ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ







Контрольная работа

По дисциплине

Финансовая математика

Вариант 2























Задание 1

В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)


t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Y(t)

30

38

45

30

32

42

51

31

36

46

55

34

41

50

60

37


Требуется:

Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.

Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;

Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

·                   случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

·                   независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;

·                   нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.


Решение


Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t).

Таблица 1

t

Y(t)

t-tср

(t-tср)2

Y-Yср

(Y-Yср)х(t-tср)

1

30

-3,5

12,25

-7,4

25,8

2

38

-2,5

6,25

0,6

-1,6

3

45

-1,5

2,25

7,6

-11,4

4

30

-0,5

0,25

-7,4

3,7

5

32

0,5

0,25

-5,4

-2,7

6

42

1,5

2,25

4,6

6,9

7

51

2,5

6,25

13,6

34,1

8

31

3,5

12,25

-6,4

-22,3

36

299

0

42,0

0,0

32,50


                            

Получим линейное уравнение вида

Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.

Таблица 2

Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

t

Y(t)

Yp(t)

1

30

34,67

2

38

35,44

3

45

36,21

4

30

36,99

5

32

37,76

6

42

38,54

7

51

39,31

8

31

40,08


Оценки коэффициентов сезонности для I – IV кварталов:

Таблица 3

Модель Хольта-Уинтерса

t

Y(t)

a(t)

b(t)

F(t)

Yp(t)

Абс. погр.,

E(t)

Отн. погр.,

в %

0


33,89

0,77

0,8564

-


-

1

30

34,78

0,81

0,8602

29,69

0,31

1,04

2

38

35,45

0,77

1,0755

38,47

-0,47

1,23

3

45

35,98

0,70

1,2583

46,00

-1,00

2,22

4

30

37,04

0,80

0,8029

29,06

0,94

3,13

5

32

37,65

0,75

0,8540

32,55

-0,55

1,72

6

42

38,59

0,81

1,0832

41,30

0,70

1,68

7

51

39,74

0,91

1,2734

49,57

1,43

2,80

8

31

40,03

0,72

0,7858

32,63

-1,63

5,27

9

36

41,18

0,85

0,8662

34,81

1,19

3,31

10

46

42,16

0,89

1,0880

45,52

0,48

1,04

11

55

43,09

0,90

1,2752

54,82

0,18

0,33

12

34

43,78

0,84

0,7803

34,57

-0,57

1,67

13

41

45,43

1,08

0,8880

38,64

2,36

5,75

14

50

46,35

1,03

1,0825

50,60

-0,60

1,20

15

60

47,28

1,00

1,2715

60,42

-0,42

0,69

16

37

48,02

0,92

0,7744

37,68

-0,68

1,83








34,90


Проверка точности модели.

Таблица 4

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t

E(t)

Точка поворота

E(t)2

[E(t)-E(t-1)]2

E(t)xE(t-1)

1

0,31

ххх

0,097

-

-

2

-0,47

0

0,22

0,61

-0,15

3

-1,00

1

1,00

0,28

0,47

4

0,94

1

0,88

3,76

-0,94

5

-0,55

1

0,30

2,22

-0,52

6

0,70

0

0,50

1,57

-0,39

7

1,43

1

2,03

0,52

1,00

8

-1,63

1

2,67

9,35

-2,33

9

1,19

1

1,42

7,97

-1,94

10

0,48

0

0,23

0,51

0,57

11

0,18

0

0,03

0,09

0,09

12

-0,57

1

0,32

0,56

-0,10

13

2,36

1

5,55

8,55

-1,34

14

-0,60

1

0,36

8,76

-1,42

15

-0,42

1

0,17

0,04

0,25

16

-0,68

ххх

0,46

0,07

0,28

Сумма

1,68

10,00

16,24

44,87

-6,47

Суммарное значение относительных погрешностей составляет 34,9 Средняя величина: 34,9 / 16=2,18%, значит, условие точности выполнено, т.к. средняя величина относительных погрешностей не превышает 5%.

Проверка условия адекватности на основе исследования:

а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

Условие случайности уровней ряда остатков выполнено, т.к. количество поворотных точек р = 10 > q = 6.

б) независимости уровней ряда остатков:

·                   по d- критерию Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):

Так как 1,10<1,24<1,37, следовательно, уровни ряда Е(t) автокоррелированы, т. е. являются зависимыми.

·                   по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

Уровни зависимы, т.к. критический уровень rтабл. = 0,32, а > rтабл. = 0,32.

в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию:

EmaxEmin = 2,36 – (-1,63) = 3,99

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к. полученное значение RS (3,83) попадает в заданный интервал (3,00<3,83<4,21).

Произведем точечный прогноз на 4 шага вперед: Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.

Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные (рис. 1).

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных


Задание 2


Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Дни

Цены

макс.

мин.

закр.

1

765

685

750

2

792

703

733

3

740

706

733

4

718

641

666

5

680

600

640

6

693

638

676

7

655

500

654

8

695

630

655

9

700

640

693

10

755

686

750

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.


Решение


Экспоненциальную скользящую среднюю рассчитаем по формуле:

, где k = 2 / (n + 1).

Момент:

Скорость изменения цен:

Таблица 1

Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней,

момента, скорости изменения цен

Дни

Цены закр

ЕМАt

МОМt

ROCt

1

750

750,0

-

-

2

733

744,3

-

-

3

733

740,6

-

-

4

666

715,7

-

-

5

640

690,5

-

-

6

676

685,6

-74,0

90,1

7

654

675,1

-79,0

89,2

8

655

668,4

-78,0

89,4

9

693

676,6

27,0

104,1

10

750

701,1

110,0

117,2


Индекс относительной силы рассчитаем по формуле:

Таблица 2

Результаты расчета индекса относительной силы

Дни

Цены закрытия

Изменение (+/-)

RSI

1

750

-

-

2

733

-17

-

3

733

0

-

4

666

-67

-

5

640

-26

-

6

676

36

24,7

7

654

-22

23,8

8

655

1

24,3

9

693

38

61,0

10

750

57

85,7


%R рассчитаем по формуле:

%К рассчитаем по формуле:

%D рассчитаем по формуле:

Таблица 3

Результаты расчетов %R, %К, %D

Дни

Цены

% Kt

% Rt

%Dt

макс

мин

закр

1

765

685

750


-

-

2

792

703

733

-

-

-

3

740

706

733

-

-

-

4

718

641

666

-

-

-

5

680

600

640

20,8

79,2

-

6

693

638

676

39,6

60,4

-

7

655

500

654

64,2

35,8

43,3

8

695

630

655

71,1

28,9

59,2

9

700

640

693

96,5

3,5

76,3

10

755

686

750

98,0

2,0

88,9


Задание 3


3.1. Банк выдал ссуду, размером 1 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 18.01.02, возврата 12.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 15% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

3.1.1) К = 365, t = 53, I = 1 000 000 х 0,15 х 53 / 365 = 2 1780,82 руб.

3.1.2) К = 360, t = 53, I = 1 000 000 х 0,15 х 53 / 360 = 2 2083,33 руб.

3.1.3) К = 360, t = 54, I = 1 000 000 х 0,15 х 54 / 360 = 2 2500,00 руб.


3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатил 1 000 000 руб. Кредит выдан под 15% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение

P = S / (1 + ni) = 1 000 000 / (1 + 0,15 х 180 / 360) = 930 232,56 руб.

D = SP = 1 000 000 – 930 232,56 = 69 767,44 руб.


3.3. Через 180 предприятие должно получить по векселю 1 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 15% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение

D = Snd = 1 000 000 x 0,15 х 180 / 360 = 75 000,00 руб.

P = SD = 1 000 000 – 75 000,00= 925 000,00 руб.


3.4. В кредитном договоре на сумму 1 000 000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 15% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение

S = P x (1+i)n = 1 000 000 х (1+0,15)4 = 1 749 006,25 руб.


3.5. Сумма размером 1 000 000 руб. представлена на 4 года. Проценты сложные, ставка 15% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение

N = 4 x 2 = 8

S = P x (1+j / m)N  = 1 000 000 х (1 + 0,15 / 2)8  = 1 783 477,83 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 15% годовых.

Решение

iэ = (1 + j / m)m - 1 = (1 + 0,15 / 2)2 – 1 = 0,1556, т.е. 15,5625%.


3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 15% годовых.

Решение

j = m x [(1 + iэ)1/m - 1] = 2 x [(1 + 0,15)(1/2) – 1] = 0,14476 т.е. 14,476%.


3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 15% годовых.

Решение

 руб.


3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 1 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 15% годовых. Определить дисконт.

Решение

P = S (1 – dсл)n = 1 000 000 x (1 – 0,15)4 = 522 006,25 руб.

D = SP = 1 000 000 – 522 006,25 = 477 993,75 руб.


3.10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 1 000 000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение

 руб.