпуску  продукции   ожидается в пределах от 2563,92млн. руб. до 2783,84млн. руб.

С вероятностью 95,4%, можно утверждать, что средние значения Среднегодовая стоимость основных производственных   фондов ожидается в пределах [2671,27;3048,73], средние значения по Выпуску  продукции   ожидается в пределах [2448,74;2899,02].

С вероятностью 99,7%, можно утверждать, что средние значения Среднегодовая стоимость основных производственных   фондов ожидается в пределах [2566,74;3153,26], средние значения по Выпуску  продукции   ожидается в пределах [2324,05;3023,71].

Ожидаемый размах вариации по Среднегодовой стоимости основных производственных   фондов  R_N  =  2975,04 млн. руб. ,   по признаку  Выпуск  продукции   R_N  = 3549,00 млн. руб. Величина расхождения между R_N и R_n по первому признаку составляет 49,98 млн. руб., по второму-59,64млн. руб.